安徽省芜湖市城南实验中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学(文)试卷

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文档介绍

安徽省芜湖市城南实验中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学(文)试卷

数学试卷 一、单选题 ‎1.圆锥的底面半径为2,高为,则圆锥的侧面积为( )‎ A. 3π B. 12π C. 5π D. 6π ‎【答案】D ‎【解析】‎ 圆锥的母线l==3,∴圆锥的侧面积S=πrl=π×2×3=6π,故选D.‎ 考点:旋转体(圆柱、圆锥、圆台)的侧面积.‎ ‎2.圆的圆心和半径分别为 A. 圆心,半径为2 B. 圆心,半径为2‎ C. 圆心,半径为4 D. 圆心,半径为4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆的一般式化成标准方程,即可得到圆心和半径.‎ ‎【详解】将配方得 ‎ ‎ 所以圆心为,半径为2‎ 所以选B ‎【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化,属于基础题.‎ ‎3.过点且与直线垂直的直线方程是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据与已知直线垂直的直线系方程,可设直线垂直的直线方程,再把点代入,即可求出值,得到所求方程.‎ ‎【详解】因为所求直线方程与直线垂直,设所求直线的方程为,‎ 因为直线过点,代入可得,解得,‎ 所以所求直线的方程为,故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用两条直线的位置关系求解直线的方程,根据与已知直线垂直的直线系方程,设处所求直线方程,代入求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.‎ ‎4.设m,n是两条不同的直线,,为两个不同的平面,则下列四个命题中不正确的是( )‎ A. ,且,则 B. ,且,则 C. ,且,则 D. ,且,则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间点线面的位置关系,对选项进行逐一判断,由此得出正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项,画出图像如下图所示,由图可知,命题正确.‎ 对于B选项,画出图像如下图所示,由图可知,,故B选项命题错误.‎ 对于C选项,画出图像如下图所示,由图可知,命题正确.‎ 对于D选项,画出图像如下图所示,由图可知,命题正确.‎ 综上所述,本小题选B.‎ ‎【点睛】本小题考查空间点线面的位置关系,只需根据命题的条件画出图像,判断结论是否正确即可,属于基础题.‎ ‎5.已知水平放置的,按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中,,那么原的面积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直观图和原图的面积之间的关系 ,直接求解即可.‎ ‎【详解】因为,‎ 且若△A′B′C′的面积为,‎ 那么△ABC的面积为 ,‎ 故答案B.‎ ‎【点睛】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系,属基本概念、基本运算的考查.‎ ‎6. 已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由三视图知几何体为三棱锥,棱锥的高为2,底面为等腰三角形,且等腰三角形的底边长为2,高为2.‎ 故三棱锥的体积为.选C.‎ ‎7.若直线与互相垂直,则等于(  )‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线垂直的充分必要条件得到关于a的方程,解方程即可确定实数a的值.‎ ‎【详解】∵直线与互相垂直,‎ ‎∴,‎ 解得或.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线垂直的充分必要条件,属于中等题.‎ ‎8.两圆和的位置关系是( )‎ A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 外离 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出两圆的圆心与半径,利用圆心距与半径的关系,即可得到结果.‎ ‎【详解】由圆的圆心为,半径为1,‎ 圆圆心为半径为3,‎ 所以圆心距为,此时,即圆心距等于半径的差,所以两个圆相内切,故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了两个圆的的位置关系的判定,其中熟记两圆的位置关系的判定方法,准确作出运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎9.在正方体中,异面直线与所成角的余弦值为  ‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正方体的性质可知,是异面直线与所成的角,‎ 利用是正三角形,即可得结果.‎ ‎【详解】由正方体的性质可知,‎ 是异面直线与所成的角,‎ 是正三角形,‎ ‎,‎ 余弦值为,故选B.‎ ‎【点睛】求异面直线所成的角主要方法有两种:一是向量法,根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后,分别求出两直线的方向向量,再利用空间向量夹角的余弦公式求解;二是传统法,利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角,再利用平面几何性质求解.‎ ‎10.在中,,为所在平面外一点,平面,则四面体中直角三角形的个数为( )‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 由平面可得都是直角三角形,且,得到是直角三角形,且平面,进而得为直角三角形,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,知平面可得都是直角三角形,且,‎ 又,所以是直角三角形,且平面,‎ 所以,即为直角三角形.‎ 故四面体中共有4个直角三角形.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面位置关系的应用,其中解答中熟练应用线面垂直的性质定理,合理准确判定是解答的关键,着重考查了推理与论证能力,属于基础题.‎ ‎11.已知坐标平面内三点,,,直线过点.若直线与线段相交,则直线的倾斜角的取值范围( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出直线的斜率,再求出直线的斜率,然后结合图像观察即可得直线的斜率取值范围为,然后求出线的倾斜角的取值范围即可.‎ ‎【详解】解:∵,,∴直线的斜率,‎ 同理可得直线的斜率.设直线与线段交于点,‎ 当直线的倾斜角为锐角时,随着从向移动的过程中,的倾斜角变大,‎ 的斜率也变大,直到平行轴时的斜率不存在,此时的斜率;‎ 当直线的倾斜角为钝角时,随着的倾斜角变大,的斜率从负无穷增大到直线的斜率,此时的斜率.由图可得直线的斜率取值范围为:.‎ 即直线的倾斜角的取值范围.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系,重点考查了数形结合的数学思想方法,属基础题.‎ ‎12.已知直线l:y=x+m与曲线有两个公共点,则实数m的取值范围是(  )‎ A. [-1,) B. (-,-1] C. [1,) D. (-‎ ‎,1]‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由曲线表示一个半圆,直线表示平行于的直线,作出图象,利用数形结合思想,即可求解.‎ ‎【详解】根据题意,可得曲线表示一个半圆,直线表示平行于的直线,‎ 其中表示在轴上的截距,‎ 作出图象,如图所示,‎ 从图中可知之间的平行线与圆有两个交点,在轴上的截距分别为,‎ 所以实数的取值范围是,故选B.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,其中解答中作出曲线的图象和明确直线表示平行于的直线,其中表示在轴上的截距,结合图象求解是解答的关键,着重考查了数形结合思想的应用,属于中档试题.‎ 二、填空题 ‎13.已知空间两点,,则它们之间的距离为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用空间两点间距离公式求解即可.‎ ‎【详解】空间两点,,则它们之间的距离为:‎ ‎ .‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查空间两点间距离构公式的应用,基本知识的考查.‎ ‎14.已知直线l的倾斜角是直线y=x+1的倾斜角的2倍,且过定点P(3,3),则直线l的方程为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出条件中所给的直线的倾斜角是,根据要求的直线的倾斜角是它的二倍,得到要求的直线的倾斜角是,即直线与横轴垂直,又知直线过的点,写出直线的方程.‎ ‎【详解】∵直线的倾斜角是45°,‎ 直线的倾斜角是直线的两倍,‎ ‎∴要求直线的倾斜角是,‎ ‎∵直线过点,∴直线的方程是,故答案为 ‎【点睛】本题考查直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系,考查两条直线的斜率的关系,考查过定点和已知直线的斜率的方程的写法,属于基础题.‎ ‎15.已知四面体的棱,,,则此四面体外接球的表面积__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设BD的中点为O,再证明,即得点O是四面体的外接球的球心,再求出外接球的表面积.‎ ‎【详解】设BD的中点为O,‎ 如图 因为AB=3,AD=4,BD=5,所以 因为BO=OD,所以AO=‎ 同理CO=,‎ 所以,‎ 所以点O是四面体ABCD的外接球的球心,且半径R为.‎ 所以四面体外接球的表面积为 故答案为25π.‎ ‎【点睛】本题主要考查几何体的外接球的表面积的计算,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力,解答本题的关键是找到球的球心再求出球的半径.‎ ‎16.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论 ‎①AB⊥EF; ‎ ‎②AB与CM所成的角为60°; ‎ ‎③EF与MN是异面直线;‎ ‎④MN∥CD. ‎ 以上四个命题中,正确命题的序号是 _________‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先把正方体的平面展开图还原成原来的正方体,再根据所给结论进行逐一判定即可.‎ ‎【详解】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体,如图:‎ 则,与异面,,‎ 只有①③正确.‎ 故答案为①③.‎ ‎【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角,直线与直线的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题,其中把正方体的平面展开图还原成原来的正方体是解答本题的关键.‎ 三、解答题 ‎17.如图所示(单位:cm),四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.‎ ‎【答案】表面积,体积 ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:该几何体为一个圆台去掉一个半球,分别求圆台侧面积和半球表面积及圆台下底面积,其和即为所求.‎ 试题解析:‎ S球=×4π×22=8π(cm2),‎ S圆台侧=π(2+5),‎ S圆台下底=π×52=25π(cm2),‎ 即该几何体的表面积为 ‎8π+35π+25π=68π(cm2).‎ ‎ ‎ 点睛:本题考查了旋转体生成以,旋转体表面积、体积,以及空间想象力,属于中档题.解决本类问题时,首先要作出旋转体的直观图,仔细分析旋转体的结构特征,为顺利解题创造依据,这类问题对空间想象力,转化能力及计算能力都有较高的要求,需要特别强化训练注意总结解题规律.‎ ‎18.直线被两直线:和:截得的线段中点为.‎ ‎(1)求直线的方程;‎ ‎(2)已知点,,在直线上找一点,使最小,并求出这个最小值.‎ ‎【答案】(1)‎ ‎(2),的最小值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先设直线与直线交于点,与直线交于点,设点,则,再列方程组,然后求解即可得解;‎ ‎(2)先求出点关于直线的对称点为 ‎,然后结合两点之间线段最短的性质,利用两点的距离公式求解即可.‎ ‎【详解】解:(1)设直线与直线交于点,与直线交于点,设点,则,∴,解得,则,‎ 即直线所在直线方程为, ‎ 故所求直线为.‎ ‎(2)设点关于直线的对称点,则,‎ 解得的坐标为,‎ 又因为两点之间线段最短,‎ 故的最小值,‎ 此时直线的方程为,化简为,‎ 联立,解得,即.‎ ‎【点睛】本题考查了中点坐标公式及点关于线对称问题,重点考查了两点的距离公式及直线交点坐标的求法,属中档题.‎ ‎19.如图,四棱锥的底面为菱形,,,分别为和的中点.‎ ‎()求证:平面.‎ ‎()求证:平面.‎ ‎【答案】(1) 证明见解析.‎ ‎(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析:(1)证明线面平行,只需在面内找一条直线与已知线平行即可,取中点为,证明四边形是平行四边形即可;(2)证明线面垂直则需在面内找两条相交直线与已知线垂直即可,,即可得证.‎ 详解:‎ ‎()证明:取中点为,‎ ‎∵在中,是中点,是中点,‎ ‎∴,且,‎ 又∵底面是菱形,‎ ‎∴,‎ ‎∵是中点,‎ ‎∴,且,‎ ‎∴,且,‎ ‎∴四边形平行四边形,‎ ‎∴,‎ 又平面,平面,‎ ‎∴平面.‎ ‎()证明:设,则是中点,‎ ‎∵底面是菱形,‎ ‎∴,‎ 又∵,是中点,‎ ‎∴,‎ 又,‎ ‎∴平面.‎ 点睛:本题考查了空间直线平面的平行,垂直,关键是熟练掌握定理,定义,把空间问题转化为平面问题求解,属于中档题.‎ ‎20.已知圆:,直线:.‎ ‎(1)求证:直线与圆相交;‎ ‎(2)计算直线被圆截得的最短的弦长.‎ ‎【答案】(1)证明见解析 ‎(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求得直线:过定点,然后结合点与直线的位置关系求解即可;‎ ‎(2)由圆的性质可得:当垂直弦时,弦长最短,再利用勾股定理求解即可.‎ ‎【详解】解:(1)将圆的一般方程化为标准方程得:,则圆心坐标为,半径为,‎ 又直线:变形为,‎ 解不等式组,解得, ‎ 即直线经过定点,‎ 又,‎ 则点在圆的内部,‎ 故直线和圆相交.‎ ‎(2)由圆的性质可得:当垂直弦时,弦长最短,‎ 又,‎ 则,‎ 即 ,‎ 故直线被圆截得的最短的弦长.‎ ‎【点睛】本题考查了点与圆的位置关系,重点考查了圆的弦长的求法,属基础题.‎ ‎21.在中,边上的高所在的直线的方程为,的平分线所在直线的方程为,若点的坐标为.‎ ‎(1)求点的坐标;‎ ‎(2)求直线BC的方程;‎ ‎(3)求点C的坐标.‎ ‎【答案】(1)(2)(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 试题分析:(1)直线和直线的交点得,即的坐标为,‎ ‎(2)∵直线为边上的高,由垂直得,,‎ 所以直线BC的方程为 ‎(3)∵的平分线所在直线的方程为,A(-1,0),B(1,2),,设的坐标为,则,‎ 解得,即的坐标为.‎ 考点:直线方程及点的对称 ‎【点睛】‎ 点评:本题中前两问较简单,第三问主要由角平分线得到两直线AC,AB关于对称,因此点C关于的对称点必定在直线AB上,因此第三问还可结合对称性求解 ‎22.如图,正△ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E,F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.‎ ‎(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;‎ ‎(2)求棱锥E-DFC的体积;‎ ‎(3)在线段BC上是否存在一点P,使AP⊥DE?如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)平面;(2);(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题主要考查线面垂直、线面平行、线线垂直、线线平行以及锥体体积问题,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问,在中,利用中位线得到与平行,通过线面平行的判断定理即可得到平面 ‎;第二问,要求三棱锥的体积,找到底面积和高是关键,通过的翻折得出平面,通过,得出平面,所以为锥体的高,利用锥体体积公式计算出体积;第三问,在线段上取点.使, 过作于,在中,利用边长求出的正切,从而确定角的度数,在等边三角形中,是角平分线,所以,再利用线面垂直的判定证出平面,所以.‎ ‎【详解】(1)平面,理由如下:‎ 如图:在中,由分别是、中点,得,‎ 又平面,平面.∴平面.‎ ‎(2)∵,,将沿翻折成直二面角.‎ ‎∴∴平面 取的中点,这时∴平面,,‎ ‎(3)在线段上存在点,使 证明如下:线段上取点.使, 过作于,‎ ‎∵平面∴平面 ‎∴, ∴‎ ‎∴,又在等边中,∴‎ ‎∵平面∴.‎ ‎∴平面, ∴.‎ 此时, ∴.‎ 考点:1.线面平行的判定定理;2.线面垂直的判定;3.锥体体积公式.‎ ‎ ‎
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