【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第十章第3讲 几何概型学案
第3讲 几何概型
[学生用书P182]
1．几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的概率公式
P(A)＝
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( )
(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )
(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( )
(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( )
(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×
(教材习题改编)如图，转盘的指针落在A区域的概率为( )
A. B.
C. D．
答案：C
(教材习题改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
解析：选A.如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)＝
，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，所以P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．
(教材习题改编)一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )
A. B.
C. D．
解析：选B.P＝＝，故选B.
(教材习题改编)如图，
在一边长为2的正方形ABCD内有一曲线L围成的不规则图形．往正方形内随机撒一把豆子(共m颗)．落在曲线L围成的区域内的豆子有n颗(n
，三棱锥S－ABC的高与三棱锥S－APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，则PM，BN分别为△APC与△ABC的高，
所以＝＝>，
又＝，所以>，
故所求的概率为(即为长度之比)．
【答案】 (1)1－ (2)
与体积有关的几何概型求法的关键
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．
[通关练习]
一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE内自由飞翔，则它飞入几何体FAMCD内的概率为( )
A. B.
C. D．
解析：选D.由题图可知VFAMCD＝×SAMCD×DF＝a3，VADFBCE＝a3，所以它飞入几何体FAMCD内的概率为＝.
判断几何概型中的几何度量形式的方法
(1)当题干是双重变量问题时，一般与面积有关系．
(2)当题干是单变量问题时，要看变量可以等可能到达的区域；若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移
动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域．
解决几何概型问题时，有两点容易造成失分
(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型；
(2)利用几何概型的概率公式时，忽视基本事件是否等可能．
[学生用书P331(单独成册)]
1．在区间[0，2]上随机地取出一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为( )
A. B.
C. D．
解析：选A.不等式－1≤log≤1可化为log2≤log≤log，即≤x＋≤2，解得0≤x≤
，故由几何概型的概率公式得P＝＝.
2．在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为( )
A. B.
C. D．
解析：选C.设AC＝x(0(a－b)2恒成立”的概率．
解：(1)依题意＝，得n＝2.
(2)①记标号为0的小球为s，标号为1的小球为t，标号为2的小球为k，h，则取出2个小球的可能情况有：(s，t)，
(s，k)，(s，h)，(t，s)，(t，k)，(t，h)，(k，s)，(k，t)，(k，h)，(h，s)，(h，t)，(h，k)，共12种，其中满足“a＋b＝2”的有4种：(s，k)，(s，h)，(k，s)，(h，s)．所以所求概率为P(A)＝＝.
②记“x2＋y2>(a－b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2＋y2>4恒成立”，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2，
x，y∈R}，而事件B构成的区域为B＝{(x，y)|x2＋y2>4，(x，y)∈Ω}．所以所求的概率为P(B)＝1－.
6．已知关于x的二次函数f(x)＝b2x2－(a＋1)x＋1.
(1)若a，b分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求y＝f(x)恰有一个零点的概率；
(2)若a，b∈[1，6]，求满足y＝f(x)有零点的概率．
解：(1)设(a，b)表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，…，(6，5)，(6，6)，共36个．
用A表示事件“y＝f(x)恰有一个零点”，即Δ＝[－(a＋1)]2－4b2＝0，则a＋1＝2b.则A包含的基本事件有(1，1)，(3，2)，(5，3)，共3个，所以P(A)＝＝.
即事件“y＝f(x)恰有一个零点”的概率为.
(2)用B表示事件“y＝f(x)有零点”，即a＋1≥2b.
试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|1≤a≤6，1≤b≤6}，
构成事件B的区域为{(a，b)|1≤a≤6，1≤b≤6，a－2b＋1≥0}，
如图所示：
所以所求的概率为P(B)＝＝.
即事件“y＝f(x)有零点”的概率为.
