2018届二轮复习（理）规范答题示例7　空间角的计算问题课件（全国通用）

2018届二轮复习（理）规范答题示例7　空间角的计算问题课件（全国通用）

规范答题 示例 7 　 空间角的计算问题 典例 7 　 (12 分 ) 如图， AB 是圆 O 的直径， C 是圆 O 上异于 A ， B 的一个动点， DC 垂直于圆 O 所在的平面， DC ∥ EB ， DC ＝ EB ＝ 1 ， AB ＝ 4 . (1) 求证： DE ⊥ 平面 ACD ； (2) 若 AC ＝ BC ，求平面 AED 与平面 ABE 所成的锐二面角的余弦值 . 审题路线图　 (1) 规 范 解 答 · 分 步 得 分 (1) 证明　 ∵ DC ⊥ 平面 ABC ， BC ⊂ 平面 ABC ， ∴ DC ⊥ BC ， 又 AB 是 ⊙ O 的直径， C 是 ⊙ O 上异于 A ， B 的点， ∴ AC ⊥ BC ， 又 AC ∩ DC ＝ C ， AC ， DC ⊂ 平面 ACD ， ∴ BC ⊥ 平面 ACD ， 又 DC ∥ EB ， DC ＝ EB ， ∴ 四边形 BCDE 是平行四边形， ∴ DE ∥ BC ， ∴ DE ⊥ 平面 ACD . 4 分 (2) 解　 在 Rt △ ACB 中， AB ＝ 4 ， AC ＝ BC ， 如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系， 设平面 ADE 的一个法向量为 n 1 ＝ ( x 1 ， y 1 ， z 1 ) ， 设平面 ABE 的一个法向量为 n 2 ＝ ( x 2 ， y 2 ， z 2 ) ， 构 建 答 题 模 板 第一步 找垂直： 找出 ( 或作出 ) 具有公共交点的三条两两垂直的直线 . 第二步 写坐标： 建立空间直角坐标系，写出特征点坐标 . 第三步 求向量： 求直线的方向向量或平面的法向量 . 第四步 求夹角： 计算向量的夹角 . 第五步 得结论： 得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角 . 评分细则　 (1) 第 (1) 问中证明 DC ⊥ BC 和 AC ⊥ BC 各给 1 分，证明 DE ∥ BC 给 1 分，证明 BC ⊥ 平面 ACD 时缺少 AC ∩ DC ＝ C ， AC ， DC ⊂ 平面 ACD ，不扣分 . (2) 第 (2) 问中建系给 1 分，两个法向量求出 1 个给 2 分，没有最后结论扣 1 分，法向量取其他形式同样给分 . 跟踪演练 7 　 (2017· 山东 ) 如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD ( 及其内部 ) 以 AB 边所在直线为旋转轴旋转 120° 得到的， G 是 的中点 . (1) 设 P 是 上 的一点，且 AP ⊥ BE ，求 ∠ CBP 的大小； 解答 解　 因为 AP ⊥ BE ， AB ⊥ BE ， AB ， AP ⊂ 平面 ABP ， AB ∩ AP ＝ A ， 所以 BE ⊥ 平面 ABP . 又 BP ⊂ 平面 ABP ， 所以 BE ⊥ BP ，又 ∠ EBC ＝ 120° ， 所以 ∠ CBP ＝ 30°. (2) 当 AB ＝ 3 ， AD ＝ 2 时，求二面角 E — AG — C 的大小 . 解答 解　 方法一 　 取 的 中点 H ，连接 EH ， GH ， CH . 因为 ∠ EBC ＝ 120° ， 所以四边形 BEHC 为菱形， 取 AG 的中点 M ，连接 EM ， CM ， EC ， 则 EM ⊥ AG ， CM ⊥ AG ， 所以 ∠ EMC 为所求二面角的平面角 . 在 △ BEC 中，由于 ∠ EBC ＝ 120° ， 由余弦定理得 EC 2 ＝ 2 2 ＋ 2 2 － 2 × 2 × 2 × cos 120° ＝ 12 ， 故所求的角为 60°. 方法二 　以 B 为坐标原点，分别以 BE ， BP ， BA 所在的直线为 x ， y ， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 . 由题意得 A (0,0,3) ， E (2,0,0) ， 设 m ＝ ( x 1 ， y 1 ， z 1 ) 是平面 AEG 的一个法向量 . 设 n ＝ ( x 2 ， y 2 ， z 2 ) 是平面 ACG 的一个法向量 . 因此所求的角为 60°.