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文档介绍
安徽省芜湖市城南实验中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学(文)试卷
数学试卷 一、单选题 1.圆锥的底面半径为2,高为,则圆锥的侧面积为( ) A. 3π B. 12π C. 5π D. 6π 【答案】D 【解析】 圆锥的母线l==3,∴圆锥的侧面积S=πrl=π×2×3=6π,故选D. 考点:旋转体(圆柱、圆锥、圆台)的侧面积. 2.圆的圆心和半径分别为 A. 圆心,半径为2 B. 圆心,半径为2 C. 圆心,半径为4 D. 圆心,半径为4 【答案】B 【解析】 【分析】 将圆的一般式化成标准方程,即可得到圆心和半径. 【详解】将配方得 所以圆心为,半径为2 所以选B 【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化,属于基础题. 3.过点且与直线垂直的直线方程是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据与已知直线垂直的直线系方程,可设直线垂直的直线方程,再把点代入,即可求出值,得到所求方程. 【详解】因为所求直线方程与直线垂直,设所求直线的方程为, 因为直线过点,代入可得,解得, 所以所求直线的方程为,故选C. 【点睛】本题主要考查了利用两条直线的位置关系求解直线的方程,根据与已知直线垂直的直线系方程,设处所求直线方程,代入求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力. 4.设m,n是两条不同的直线,,为两个不同的平面,则下列四个命题中不正确的是( ) A. ,且,则 B. ,且,则 C. ,且,则 D. ,且,则 【答案】B 【解析】 【分析】 根据空间点线面的位置关系,对选项进行逐一判断,由此得出正确选项. 【详解】对于A选项,画出图像如下图所示,由图可知,命题正确. 对于B选项,画出图像如下图所示,由图可知,,故B选项命题错误. 对于C选项,画出图像如下图所示,由图可知,命题正确. 对于D选项,画出图像如下图所示,由图可知,命题正确. 综上所述,本小题选B. 【点睛】本小题考查空间点线面的位置关系,只需根据命题的条件画出图像,判断结论是否正确即可,属于基础题. 5.已知水平放置的,按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中,,那么原的面积是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由直观图和原图的面积之间的关系 ,直接求解即可. 【详解】因为, 且若△A′B′C′的面积为, 那么△ABC的面积为 , 故答案B. 【点睛】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系,属基本概念、基本运算的考查. 6. 已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由三视图知几何体为三棱锥,棱锥的高为2,底面为等腰三角形,且等腰三角形的底边长为2,高为2. 故三棱锥的体积为.选C. 7.若直线与互相垂直,则等于( ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】 由直线垂直的充分必要条件得到关于a的方程,解方程即可确定实数a的值. 【详解】∵直线与互相垂直, ∴, 解得或. 故选C. 【点睛】本题主要考查直线垂直的充分必要条件,属于中等题. 8.两圆和的位置关系是( ) A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 外离 【答案】B 【解析】 【分析】 求出两圆的圆心与半径,利用圆心距与半径的关系,即可得到结果. 【详解】由圆的圆心为,半径为1, 圆圆心为半径为3, 所以圆心距为,此时,即圆心距等于半径的差,所以两个圆相内切,故选B. 【点睛】本题主要考查了两个圆的的位置关系的判定,其中熟记两圆的位置关系的判定方法,准确作出运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 9.在正方体中,异面直线与所成角的余弦值为 A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由正方体的性质可知,是异面直线与所成的角, 利用是正三角形,即可得结果. 【详解】由正方体的性质可知, 是异面直线与所成的角, 是正三角形, , 余弦值为,故选B. 【点睛】求异面直线所成的角主要方法有两种:一是向量法,根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后,分别求出两直线的方向向量,再利用空间向量夹角的余弦公式求解;二是传统法,利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角,再利用平面几何性质求解. 10.在中,,为所在平面外一点,平面,则四面体中直角三角形的个数为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 分析】 由平面可得都是直角三角形,且,得到是直角三角形,且平面,进而得为直角三角形,即可求解. 【详解】由题意,知平面可得都是直角三角形,且, 又,所以是直角三角形,且平面, 所以,即为直角三角形. 故四面体中共有4个直角三角形. 【点睛】本题主要考查了线面位置关系的应用,其中解答中熟练应用线面垂直的性质定理,合理准确判定是解答的关键,着重考查了推理与论证能力,属于基础题. 11.已知坐标平面内三点,,,直线过点.若直线与线段相交,则直线的倾斜角的取值范围( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出直线的斜率,再求出直线的斜率,然后结合图像观察即可得直线的斜率取值范围为,然后求出线的倾斜角的取值范围即可. 【详解】解:∵,,∴直线的斜率, 同理可得直线的斜率.设直线与线段交于点, 当直线的倾斜角为锐角时,随着从向移动的过程中,的倾斜角变大, 的斜率也变大,直到平行轴时的斜率不存在,此时的斜率; 当直线的倾斜角为钝角时,随着的倾斜角变大,的斜率从负无穷增大到直线的斜率,此时的斜率.由图可得直线的斜率取值范围为:. 即直线的倾斜角的取值范围. 故选:A. 【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系,重点考查了数形结合的数学思想方法,属基础题. 12.已知直线l:y=x+m与曲线有两个公共点,则实数m的取值范围是( ) A. [-1,) B. (-,-1] C. [1,) D. (- ,1] 【答案】B 【解析】 【分析】 由曲线表示一个半圆,直线表示平行于的直线,作出图象,利用数形结合思想,即可求解. 【详解】根据题意,可得曲线表示一个半圆,直线表示平行于的直线, 其中表示在轴上的截距, 作出图象,如图所示, 从图中可知之间的平行线与圆有两个交点,在轴上的截距分别为, 所以实数的取值范围是,故选B. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,其中解答中作出曲线的图象和明确直线表示平行于的直线,其中表示在轴上的截距,结合图象求解是解答的关键,着重考查了数形结合思想的应用,属于中档试题. 二、填空题 13.已知空间两点,,则它们之间的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 直接利用空间两点间距离公式求解即可. 【详解】空间两点,,则它们之间的距离为: . 故答案为. 【点睛】本题考查空间两点间距离构公式的应用,基本知识的考查. 14.已知直线l的倾斜角是直线y=x+1的倾斜角的2倍,且过定点P(3,3),则直线l的方程为_________ 【答案】 【解析】 【分析】 先求出条件中所给的直线的倾斜角是,根据要求的直线的倾斜角是它的二倍,得到要求的直线的倾斜角是,即直线与横轴垂直,又知直线过的点,写出直线的方程. 【详解】∵直线的倾斜角是45°, 直线的倾斜角是直线的两倍, ∴要求直线的倾斜角是, ∵直线过点,∴直线的方程是,故答案为 【点睛】本题考查直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系,考查两条直线的斜率的关系,考查过定点和已知直线的斜率的方程的写法,属于基础题. 15.已知四面体的棱,,,则此四面体外接球的表面积__________. 【答案】 【解析】 【分析】 设BD的中点为O,再证明,即得点O是四面体的外接球的球心,再求出外接球的表面积. 【详解】设BD的中点为O, 如图 因为AB=3,AD=4,BD=5,所以 因为BO=OD,所以AO= 同理CO=, 所以, 所以点O是四面体ABCD的外接球的球心,且半径R为. 所以四面体外接球的表面积为 故答案为25π. 【点睛】本题主要考查几何体的外接球的表面积的计算,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力,解答本题的关键是找到球的球心再求出球的半径. 16.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论 ①AB⊥EF; ②AB与CM所成的角为60°; ③EF与MN是异面直线; ④MN∥CD. 以上四个命题中,正确命题的序号是 _________ 【答案】①③ 【解析】 【分析】 先把正方体的平面展开图还原成原来的正方体,再根据所给结论进行逐一判定即可. 【详解】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体,如图: 则,与异面,, 只有①③正确. 故答案为①③. 【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角,直线与直线的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题,其中把正方体的平面展开图还原成原来的正方体是解答本题的关键. 三、解答题 17.如图所示(单位:cm),四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积. 【答案】表面积,体积 【解析】 【详解】试题分析:该几何体为一个圆台去掉一个半球,分别求圆台侧面积和半球表面积及圆台下底面积,其和即为所求. 试题解析: S球=×4π×22=8π(cm2), S圆台侧=π(2+5), S圆台下底=π×52=25π(cm2), 即该几何体的表面积为 8π+35π+25π=68π(cm2). 点睛:本题考查了旋转体生成以,旋转体表面积、体积,以及空间想象力,属于中档题.解决本类问题时,首先要作出旋转体的直观图,仔细分析旋转体的结构特征,为顺利解题创造依据,这类问题对空间想象力,转化能力及计算能力都有较高的要求,需要特别强化训练注意总结解题规律. 18.直线被两直线:和:截得的线段中点为. (1)求直线的方程; (2)已知点,,在直线上找一点,使最小,并求出这个最小值. 【答案】(1) (2),的最小值为 【解析】 【分析】 (1)先设直线与直线交于点,与直线交于点,设点,则,再列方程组,然后求解即可得解; (2)先求出点关于直线的对称点为 ,然后结合两点之间线段最短的性质,利用两点的距离公式求解即可. 【详解】解:(1)设直线与直线交于点,与直线交于点,设点,则,∴,解得,则, 即直线所在直线方程为, 故所求直线为. (2)设点关于直线的对称点,则, 解得的坐标为, 又因为两点之间线段最短, 故的最小值, 此时直线的方程为,化简为, 联立,解得,即. 【点睛】本题考查了中点坐标公式及点关于线对称问题,重点考查了两点的距离公式及直线交点坐标的求法,属中档题. 19.如图,四棱锥的底面为菱形,,,分别为和的中点. ()求证:平面. ()求证:平面. 【答案】(1) 证明见解析. (2)证明见解析. 【解析】 分析:(1)证明线面平行,只需在面内找一条直线与已知线平行即可,取中点为,证明四边形是平行四边形即可;(2)证明线面垂直则需在面内找两条相交直线与已知线垂直即可,,即可得证. 详解: ()证明:取中点为, ∵在中,是中点,是中点, ∴,且, 又∵底面是菱形, ∴, ∵是中点, ∴,且, ∴,且, ∴四边形平行四边形, ∴, 又平面,平面, ∴平面. ()证明:设,则是中点, ∵底面是菱形, ∴, 又∵,是中点, ∴, 又, ∴平面. 点睛:本题考查了空间直线平面的平行,垂直,关键是熟练掌握定理,定义,把空间问题转化为平面问题求解,属于中档题. 20.已知圆:,直线:. (1)求证:直线与圆相交; (2)计算直线被圆截得的最短的弦长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 (1)先求得直线:过定点,然后结合点与直线的位置关系求解即可; (2)由圆的性质可得:当垂直弦时,弦长最短,再利用勾股定理求解即可. 【详解】解:(1)将圆的一般方程化为标准方程得:,则圆心坐标为,半径为, 又直线:变形为, 解不等式组,解得, 即直线经过定点, 又, 则点在圆的内部, 故直线和圆相交. (2)由圆的性质可得:当垂直弦时,弦长最短, 又, 则, 即 , 故直线被圆截得的最短的弦长. 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系,重点考查了圆的弦长的求法,属基础题. 21.在中,边上的高所在的直线的方程为,的平分线所在直线的方程为,若点的坐标为. (1)求点的坐标; (2)求直线BC的方程; (3)求点C的坐标. 【答案】(1)(2)(3) 【解析】 【详解】 试题分析:(1)直线和直线的交点得,即的坐标为, (2)∵直线为边上的高,由垂直得,, 所以直线BC的方程为 (3)∵的平分线所在直线的方程为,A(-1,0),B(1,2),,设的坐标为,则, 解得,即的坐标为. 考点:直线方程及点的对称 【点睛】 点评:本题中前两问较简单,第三问主要由角平分线得到两直线AC,AB关于对称,因此点C关于的对称点必定在直线AB上,因此第三问还可结合对称性求解 22.如图,正△ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E,F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B. (1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由; (2)求棱锥E-DFC的体积; (3)在线段BC上是否存在一点P,使AP⊥DE?如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由. 【答案】(1)平面;(2);(3). 【解析】 【分析】 本题主要考查线面垂直、线面平行、线线垂直、线线平行以及锥体体积问题,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问,在中,利用中位线得到与平行,通过线面平行的判断定理即可得到平面 ;第二问,要求三棱锥的体积,找到底面积和高是关键,通过的翻折得出平面,通过,得出平面,所以为锥体的高,利用锥体体积公式计算出体积;第三问,在线段上取点.使, 过作于,在中,利用边长求出的正切,从而确定角的度数,在等边三角形中,是角平分线,所以,再利用线面垂直的判定证出平面,所以. 【详解】(1)平面,理由如下: 如图:在中,由分别是、中点,得, 又平面,平面.∴平面. (2)∵,,将沿翻折成直二面角. ∴∴平面 取的中点,这时∴平面,, (3)在线段上存在点,使 证明如下:线段上取点.使, 过作于, ∵平面∴平面 ∴, ∴ ∴,又在等边中,∴ ∵平面∴. ∴平面, ∴. 此时, ∴. 考点:1.线面平行的判定定理;2.线面垂直的判定;3.锥体体积公式. 查看更多