山东省肥城市2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

山东省肥城市2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

高二数学试题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若，其中是虚数单位，，则对应的点在第几象限（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由复数相等，结合题意，求出，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，因此；‎ 所以复数对应的点为，位于第一象限.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查由复数相等求参数，考查复数的几何意义，属于基础题型.‎ ‎2.现有高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名.从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛，有多少种不同的选法（ ）‎ A. 60 B. ‎45 ‎C. 30 D. 12‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分类加法计数原理，可直接得出结果.‎ ‎【详解】因为三个年级共有名学生，‎ 由分类加法计数原理可得：‎ 从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛，共有种不同的选法.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要分类加法计数原理，属于基础题型.‎ ‎3.下列求导运算正确的是（ ）‎ A. B. (是常数)‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本初等函数的导数计算公式， 可直接得出结果.‎ ‎【详解】A选项，；‎ B选项，(是常数)；‎ C选项，；‎ D选项，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的计算公式，属于基础题型.‎ ‎4.设为虚数单位，则二项式的展开式中含的项为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项展开式的通项公式，先得到第项为，再由题意，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为二项式的展开式的第项为，‎ 令，则，‎ 所以二项式展开式中含的项为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查求二项展开式中的指定项，熟记二项式定理，以及复数的乘方即可，属于基础题型.‎ ‎5.已知函数的图象在点的切线过点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：所以当，，函数的图象在点的切线斜率，又因为切线过点，，所以，所以解得，所以答案为A．‎ 考点：导数的几何意义．‎ ‎6.将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号为1，2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为（ ）‎ A. 15 B. ‎20 ‎C. 30 D. 42‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，先将4个篮球分成三组，再分给三位小朋友，即可得出结果.‎ ‎【详解】将标号为1，2，3，4的四个篮球分成三组，若标号为1，2的两个篮球不分到同一组，‎ 则有种分法，‎ 再将这三组篮球分给三个小朋友，则有，‎ 根据分步乘法计数原理，可得：不同的分法种数为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查排列与组合的简单应用，属于基础题型.‎ ‎7.设m为正整数，(x＋y)‎2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)‎2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若‎13a=7b，则m＝ ( )‎ A. 5 B. ‎6 ‎C. 7 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可知,,,即 ‎,‎ ‎,解得．故B正确．‎ 考点：1二项式系数；2组合数的运算．‎ ‎8.函数在定义域内可导，若，且当时，，设，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由，确定函数周期，再由时，得到在上单调递增，进而可判断出结果.‎ ‎【详解】因，所以，即函数以为周期；‎ 又当时，，所以，即函数在上单调递增；‎ 所以，即.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查根据函数单调性与周期性比较大小，涉及导数的方法判断函数单调性，属于常考题型.‎ 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.已知函数的导函数的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数的图象的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导函数的图像，确定函数单调性，进而可判断出结果.‎ ‎【详解】由导函数图像可得：‎ 当时，，即函数在上单调递增；‎ 当时，，即函数在上单调递减；‎ 当时，，即函数在上单调递增；‎ 故BCD错误，A正确.‎ 故选：BCD.‎ ‎【点睛】本题主要考查由导函数的图像判定原函数的大致图像，属于基础题型.‎ ‎10.下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ）‎ A. 若复数，则 B. 若复数满足，则 C. 若复数满足，则 D. 若复数，满足，则 ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.‎ ‎【详解】A选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A正确；‎ B选项，设复数，则，‎ 因为，所，若，则；故B错；‎ C选项，设复数，则，‎ 因为，所以，即，所以；故C正确；‎ D选项，设复数，，‎ 则，‎ 因为，所以，若，能满足，但，故D错误.‎ 故选：AC.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.‎ ‎11.若，则下列结论中正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据赋值法，分别令，，，可判断ABC；根据二项展开式的通项公式，判断出对应项系数的正负，即可判断D选项.‎ ‎【详解】因为，‎ 令，则，故A正确；‎ 令代入，‎ 得，所以，故B错；‎ 令代入，‎ 得，故C正确；‎ 因为二项式的展开式的第项为，‎ 所以当为奇数时，为负数；即（其中为奇数），‎ 所以；故D正确.‎ 故选：ACD.‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项式定理，灵活运用赋值法求解即可，属于常考题型.‎ ‎12.已知函数，下列结论中正确的是（ ）‎ A. 函数在时，取得极小值 B. 对于，恒成立 C. 若，则 D. 若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1‎ ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，根据，排除A；再由导数的方法研究函数单调性，判断出B选项；构造函数，由导数的方法研究其单调性，即可判断C选项；根据的单调性，先得到，再令，根据导数的方法研究其单调性，得到，即可判断D选项.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 所以，所以不是函数的极值点，故A错；‎ 若，则，所以函数在区间上单调递减；因此，故B正确；‎ 令，则，‎ 因为在上恒成立，‎ 所以在上恒成立，‎ 因此函数在上单调递减；‎ 又，所以，即，所以，故C正确；‎ 因为函数在上单调递减；‎ 所以时，函数也单调递减，‎ 因此在上恒成立；‎ 令，，则在上恒成立，‎ 所以在上单调递增，‎ 因此，即在上恒成立；‎ 综上，在上恒成立，故D正确.‎ 故选：BCD.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的方法研究函数的极值，单调性等，属于常考题型.‎ 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.函数在上的最大值为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，研究其在给定区间的单调性，求出极值，从而可得出最值.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 由得或；由得；‎ 又 即函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，当时，函数有极大值；‎ 当时，函数有极小值；‎ 又当时，；当时，，‎ 因此函数在上的最大值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查由导数的方法求函数的最值，属于基础题型.‎ ‎14.若，则的所有取值构成的集合为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由复数的除法运算，将化简，得到，再由复数的乘方，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 故的所有取值构成的集合为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记复数的除法运算法则，以及复数的乘方即可，属于基础题型.‎ ‎15.展开式中的系数为______.‎ ‎【答案】-40‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由二项展开式的通项公式，得到展开式的通项，进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为展开式的第项为，‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 又，‎ 所以展开式中的系数为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.‎ ‎16.若函数在区间单调递增，则的取值范围是______；若函数在区间内不单调，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数在区间单调递增，得到在上恒成立，即可求出结果；根据函数在区间内不单调，得到方程在区间有解，进而可求出结果.‎ ‎【详解】若在区间单调递增，所以在上恒成立，‎ 即在上恒成立，又时，，所以；‎ 若函数在区间内不单调，则方程在区间有解，‎ 因为时，，因此只需.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题主要考查由函数在给定区间的单调性求参数的问题，灵活运用导数的方法研究函数的单调性即可，属于常考题型.‎ 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在①，②复平面上表示的点在直线上，③.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求出满足条件的复数，以及.已知复数，，______.若，求复数，以及.‎ ‎【答案】答案见解析 ‎【解析】‎ 分析】‎ 选条件①时，先根据复数的除法运算，得到，再由，求出，再根据复数的运算，得到，由复数模的计算公式，即可求出结果；‎ 选条件②时，先由复数乘法运算，以及复数的几何意义，得到对应的点，求出，再同①，即可求出结果；‎ 选条件③时，根据共轭复数的概念，以及复数的运算，求出，再同①，即可求出结果.‎ ‎【详解】方案一：选条件①，‎ 因为，所以，‎ 由于，所以，解得.‎ 所以，，‎ 从而，‎ ‎.‎ 方案二：选条件②，‎ 因为，，所以，‎ 在复平面上表示的点为，‎ 依题意可知，得，‎ 所以，，‎ 从而，‎ ‎.‎ 方案三：选条件③，‎ 因为，所以，‎ 由，得，‎ 所以，，‎ 从而，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数四则运算，以及复数模的计算，熟记复数四则运算法则，以及复数模的计算公式即可，属于常考题型.‎ ‎18.（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的导函数.‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据排列数与组合数的计算公式，直接计算，即可得出结果；‎ ‎（2）根据导数的运算法则，以及基本初等函数的导数计算公式，直接计算，即可求出导函数.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎；‎ ‎（2）‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查排列数与组合数的计算，以及导数的计算，属于基础题型.‎ ‎19.已知函数在与时都取得极值.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间，并指出与是极大值还是极小值.‎ ‎【答案】（1），.（2）函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，是极大值，是极小值 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先对函数求导，根据题意，得到，，解方程组，即可求出结果；‎ ‎（2）由（1）得，用导数的方法研究其单调性，进而可求出极值，从而判断出结果.‎ ‎【详解】（1）由，所以.‎ 由题意可知，，‎ 整理列方程组 解得，.‎ ‎（2）由（1）知 当变化时，､的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是 当时，有极大值；‎ 当时，有极小值.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数的极值点求参数，以及由导数的方法求函数极值的问题，属于常考题型.‎ ‎20.已知关于的二项式的展开式的二项式系数之和为1024，常数项为180.‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）求展开式中的无理项.(不需求项的表达式，指出无理项的序号即可)‎ ‎【答案】（1），.（2）第2项､第4项､第6项､第8项､第10项 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据二项式系数之和，先求出；再由二项展开式的通项，根据常数项为180，即可求出的值；‎ ‎（2）由不是整数时，二项展开式中对应的项为无理项；进而可求出结果.‎ ‎【详解】（1）由题意可知，，所以.‎ 由，‎ 所以二项展开式的通项是.‎ 可知当时，解得，表示常数项，‎ 所以，解得.‎ ‎（2）当不是整数时，二项展开式中对应的项为无理项.‎ 由于，所以取奇数1，3，5，7，9时即为所求.‎ 此时对应的项分别是第2项､第4项､第6项､第8项､第10项，‎ 即该二项展开式中，，，，是无理项.‎ ‎【点睛】本题主要考查由二项式系数之和与指定项系数求参数的问题，以及确定二项展开式中的无理项，熟记二项式定理即可，属于常考题型.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若，讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，求证：.‎ ‎【答案】（1）答案见解析.（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由函数解析式，确定定义域，再对函数求导，分别讨论，两种情况下，函数的单调性，即可得出结果；‎ ‎（2）先由题意，得到，得出，令，根据二项展开式，以及组合数的性质，由倒序相加的方法，得出，再结合基本不等式，即可证明结论成立.‎ ‎【详解】（1）由题意，的定义域为，‎ ‎.‎ 若，则当时，，故在单调递增.‎ 若，则当时，；当时，.‎ 故在单调递增，在单调递减.‎ ‎（2）当时，，所以，‎ 所以.‎ 令，‎ 由二项式展开式得，①‎ ‎， ②‎ 因为，①+②得：‎ ‎ ‎ 所以 ‎【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的单调性，以及二项式定理的应用，涉及组合数的性质，属于常考题型.‎ ‎22.已知函数，其中，为自然对数的底数.‎ ‎（1）当时，求证：；‎ ‎（2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先令，对其求导，解对应不等式，求出单调区间，得出函数最值，即可证明结论成立；‎ ‎（2）先由题意，得到，两边同时取对数，得到，则，令，用导数的方法判定其在上的单调性，即可得出结果.‎ 详解】（1）令，其中，‎ 则.‎ 令，即，解得，‎ 令，即，解得.‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 可得的最小值为，所以，‎ 即，整理得.‎ ‎（2）由题意可知，两边取自然对数化简得，‎ 又，所以.‎ 令，则，‎ 由（1）知，当时，，‎ 所以，即在上单调递增，‎ 所以，从而.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的方法证明不等式，以及导数的方法研究不等式恒成立问题，属于常考题型.‎