广东省深圳市龙岗区东升学校2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

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www.ks5u.com 龙岗区东升学校2019-2020学年上学期高一年级期中考试数学试卷 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎，由并集的定义可知： ，故选D.‎ ‎2.已知，则实数的值为（　　）‎ A. B. C. 或 D. 无解 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为，当时，那么，违反集合元素的互异性，不满足题意，当时，，集合为满足题意，实数的值为，故选B.‎ ‎3.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二次根式不小于0，分母不为0，列不等式求解即可．‎ ‎【详解】解：由已知得，解得且．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查定义域的求法，是基础题．‎ ‎4.下列每组函数是同一函数的是 （ ）‎ A. f(x)=x-1, B. f(x)=|x-3|, ‎ C. , g(x)=x+2 D. , ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：根据题意，先看了个函数的定义域是否相同，再观察两个函数的对应法则是否相同，即可得到结论.‎ 详解：对于A中，函数的定义域为，而函数的定义域为，所以两个函数不是同一个函数；‎ 对于B中，函数的定义域和对应法则完全相同，所以是同一个函数；‎ 对于C中，函数的定义域为，而函数的定义域为，所以两个函数不是同一个函数；‎ 对于D中，函数的定义域为，而函数的定义域为，所以不是同一个函数，‎ 故选B.‎ 点睛：本题主要考查了判断两个函数是否是同一个函数，其中解答中考查了函数的定义域的计算和函数的三要素的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎5.设，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据指数函数的性质，，,又由单调性可得，所以，故选D.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查函数的指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.‎ ‎6.已知函数为奇函数,且当时, ,则 ( )‎ A. -2 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为是奇函数，所以，故选A.‎ ‎7.下列图象中可以表示以为定义域，为值域的函数图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图象判断即可.‎ ‎【详解】由图可知，A选项值域不符合，B、D选项定义域不符合，C选项定义域、值域均符合题意.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查根据函数图象观察函数的定义域、值域等，属基础题.‎ ‎8.已知奇函数在时的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：∵xf（x）＜0则：当x＞0时，f（x）＜0，结合函数的图象可得，1＜x＜2，当x＜0时，f（x）＞0，根据奇函数的图象关于原点对称可得，-2＜x＜-1，∴不等式xf（x）＜0的解集为（-2，-1）∪（1，2）．故答案为（-2，-1）∪（1，2）．‎ 考点：函数的图象．‎ ‎9.如果奇函数在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则在区间[-8，-2]上是（　　）‎ A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为 C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即，且，又由为奇函数， 则在区间[-8，-2]上是减函数，且，则有， ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题．‎ ‎10.己知函数，若，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分段代表达式,解方程可得.‎ ‎【详解】当时,,解得;‎ 当时,,解得.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查了由分段函数的函数值求参数,属于基础题..‎ ‎11.函数在区间上为减函数，则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据a的取值，讨论是否为二次函数，然后再根据二次函数的单调性建立不等关系，从而求出a的范围.‎ ‎【详解】解：当时，，在区间上为减函数，所以成立.‎ 当时，函数为二次函数，在区间上为减函数，则 解得：.综上.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查已知二次函数的单调性求参，考查二次函数对称轴与单调区间的关系，同时考查了学生分类讨论的思想，属于基础题.‎ ‎12.定义：表示不超过x的最大整数，如，则函数的值域为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得当，时，，分别求出取不同正整数时函数的值域，取并集得答案．‎ ‎【详解】解：当，时，，；‎ 当，时，，；‎ 当，时，．‎ 取并集得：函数的值域为．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查函数的值域及其求法，关键是对题意的理解，是中档题．‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.已知，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】，得，‎ 即，‎ ‎，故答案为.‎ ‎14.已知集合P=，Q=.若，则a的值组成的集合是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简，再根据分情况对参数的取值进行讨论，即可求出参数的取值集合．‎ ‎【详解】解：，，，‎ 当是空集时，有显然成立；‎ 当时，有，符合题意；‎ 当时，有，符合题意；‎ 故满足条件的的值为，，0．‎ a值组成的集合为 故答案为 ‎【点睛】本题考查集合关系中的参数取值问题，解题的关键是根据包含关系的定义对集合的情况进行正确分类，本题求解中有一易错点，就是忘记讨论是空集的情况，分类讨论时一定注意不要漏掉情况．‎ ‎15.已知函数且的图象恒过点P，则点P的坐标是________.‎ ‎【答案】（2，2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 定点即为：点的坐标与的取值无关，由对数函数的性质可知，只要令即可．‎ ‎【详解】解：根据题意：令，‎ ‎，此时，‎ 定点坐标是，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的图象和性质，在研究和应用时一定要注意一些细节，如图象的分布，关键线，关键点等．‎ ‎16.已知函数满足且，则实数a的值为________.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的解析式，代入，得到关于的方程，解出即可．‎ ‎【详解】解：令，则，‎ 故，‎ 故，‎ 由，解得：，‎ 故答案为．‎ 点睛】本题考查了求函数的解析式问题，考查函数求值，属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17.已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣12x+20＜0}，C={x|x＜a}．‎ ‎（1）求A∪B；（∁RA）∩B；‎ ‎（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）A∪B={x|2＜x＜10}；（CRA）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}．（2）a＞3．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先通过解二次不等式化简集合B，利用并集的定义求出A∪B，利用补集的定义求出CRA，进一步利用交集的定义求出（CRA）∩B；‎ ‎（2）根据交集的定义要使A∩C≠∅，得到a＞3．‎ 解：（1）B═{x|x2﹣12x+20＜0}={x|2＜x＜10}；‎ 因为A={x|3≤x＜7}，‎ 所以A∪B={x|2＜x＜10}；（1分）‎ 因为A={x|3≤x＜7}，‎ 所以CRA={x|x＜3或x≥7}；（1分）‎ ‎（CRA）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}．（1分）‎ ‎（2）因为A={x|3≤x＜7}，C={x|x＜a}．‎ A∩C≠∅，‎ 所以a＞3．（2分）‎ 考点：交、并、补集的混合运算；集合关系中的参数取值问题．‎ ‎18.已知函数（为常数），在时取得最大值2.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求函数在上的单调区间和最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）的单调增区间为，单调减区间为，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据对称轴方程为，及最大值为 可列出关于 的方程组，解方程组可得的值，从而可得结果；（2）根据（1）的结论可知，开口向上的抛物线对称轴在内，结合二次函数的图象可得的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎【详解】（1）由题意知,∴ ,‎ ‎∴ ‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴当时，的单调增区间为，单调减区间为，‎ 又，‎ ‎∴ 最小值为.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；‎ ‎（2）用定义证明函数在区间上为增函数；‎ ‎（3）求函数在区间上最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2）证明见解析 （3）最大值为，最小值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）判断出函数是奇函数再证明，确定函数定义域关于原点对称，利用奇函数的定义可判断；‎ ‎（2）定义法证明函数在上是增函数，证明按照取值、作差、变形定号、下结论步骤即可；‎ ‎（3）根据（2）的结论得函数在区间上的单调性，再求出最大值、最小值．‎ ‎【详解】解：（1）函数是奇函数． ‎ 定义域：，，，定义域关于原点对称， ‎ 且 ‎ 函数是奇函数．‎ ‎（2）证明：设任意实数，，，且 则 ‎ ‎ ‎，且，，‎ ‎，，，‎ ‎ ‎ ‎，即 ‎ 函数在区间，上为增函数． ‎ ‎（3），，‎ 函数在区间，上也为增函数．‎ ‎ ，‎ 即，‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性的判断方法，及函数的最值问题，把握定义法证明函数的单调性：取值、作差、变形定号、下结论步骤证明．‎ ‎20.已知：奇函数.‎ ‎（1）求实数m的值；‎ ‎（2）作出的图象，观察图象，指出当方程只有一解时，求a的取值范围（不必写过程）‎ ‎（3）若函数在区间上单调递增，求b的取值范围.‎ ‎【答案】（1）m=2 （2）或 （3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用函数的奇偶性转化求解即可．‎ ‎（2）利用函数的解析式画出函数的图象，然后求解的取值范围即可．‎ ‎（3）结合函数的图象求的取值范围．‎ ‎【详解】解：（1）设，则，，‎ 函数是奇函数，．‎ ‎．‎ ‎（2）函数图象如图所示：‎ 当方程只有一解，的取值范围：或，‎ ‎（3）由图象可知，函数在区间上单调递增，‎ 解得．‎ 故 ‎【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的单调性的应用，是中档题．‎ ‎21.某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品利润y与投资x成正比，其关系如图甲，B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比，其关系如图乙注：利润与投资单位为万元    ‎ ‎ ‎ 分别将A，B两种产品的利润y表示为投资x的函数关系式；‎ 该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少万元？‎ ‎【答案】（1），，‎ ‎（2）当A产品投入万元，B产品投入万元时，企业获得最大利润约为万元．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意可设代值即可求出相对应的参数，即可得到函数的解析式;‎ ‎（2）设设A产品投入x万元，则B产品投入万元，企业获利利用换元法结合二次函数的性质即可求出.‎ ‎【详解】解：投资为x万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元，‎ 由题设，由图知，，又，，‎ 从而，，‎ 设A产品投入x万元，则B产品投入万元，设企业的利润为y万元 ‎，令，‎ ‎，‎ 当，此时，‎ 当A产品投入万元，B产品投入万元时，企业获得最大利润约为万元．‎ ‎【点睛】解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.‎ ‎22.已知函数，且.‎ ‎（1）若，求x的取值范围；‎ ‎（2）若对恒成立，求实数t的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简，然后利用指数不等式转化求的取值范围；‎ ‎（2）化简不等式分离参数，利用二次函数的性质求解函数的最值，即可得到结果．‎ ‎【详解】（1）由解得．‎ ‎ 即，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即．‎ ‎（2）即，‎ ‎，‎ 时，取得最小值，‎ 即，．‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程的应用，不等式的解法，函数恒成立，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎ ‎