2018-2019学年安徽省淮北市第一中学高二下学期开学考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年安徽省淮北市第一中学高二下学期开学考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 安徽省淮北市第一中学 2018-2019 学年高二下学期开学考试 数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，根据集合的交集的运算，即可求解，得到答案。 【详解】 由题意，集合 ， ， 根集合的交集的运算，可得 ，故选 B。 【点睛】 本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中熟记集合的交集的概念和准确运算是解 答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。 2．已知平面向量 ， ，且 ，则 m 的值为（　　） A．1 B．-1 C．4 D．-4 【答案】D 【解析】 【分析】 由 ，根据 可得答案． 【详解】 故选：D． 【点睛】 本题主要考查向量的共线定理，属基础题． 3．己知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 先由 sinα= 求出 cos2α，然后利用诱导公式和余弦和差公式化简 cos（ ﹣2α），并将值 代入即可． 【详解】 ∵sinα= ∴cos2α=1﹣sin2α= cos（ ﹣2α）=﹣cos2α=﹣（cos2α﹣sin2α）=﹣ 故选：C． 【点睛】 本题考查了二倍角的余弦，要熟练掌握三角函数的有关公式，属于基础题． 4．若双曲线 的一条渐近线为 ，则实数 （　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据双曲线的标准方程求出渐近线方程，根据双曲线的一条渐近线求得 m 的值． 【详解】 双曲线 中， ，令 ，得 ， 所以 ；又双曲线的一条渐近线为 ， 则 ，解得 ，所以实数 ． 故选：C． 【点睛】 本题考查了利用双曲线的标准方程求渐近线方程的应用问题，是基础题． 5．如图所示，某校一文化墙上的一幅圆形图案的半径为 8 分米，其内有一边长为 1 分 米的正六边形的小孔，现向该圆形图案内随机地投入一飞镖（飞镖的大小忽略不计）， 则该飞镖落在圆形图案的正六边形小孔内的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出正方形，正六边形的面积，再由几何概型中的面积型得： ，得 解． 【详解】 由圆的面积公式得： ， ， 设“该飞镖落在圆形图案的正六边形小孔内”为事件 A，由几何概型中的面积型可得： ， 故选：D． 【点睛】 本题考查了正方形，正六边形的面积的求法及几何概型中的面积型，属中档题． 6．下列命题错误的是（　　） A．不在同一直线上的三点确定一个平面 B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C．如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面 D．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面 【答案】C 【解析】 【分析】 利用公理和线与面的平行和垂直定理及其推论求解． 【详解】 由公理知直线及直线外一点，确定一个平面，故 A 正确； 由公理知两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故 B 正确； 由面面垂直的性质定理知错误，故 C 不正确； 由面面平行的性质定理知正确，故 D 正确；． 故选：C． 【点睛】 本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意对概念的理解和定 理，性质的应用，属于基础题. 7．设 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用指数函数的性质与对数函数的性质分别判断 与 0 和 1 的大小，即可得结果． 【详解】 ∵ ， ， ， ∴ ，故选 B． 【点睛】 本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比 较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也 可以两种方法综合应用. 8．已知函数 ， ，要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上的所有点（　　） A．横坐标缩短为原来的 ，再向左平移 个单位得到 B．横坐标缩短为原来的 ，再向右平移 个单位得到 C．横坐标伸长为原来的 2 倍，再向左平移 个单位得到 D．横坐标伸长为原来的 2 倍，再向右平移 个单位得到 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意根据函数 的图象变换规律，得出结论． 【详解】 只需将函数 的图象上的所有点横坐标缩短为原来的 ，可得 的 图象； 再向右平移 个单位，即可得到 的图象， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查函数 的图象变换规律，属于基础题． 9．《九章算木》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”， 现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形，该“阳马”的体积为 ，若该 阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用视图得长方形的长和宽，由体积公式求得高，再结合长方体外接球直径为其体对角 线长即可得解． 【详解】 由正视图，侧视图可知，底面长方形的长，宽分别为 4，2， 故四棱锥的高为 ， 所以外接球的直径为 ， 所以 ． 故选：D． 【点睛】 此题考查了三视图，棱锥外接球问题，属于基础题． 10．元朝时，著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春 走，与店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少 酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的 ，问一开始输入的 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 执行如图所示的程序框图，逐次循环计算结果，结合判断条件，即可得到答案. 【详解】 由题意，执行如图所示的程序框图， 第一次循环：计算 ，不满足判断条件； 第二次循环：计算 ，不满足判断条件； 第三次循环：计算 ，满足判断条件； 因为输出的值为 ，则 ，解得 ，故选 B. 【点睛】 本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法， 一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判 断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、 判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 11．在 中三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ， ，则角 C 的大小是（　　） A． 或 B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由 可得 cosA ，进而利用 可得 sinBsinC= 结合内角和定理可得 C 值. 【详解】 ∵ ， ∴cosA ， 由 0＜A＜π，可得 A ， ∵ ，∴sinBsinC= ∴ ，即 解得 tan2C= ，又 ∴2C= 或 ，即 C= 或 故选：A 【点睛】 本题考查正弦定理和余弦定理的运用，同时考查两角和差的正弦公式和内角和定理，属 于中档题． 12．若函数 ，函数 有两个零点，则 k 的值 是（　　） A．0 或 B．0 或 C．0 或 1 D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数方程的关系利用参数分离法得 ，求出函数的导数研究函数的单调性， 作出函数 的图象，利用数形结合进行求解即可． 【详解】 由 得 ，当 时， ， 则当 时， ， ， ， ，则 ，此时 为减函数，且 ， 当 时， ， 作出函数 的图象如图，要使 与 有两个不同的交点，则 或 1， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，作出函数的图象，利用数形结合是 解决本题的关键． 第 II 卷（非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13．已知函数 则 ______． 【答案】-1 【解析】 【分析】 先求出 ， ，由此能求出 的值． 【详解】 解：因为函数 所以 ， ， 所以 ． 故答案为：-1． 【点睛】 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14．设等差数列 满足 ， ，则数列 的前 n 项的和等于 ______． 【答案】 【解析】 【分析】 求出等差数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和． 【详解】 设公差为 d 的等差数列 首项为 ，满足 ， ， 则： ，解得： ，所以： ， 所以： 则： 故答案为： 【点睛】 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．裂项相消法在数列求和中的应用， 主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 15．某车间租赁甲、乙两种设备生产 A，B 两类产品，甲种设备每天能生产 A 类产品 8 件和 B 类产品 15 件，乙种设备每天能生产 A 类产品 10 件和 B 类产品 25 件，已知设备 甲每天的租赁费 300 元，设备乙每天的租赁费 400 元，现车间至少要生产 A 类产品 100 件，B 类产品 200 件，所需租赁费最少为______元． 【答案】3800 【解析】 【分析】 设甲种设备需要生产 天，乙种设备需要生产 天，根据两种产品生产件数的限制列出约 束条件，根据两种设备的租赁费求出目标函数，然后利用线性规划，求出最优解即 可． 【详解】 设甲种设备需要生产 天，乙种设备需要生产 天， 该公司所需租赁费为 元，则 ， 分 甲、乙两种设备生产 A，B 两类产品的情况为： ，做出不等式表示的平面区域， 由 解得 当 经过的交点 时， 目标函数 取得最低为 3800 元． 故答案为 . 【点睛】 在本题考查了简单线性规划的应用，属于基础题解决线性规划的应用题时，其一般步骤 为： 分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件； 由约束条件画出可 行域； 分析目标函数 与直线截距之间的关系； 使用平移直线法求出最优解； 还 原到现实问题中． 16．已知直线 （ ）与抛物线 C： 及其准线分别交于 M，N 两点， F 为抛物线的焦点，若 ，则 k 等于______． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意画出图形，直线 l 的倾斜角为 α，由已知结合抛物线定义可得 ，求 得 ，可得 k． 【详解】 解：如图所示， ，设直线 l 的倾斜角为 α，由抛物线的定义可知， 点 M 到准线的距离 ，故 ， ，则 ，则 故答案为： 【点睛】 本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，是中档题． 评卷人 得分 三、解答题 17．已知等差数列 中， ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）若等比数列 满足 ， ，求 的前 n 项和 ． 【答案】（1） ；（2） 。 【解析】 【分析】 （1）设等差数列 的公差为 ，则 ，由 ， 可得 ， 解得 ，求出 .（2）设等比数列 的公比为 求出 利用等 比数列前 n 项和公式，求出 【详解】 （1）设等差数列 的公差为 ，则 由 ， 可得 ，解得 从而 . 即数列 的通项公式 （2）设等比数列 的公比为 ，则 由 ， ， 解得 ， 所以 的前 项和公式 。 【点睛】 本题考查的是等差数列与等比数列的通项公式和等比数列的前 n 项和公式的应用，属于 基础题. 18．在 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 ． （1）求角 C 的大小； （2）若 ， ，求 的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 由正弦定理将已知等式中的边化角后， ，可得 ； 先由正弦定理求出 ，再由内角和定理求出 ，最后由面积公式可得． 【详解】 由正弦定理及已知条件 得： ， 即 ， ，又 ， 得 ， ， ； 由 知 ，在 中，由正弦定理得： ，所以 又由三角形的内角和定理得： ， 即 ，所以 ， 所以 的面积 ． 【点睛】 本题主要考查了正弦定理和三角形的面积公式的应用，其中解答中合理应用三角恒等变 换的公式化简，以及正确利用三角形的正弦定理和面积公式求解是解答的关键，着重考 查了推理与计算能力，属于基础题. 19．从某校高一年级随机抽取 n 名学生，获得了他们日平均睡眠时间（单位：小时） 的数据，整理得到数据分组及频数分布表： 组号 分组 频数 频率 1 2 0.04 2 0.20 3 a 4 b 5 0.16 （I）求 n 的值； （Ⅱ）若 a=10，补全表中数据，并绘制频率分布直方图； （Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替．若上述数据的平均值为 7.84，求 a，b 的值，并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于 8 小时的概 率． 【答案】（1）50（2）见解析（3）0.46 【解析】 试题分析：（I）在 1 组中，频数为 2，频率为 0．04，可求得 值；（Ⅱ）当 时， 根据随机抽样时等概率的特点可以补全表格中数据，然后根据表格中的数据绘制频率分 布直方图；（Ⅲ）根据样本数据的平均值为 7．84，样本容量为 50，列出关于 的方 程组解出 ，然后将[8，9）和[9，10）两组的频数作和，然后除以样本容量得出所求 概率； 试题解析：（I） （II）补全数据见下表； 组号 分组 频数 频率 1 [5，6） 2 0．04 2 [6，7） 10 0．20 3 [7，8） 10 0．20 4 [8，9） 20 0．40 5 [9，10） 8 0．16 频率分布直方图见下图： （III）依题意得 解得 设“该校高一学生的日平均睡眠时间不少于 8 小时”为事件 ，则 考点：频数分布表；频率分布直方图； 20．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 经过抛物线 与坐标轴的三个交 点． （1）求圆 C 的方程； （2）经过点 的直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，若圆 C 在 A，B 两点处的切线互 相垂直，求直线 l 的方程． 【答案】（1） （2） 和 ． 【解析】 【分析】 （1）方法一、求得抛物线与坐标轴的三个交点，设出圆的一般式方程，代入三点坐标， 解方程组可得 D，E，F，即可得到所求圆方程；方法二、由抛物线方程与圆的一般式 方程，可令 y＝0，可得 D，F，再由抛物线与 y 轴的交点，可得 E，即可得到所求圆方 程； （2）求圆 C 的圆心和半径，圆 C 在 A，B 两点处的切线互相垂直，可得∠ACB ， 求得 C 到直线 l 的距离，讨论直线 l 的斜率是否存在，由点到直线的距离公式，计算可 得所求直线方程． 【详解】 （1）方法一：抛物线 与坐标轴的三个交点坐标为 ， ， ． 设圆 的方程为 ， 则 , 解得 所以圆 的方程为 ． 方法二：设圆 的方程为 ． 令 ，得 ． 因为圆 经过抛物线 与 轴的交点， 所以 与方程 同解， 所以 ， ． 因此圆 ． 因为抛物线 与 轴的交点坐标为 ， 又所以点 也在圆 上，所以 ，解得 ． 所以圆 的方程为 ． （2）由（1）可得，圆： ， 故圆心 ，半径 ． 因为圆 在 ， 两点处的切线互相垂直，所以 ． 所以 到直线的距离 ． ① 当直线的斜率不存在时， ，符合题意； ② 当直线的斜率存在时，设 ，即 ， 所以 ，解得 ， 所以直线 ，即 ． 综上，所求直线的方程为 和 ． 方法三：①当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ， ， ，将直线的方程代入圆 的方程得： ， 即 ， ． 因为圆 在点 ， 两点处的切线互相垂直，所以 ， 所以 ，即 ， 所以 ， 即 ， 即 ， ， 即 ，解得 ，所以直线： ， 即 ． ②当直线的斜率不存在时，： ，符合题意； 综上，所求直线的方程为 和 ． 【点睛】 本题考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法和方程思想，考查直线和圆的位置关系， 注意运用分类讨论思想方法和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题． 21．如图所示，在棱长为 2 的正方体 中，M 是线段 AB 上的动点． （1）证明： 平面 ； （2）若 M 是 AB 的中点，证明：平面 平面 ； （3）求三棱锥 的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 。 【解析】 【分析】 （1）利用 得出 平面 .（2）通过证明 平面 ，可证得平 面 平面 .（3）利用等体积转化 求出即 可. 【详解】 （1）证明：因为在正方体 中， ， 平面 ， 平面 ， 平面 （2）证明：在正方体 中， , 是 中点， . 平面 ， 平面 ，则 . 平面 ， 平面 ，且 ， 平面 . 平面 ， ∴平面 平面 （3）因为 平面 ，所以点 ，点 到平面 的距离相等. 故 。 【点睛】 本题考查了证明线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，注意判定定理中的 条件，利用等体积转化求三棱锥的体积是常用的方法，属于基础题. 22．设椭圆 E： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线交椭 圆于 A，B 两点，若椭圆 E 的离心率为 ， 的周长为 16． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦 AB 的直线交椭圆 E 于点 C，D，设弦 AB，CD 的 中点分别为 M，N．证明：O，M，N 三点共线． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由已知椭圆 E 的离心率为 ， 的周长为 16，解得 a，b 的值，可得椭圆 E 的方程；（Ⅱ）设 ， ， ．利用点差法，可得 ， ，由此可得 O，M，N 三点共线． 【详解】 （Ⅰ）解：由题意知， ， ．又 ， ， ， 椭圆 E 的方程为 ； （Ⅱ）证明：当直线 AB、CD 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知， 中点 M，N 在 x 轴上，O，M，N 三点共线； 当直线 AB，CD 的斜率存在时，设其斜率为 k， 且设 ， ， ． 则 ， ，相减得 ， ，即 ，即 ， ； 同理可得 ， ， 所以 O，M，N 三点共线． 【点睛】 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用“点差法”求解 中点弦问题，是中档题．