江苏省泰州市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

江苏省泰州市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

www.ks5u.com ‎2018～2019学年度第二学期期末考试 高一数学试题 参考公式：‎ 圆锥的侧面积，其中是圆锥的底面半径，是圆锥的母线长 锥体的体积，其中是锥体的底面积，是锥体的高 球的体积，其中是球半径 一组样本数据的方差，其中是这个样本的平均数 一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.直线的倾斜角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角。‎ ‎【详解】直线的斜率，则，所以直线的倾斜角 ‎【点睛】本题考查直线倾斜角的求法，属于基础题。‎ ‎2.已知一组数据1，3，2，5，4，那么这组数据的方差为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由平均数的计算公式计算出平均数，再根据方差的公式计算即可。‎ ‎【详解】由题可得；‎ 所以这组数据的方差 ‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查方差的定义：一般地设个数据：的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动越大，方差越小，波动越小。‎ ‎3.在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接、，可证四边形为平行四边形，得，得（或补角）就是异面直线与所成角，由正方体的性质即可得到答案。‎ ‎【详解】连接、，如下图：‎ 在正方体中，且；‎ 四边形为平行四边形，则；‎ ‎（或补角）就是异面直线与所成角；‎ 又在正方体中，，为等边三角形，‎ ‎，即异面直线与所成角的大小为；‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查正方体中异面直线所成角的大小，属于基础题。‎ ‎4.已知直线与直线互相平行，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两直线平性的必要条件可得，求解并进行验证即可。‎ ‎【详解】直线与直线互相平行；‎ ‎，即，解得：；‎ 当时，直线分别为和，平行，满足条件 当时，直线分别为和，平行，满足条件；‎ 所以；‎ 故答案选A ‎【点睛】本题考查两直线平行的性质，解题时注意平行不包括重合的情况，属于基础题。‎ ‎5.在中，若，则此三角形（ ）三角形．‎ A. 等腰 B. 直角 C. 等腰直角 D. 等腰或直角 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件结合正弦定理即可得到，由此可得三角形的形状。‎ ‎【详解】由于在中，有，根据正弦定理可得；‎ 所以此三角形为直角三角形；、‎ 故答案选B ‎【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题。‎ ‎6.若三个球的半径的比是1：2：3，则其中最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的（ ）倍．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设最小球的半径为，根据比例关系即可得到另外两个球的半径，再利用球的体积公式表示出三个球的体积，即可得到结论。‎ ‎【详解】设最小球的半径为，由三个球的半径的比是1：2：3，可得另外两个球的半径分别为，；‎ 最小球的体积，中球的体积，最大球的体积；‎ ‎，即最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的3倍；‎ 故答案选D ‎【点睛】本题主要考查球体积的计算公式，属于基础题。‎ ‎7.若一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为，目标未受损的概率为，则目标受损但未被击毁的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件利用对立事件概率计算公式直接求解。‎ ‎【详解】由于一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为，目标未受损的概率为；‎ 所以目标受损的概率为：；‎ 目标受损分为击毁和未被击毁，它们是对立事件；‎ 所以目标受损的概率目标受损被击毁的概率目标受损未被击毁的概率；‎ 故目标受损但未被击毁的概率目标受损的概率目标受损被击毁的概率，即目标受损但未被击毁的概率；‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查概率的求法，注意对立事件概率计算公式的合理运用，属于基础题。‎ ‎8.已知圆锥的底面半径为，母线与底面所成的角为，则此圆锥的侧面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先计算出母线长，再利用圆锥的侧面积（其中为底面圆的半径，为母线长），即可得到答案。‎ ‎【详解】由于圆锥的底面半径，母线与底面所成的角为，‎ 所以母线长 ，故圆锥的侧面积；‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查圆锥母线和侧面积的计算，解题关键是熟练掌握圆锥的侧面积的计算公式，即（其中为底面圆的半径，为母线长），属于基础题 ‎9.某小吃店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据：‎ ‎/℃‎ ‎/百元 对上述数据进行分析发现，与之间具有线性相关关系，则线性回归方程为（ ）‎ 参考公式：‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出，，把数据代入公式计算，即可得到答案。‎ ‎【详解】由题可得：，，，， ；‎ 所以，，则线性回归方程为；‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查线性回归方程的求解，考查学生的计算能力，属于基础题。‎ ‎10.已知表示三条不同的直线，表示两个不同的平面，下列说法中正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用线面平行、线面垂直的判定定理与性质依次对选项进行判断，即可得到答案。‎ ‎【详解】对于A，当时，则与不平行，故A不正确；‎ 对于B，直线与平面平行，则直线与平面内的直线有两种关系：平行或异面，故B不正确；‎ 对于C，若，则与不垂直，故C不正确；‎ 对于D，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，故D正确；‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系相关定理的应用，属于中档题。‎ ‎11.在中，已知，，则角的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，根据正弦定理可得：，由角范围可得的范围，结合三角形的性质以及正弦函数的图像即可得到角的取值范围 ‎【详解】由于在中，有，根据正弦定理可得，‎ 由于，即，则，即 由于在三角形中，，由正弦函数的图像可得：；‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查正弦定理在三角形中的应用，以及三角函数图像的应用，属于中档题。‎ ‎12.米勒问题，是指德国数学家米勒1471年向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大？）米勒问题的数学模型如下：如图，设 ‎ 是锐角的一边上的两定点，点是边边上的一动点，则当且仅当的外接圆与边相切时，最大．若，点在轴上，则当最大时，点的坐标为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点的坐标为，求出线段的中垂线与线段的中垂线交点的横坐标，即可得到的外接圆圆心的横坐标，由的外接圆与边相切于点，可知的外接圆圆心的横坐标与点的横坐标相等，即可得到点的坐标。‎ ‎【详解】由于点是边边上的一动点，且点在轴上，故设点的坐标为；‎ 由于，则直线的方程为：，点为直线与轴的交点，故点的坐标为；由于为锐角，点是边边上的一动点，故；‎ 所以线段的中垂线方程为： ；线段的中垂线方程为： ；‎ 故的外接圆的圆心为直线与直线的交点，联立 ，解得：‎ ‎ ；即的外接圆圆心的横坐标为 的外接圆与边相切于点，边在轴上，则的外接圆圆心的横坐标与点的横坐标相等，即，解得：或（舍）‎ 所以点的坐标为；‎ 故答案选A ‎【点睛】本题考查直线方程、三角形外接圆圆心的求解，属于中档题 二、填空题：（请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）‎ ‎13.空间两点，间的距离为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间中两点间的距离公式即可得到答案 ‎【详解】由空间中两点间的距离公式可得; ;‎ 故距离为3‎ ‎【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式，属于基础题。‎ ‎14.某校老年、中年和青年教师的人数分别为90，180，160，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则抽取的样本中老年教师的人数为_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分层抽样的定义建立比例关系，即可得到答案。‎ ‎【详解】设抽取的样本中老年教师的人数为，学校所有的中老年教师人数为270人 由分层抽样的定义可知：，解得：‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，属于基础题。‎ ‎15.过点作圆的切线，则切线的方程为_____．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆的圆心与半径分别为：，，分别设出直线斜率存在与不存在情况下的直线方程，利用点到直线的距离等于半径即可得到答案。‎ ‎【详解】由圆的一般方程得到圆的圆心和半径分别为; ，;‎ ‎（1）当过点的切线斜率不存在时，切线方程为：，此时圆心到直线的距离，故不与圆相切，不满足题意；‎ ‎（2）当过点的切线的斜率存在时，设切线方程为：，即为；‎ 由于直线与圆相切，所以圆心到切线的距离等于半径，即，解得：或，所以切线的方程为或；‎ 综述所述：切线的方程或 ‎【点睛】本题考查过圆外一点求圆的切线方程，解题关键是设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径得到关系式，属于中档题。‎ ‎16.在中，角所对的对边分别为，若，，，则的面积等于_____‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理求出，再利用面积公式即可得到答案。‎ ‎【详解】由于在中，，，，根据余弦定理可得：，即，解得：或，经检验都满足题意；‎ 所以当时，的面积，当时，的面积；‎ 故的面积等于或 ‎【点睛】本题考查余弦定理与面积公式在三角形中的应用，属于中档题。‎ 三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17.某校高二年级共有800名学生参加2019年全国高中数学联赛江苏赛区初赛，为了解学生成绩，现随机抽取40名学生的成绩（单位：分），并列成如下表所示的频数分布表：‎ 分组 频数 ‎⑴试估计该年级成绩不低于90分的学生人数；‎ ‎⑵成绩在的5名学生中有3名男生，2名女生，现从中选出2名学生参加访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率．‎ ‎【答案】(1) 300人；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频数分布表可得40人中成绩不低于90分的学生人数为15人，由此可计算出该年级成绩不低于90分的学生人数；‎ ‎（2）根据题意写出所有的基本事件，确定基本事件的个数，即可计算出恰好选中一名男生一名女生的概率。‎ ‎【详解】⑴40名学生中成绩不低于90分学生人数为15人；‎ 所以估计该年级成绩不低于90分的学生人数为 ‎⑵分别记男生为1,2,3号，女生为4,5号，从中选出2名学生，有如下基本事件 ‎（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）‎ 因此，共有10个基本事件，上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有6个基本事件是选中一名男生一名女生（记为事件），‎ 即（1,4），（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5）‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查频率分布表以及古典概型的概率计算，，考查学生的运算能力，属于基础题。‎ ‎18.如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，，．‎ 求证：⑴平面；‎ ‎⑵．‎ ‎【答案】(1)见证明；(2)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由中位线定理即可说明，由此证明平面；‎ ‎（2）首先证明平面，由线面垂直性质即可证明 ‎【详解】证明：⑴因为在中，点，分别是，中点 所以 ‎ 又因平面,平面 从而平面 ‎ ‎⑵因为点是的中点，且 所以 ‎ 又因,平面,平面 ‎,故平面 因为平面 所以 ‎【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的判定以及线面垂直的性质，属于基础题。‎ ‎19.如图，在平面四边形中，，，的面积为．‎ ‎⑴求的长；‎ ‎⑵若，，求的长．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由三角形的面积公式求得，再由余弦定理即可得到的长；‎ ‎（2）由（1）可得，在中，利用正弦定理即可得的长。‎ ‎【详解】⑴∵，，的面积为 ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴由余弦定理得 ‎∴ ‎ ‎⑵由（1）知中，，‎ ‎∴‎ ‎∵,∴ ‎ 又∵ ， ‎ ‎∴在中，由正弦定理得 即,∴‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式在三角形中的综合应用，考查学生的计算能力，属于基础题。‎ ‎20.如图，在平面直角坐标系中，已知圆：．‎ ‎⑴若圆的半径为2，圆与 轴相切且与圆外切，求圆的标准方程；‎ ‎⑵若过原点的直线与圆相交于 两点，且，求直线的方程．‎ ‎【答案】(1) 或 (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出圆的标准方程为，由圆与轴相切，可得，由圆与圆外切，可得两圆心距等于半径之和，由此解出，，的值，得到圆的标准方程；‎ ‎（2）法一：设出点坐标为，根据，可得到点坐标，把、两点坐标代入圆方程，解出点坐标，即可得到直线的方程；‎ 法二：设的中点为，连结，，设出直线的方程，由题求出的长，利用点到直线的距离即可得求出值，从而得到直线的方程 ‎【详解】⑴设圆的标准方程为，故圆心坐标为，半径；‎ 因为圆的半径为2，与轴相切，所以① ‎ 因为圆与圆外切 所以，即② ‎ 由①②解得 ‎ 故圆的标准方程为或 ‎⑵方法一;设 因为，所以为的中点，从而 因为，都在圆上 所以 解得或 故直线的方程为：‎ 方法二：设的中点为，连结，‎ 设，‎ 因为，所以 在中，③‎ 在中，④‎ 由③④解得 由题可知直线的斜率一定存在，设直线的方程为 则，解得 故直线的方程为 ‎【点睛】本题考查圆的标准方程与直线方程，解题关键是设出方程，找出关系式，属于中档题。‎ ‎21.如图，在正三棱柱中，边的中点为，．‎ ‎⑴求三棱锥的体积；‎ ‎⑵点在线段上，且平面，求的值．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由题可得平面，故，从而求得三棱锥的体积；‎ ‎（2）连接交于，连接交于，连结，由平面可得，由正三棱柱的性质可得，从而得到的值。‎ ‎【详解】⑴因为为正三棱柱 所以平面 ‎ ‎ ‎ ‎⑵连接交于，连接交于，连结 因为//平面，平面，平面平面，‎ 所以，‎ 因为为正三棱柱，‎ 所以侧面和侧面为平行四边形，‎ 从而有为的中点，于是为的中点 所以，‎ 因为为边的中点，‎ 所以也为边中点，从而 ‎【点睛】本题考查三棱锥的体积，线面垂直的性质，正三棱柱的性质等知识，属于中档题。‎ ‎22.如图，矩形的四条边所在直线的横截距分别为，点为线段的中点．‎ ‎⑴求证：直线恒过定点；‎ ‎⑵若点在圆上，求实数的值；‎ ‎⑶点在直线上，且，求点的坐标．‎ ‎【答案】(1)见证明；(2) (3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出直线的方程，求出点、的坐标，表示出直线的方程，化简即可得到：直线恒过定点；‎ ‎（2）由（1）可得点的坐标，代入圆的方程，化简即可得实数的值；‎ ‎（3）设圆与轴的交点为，在轴上找到一点使得，所以，利用点到直线的距离公式求得点到直线的距离恰好为3，故当且仅当为点在直线上的射影时有，由此即可求出点的坐标。‎ ‎【详解】⑴证明：由题意可知矩形的四条边所在直线的斜率都存在且不为 设直线的斜率为，由直线的横截距为-2，可设直线的方程为 ，直线斜率为，由直线的横截距为1，可设直线的方程为，设直线的斜率为，由直线的横截距为0，可设直线的方程为，直线斜率为，由直线的横截距为5，可设直线的方程为，‎ 由得 由得 直线的方程为 化简得 所以直线恒过定点 ‎ ‎⑵设点坐标为，由于点为线段的中点，结合⑴得： ，故 因为点在圆上 所以 解得 ‎ ‎⑶如图，设圆与轴的交点为 设，当在处时有，下面证明其一般性 ‎（**）‎ 因为在圆上 所以，代入（**）式得 从而 又因为到直线的距离 ‎ 故当且仅当为点在直线上的射影时有；‎ 由于直线与直线垂直且过，则，直线的方程为：，要求点的坐标，即求直线与直线的交点坐标，‎ 所以解得： ，即点的坐标为 ‎【点睛】本题主要考查直线的恒过点、圆的一般方程，点到直线的距离等综合知识，考查学生的计算能力，属于中档题。‎ ‎ ‎