北京市怀柔区2020届高三一模数学试题

北京市怀柔区2020届高三一模数学试题

‎2019-2020学年怀柔区第二学期适应性练习 数学 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第一部分(选择题共40分)‎ 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据交集的概念，可得结果.‎ ‎【详解】由题可知：，‎ 所以 故选：A ‎【点睛】本题考查交集的概念，属基础题.‎ ‎2.已知复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 把两边同乘以，则有，，故选C.‎ ‎3.函数的最小正周期为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二倍角的余弦公式，可得，然后利用，可得结果.‎ ‎【详解】由题可知：‎ 所以最小正周期为 故选：B ‎【点睛】本题考查二倍角的余弦公式以及三角函数最小正周期的求法，重在识记公式，属基础题.‎ ‎4.函数f(x)=|log2x|的图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：易知函数值恒大于等于零，同时在（0，1）上单调递减且此时的图像是对数函数的图像关于x轴的对称图形，在单调递增．故选A．‎ 考点：已知函数解析式作图．‎ ‎5.在等差数列中，若，则（ ）‎ A. 6 B. ‎10 ‎C. 7 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质，可得，然后由，简单计算结果.‎ ‎【详解】由题可知：‎ 又，所以 故选：B ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质，若，则，考验计算，属基础题.‎ ‎6.已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于原点对称，则圆C的方程为（ ）‎ A. x2＋y2＝1 B. x2＋(y＋1)2＝1‎ C. x2＋(y－1)2＝1 D. (x＋1)2＋y2＝1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对称性，可得点坐标以及圆的半径，然后可得结果.‎ ‎【详解】由题可知：圆的圆心，半径为 所以圆的方程为：‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查圆的方程，直观形象，简单判断，对圆的方程关键在于半径和圆心，属基础题.‎ ‎7.已知，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的垂直关系，可得，简单计算，可得结果.‎ ‎【详解】由，则 又，所以 若，且，所以，则 所以“”是“”的充要条件 故选：C ‎【点睛】本题考查向量的垂直的数量积表示以及计算，同时考查了充分、必要条件，识记概念与计算公式，属基础题.‎ ‎8.如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数形结合，还原出原几何体的直观图，可得该几何体为一个三棱锥，然后根据锥体体积公式简单计算即可.‎ ‎【详解】根据三视图可知，该几何体的直观图为三棱锥，‎ 如图 ‎ ‎ 可知，点到平面的距离为 所以 故选：D ‎【点睛】本题考查三视图还原以及几何体体积，关键在于三视图的还原，熟悉常见的几何体的三视图，比如：圆锥，圆柱，球，三棱锥等，属中档题.‎ ‎9.已知，则下列不等式成立的是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用作差比较法比较即得正确选项.‎ ‎【详解】=所以A选项是错误的.‎ ‎=所以B选项是错误的.‎ ‎=所以C选项是错误的.‎ ‎=所以D选项是正确的.‎ ‎.‎ ‎【点睛】(1)本题主要考查不等式的性质和实数比较大小，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)‎ 比较实数大小，常用包括比差和比商两种方法.比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.‎ ‎10.“割圆术”是我国古代计算圆周率的一种方法.在公元年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求.当时刘微就是利用这种方法，把的近似值计算到和之间，这是当时世界上对圆周率的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率，则的近似值是（ ）（精确到）（参考数据）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 假设圆的半径为，根据以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形，顶角为，计算正二十四边形的面积，然后计算圆的面积，可得结果.‎ ‎【详解】设圆的半径为，‎ 以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形 且顶角为 所以正二十四边形的面积为 所以 故选：C ‎【点睛】本题考查分割法使用，考验计算能力与想象能力，属基础题.‎ 第二部分(非选择题共110分)‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.）‎ ‎11.已知抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为__________；准线方程为___________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算双曲线的右顶点坐标，可得抛物线的焦点坐标，进一步可得准线方程.‎ ‎【详解】由题可知：双曲线的右顶点坐标为 所以可知抛物线的焦点坐标为，准线方程为 故答案为：；‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的方程的应用，审清题意，注意细节，属基础题.‎ ‎12.的展开式中的系数是___________.‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项式定理的通项公式，简单计算，可得结果.‎ ‎【详解】由题可知：的通项公式为，‎ 令 所以的系数是 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查二项式中指定项的系数，掌握公式，细心计算，属基础题.‎ ‎13.在中，，，为的中点，则___________.‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，然后将用表示，最后利用数量积公式可得结果.‎ ‎【详解】由，，‎ 所以 又为的中点，‎ 所以 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积运算，给出已知的线段与相应的夹角，通常可以使用向量的方法，将几何问题代数化，便于计算，属基础题.‎ ‎14.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.‎ 某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．‎ ‎【答案】1120‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 明确折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式，结合y＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案．‎ ‎【详解】由题可知：折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式，‎ y ‎∵y＝30＞25‎ ‎∴x＞1100‎ ‎∴0.1（x﹣1100）+25＝30‎ 解得，x＝1150，‎ ‎1150﹣30＝1120，‎ 故此人购物实际所付金额为1120元．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．‎ ‎15.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是___________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 使用等价转化的思想，转化为在恒成立，然后利用分离参数的方法，结合辅助角公式，可得，简单计算和判断，可得结果.‎ ‎【详解】由题可知：‎ 函数在区间上单调递减 等价于在恒成立 即在恒成立 则在恒成立 所以，‎ 由，所以 故，则 所以，即 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的单调性求参，难点在于得到在恒成立，通过等价转化的思想，化繁为简，同时结合分离参数方法的，转化为最值问题，属中档题.‎ 三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）‎ ‎16.已知在中，，，同时还可能满足以下某些条件：‎ ‎①；②；③；④.‎ ‎（1）直接写出所有可能满足的条件序号；‎ ‎（2）在（1）条件下，求及的值.‎ ‎【答案】（1）①，③；（2）；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据大边对大角，可得，然后根据正弦定理，可得.‎ ‎（2）利用正弦定理，可得，然后利用余弦定理，简单计算可得结果.‎ ‎【详解】解：（1）①，③.‎ ‎（2）由，可得 解得或（舍）.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，识记公式，熟练使用正弦定理、余弦定理，边角互化，考验计算能力，属中档题.‎ ‎17.如图，已知四棱锥的底面ABCD为正方形，平面ABCD，E、F分别是BC，PC的中点，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的大小．‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎（2）以A为原点，如图所示建立直角坐标系 ‎，，‎ 设平面FAE法向量为，则 ‎，，‎ ‎18.某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为分，规定测试成绩在之间为“体质优秀”，在之间为“体质良好”，在之间为“体质合格”，在之间为“体质不合格”.现从这两个年级中各随机抽取名学生，测试成绩如下：‎ 学生编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 高一年级 ‎60‎ ‎85‎ ‎80‎ ‎65‎ ‎90‎ ‎91‎ ‎75‎ 高二年级 ‎79‎ ‎85‎ ‎91‎ ‎75‎ ‎60‎ 其中是正整数.‎ ‎（1）若该校高一年级有学生，试估计高一年级“体质优秀”的学生人数；‎ ‎（2）若从高一年级抽取的名学生中随机抽取人，记为抽取的人中为“体质良好”的学生人数，求的分布列及数学期望；‎ ‎（3）设两个年级被抽取学生测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试成绩的方差最小时，写出的值.（只需写出结论）‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据表中数据计算样本中的优秀率，然后用样本估计整体，简单计算可得结果.‎ ‎（2）写出所有可能取值，并求得相应的概率，列出分布列，然后根据数学期望公式，可得结果.‎ ‎（3）根据两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，可得之间关系，然后利用方差公式，结合二次函数，可得结果.‎ ‎【详解】解：（1）高一年级随机抽取的7名学生中，‎ ‎“体质优秀”的有3人，优秀率为，将此频率视为概率，‎ 估计高一年级“体质优秀”的学生人数为.‎ ‎（2）高一年级抽取的7名学生中 ‎“体质良好”的有2人，非“体质良好”的有5人.‎ 所以的可能取值为 所以 所以随机变量的分布列为：‎ ‎（3）‎ ‎【点睛】本题考查离散性随机变量的分布列以及数学期望，同时考查平均数与方差，本题主要考验计算，牢记计算的公式，掌握基本统计量的概念，属基础题.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）求在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，证明：；‎ ‎（3）判断曲线与是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在；存在2条公切线 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算，根据曲线在该点处导数的几何意义可得切线的斜率，然后计算，利用点斜式，可得结果.‎ ‎（2）分别构造，通过导数研究的性质，可得 ，，简单判断，可得结果.‎ ‎（3）分别假设与的切线，根据公切线，可得，利用导数研究函数零点个数，根据性质可得结果.‎ ‎【详解】解：（1）的定义域 又 所以在点处的切线方程为：.‎ ‎（2）设，‎ ‎，‎ ‎↑‎ 极大值 ‎↓‎ 设则在上恒成立 综上 ‎（3）曲线与存在公切线，且有2条，理由如下：‎ 由（2）知曲线与无公共点，‎ 设分别切曲线与于，则 ‎，‎ 若，即曲线与有公切线，则 令，‎ 则曲线与有公切线，当且仅当有零点，‎ ‎， ‎ 当时，，在单调递增，‎ 当时，，在单调递减 ‎，‎ 所以存在，使得 且当时，单调递增，‎ 当时，单调递减 ‎，‎ 又 所以在内各存在有一个零点 故曲线与存在2条公切线.‎ ‎【点睛】本题考查导数综合应用，掌握曲线在某点处导数的几何意义，同时比较式子之间大小关系常用方法：作差法，函数单调性等，考验逻辑推理能力，属难题.‎ ‎20.已知椭圆的短半轴长为，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交椭圆于点，证明：是直角三角形．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题得，，解之即得椭圆的方程；（2）设，，则，，联立直线BE的方程和椭圆的方程求出， ，证明，是直角三角形即得证.‎ ‎【详解】（1）依题意可得，所以，‎ 得，所以椭圆的方程是 . ‎ ‎（2）设，，则，，‎ 直线的方程为， ‎ 与联立得 ， ‎ 因为，是方程的两个解，‎ 所以 ‎ 又因为，‎ 所以，代入直线方程得 ‎ ‎ ‎ 所以，即是直角三角形.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎21.已知数列，且.若是一个非零常数列，则称是一阶等差数列，若是一个非零常数列，则称是二阶等差数列.‎ ‎（1）已知，试写出二阶等差数列的前五项；‎ ‎（2）在（1）的条件下，证明：；‎ ‎（3）若的首项，且满足，判断是否为二阶等差数列.‎ ‎【答案】（1），，，，;（2）证明见解析；（3）不是二阶等差数列 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，以及，简单计算，可得结果.‎ ‎（2）根据，可知，利用，使用迭加法，可得.‎ ‎（3）根据题意可得，进一步可得，然后可得，简单判断，可得结果 ‎【详解】解：（1），，，，.‎ ‎（2）‎ 又 ‎.‎ ‎（3）不是二阶等差数列.理由如下：‎ 数列满足 又，（）‎ 由 则 数列是首项为，公比为4的等比数列 ‎，显然非常数列 不是二阶等差数列.‎ ‎【点睛】本题考查数列中新定义的理解，关键在于发现之间的关系，考查观察能力，分析能力以及逻辑思维能力，新定义的理解同时考查了阅读理解能力，属难题.‎