2017-2018学年浙江省诸暨市牌头中学高二下学期期中考试数学试题（Word版）

2017-2018学年浙江省诸暨市牌头中学高二下学期期中考试数学试题（Word版）

‎2017-2018学年浙江省诸暨市牌头中学高二下学期期中考试数学 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题 ‎1．已知全集，集合， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．设，则“”是“”的 （ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎3．[2018·渭南质检]一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．已知双曲线 的离心率为，则的渐近线方程为 A. B. C. D. ‎ ‎5．若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．若圆关于直线对称，则的最小值为（ ）‎ A. 1 B. ‎5 C. D. 4‎ ‎7．设函数 ，其中常数满足．若函数（其中 是函数的导数）是偶函数，则等于 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8．设等差数列的前项和为,且满足,则中最大的项为 A. B. C. D. ‎ ‎9．以等腰直角三角形的斜边上的中线为折痕，将与折成互相垂直的两个平面，得到以下四个结论：①平面；②为等边三角形；③平面平面；④点在平面内的射影为的外接圆圆心.其中正确的有（ ）‎ A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④‎ ‎10．设， 且， 则在上的投影的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 ‎11．已知抛物线的准线方程为，则实数a的值为_______.‎ ‎12．在等比数列中，如果， ，那么等于________．‎ ‎13．已知、满足约束条件，则目标函数的最大值与最小值之和为__________．‎ ‎14．在△ABC中，角的对边分别为，若，则的形状 一定是_____三角形．‎ ‎15．设椭圆的左、右焦点分别为、，过焦点的直线交椭圆于、两点，若的内切圆的面积为，则________.‎ ‎16．三棱锥的所有顶点都在球的表面上， 平面,则球的表面积为__________．‎ ‎17．已知是上的偶函数，且．若关于的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是__________．‎ 三、解答题 ‎18．已知曲线在点处的切线方程是.‎ ‎（1）求， 的值；‎ ‎（2）如果曲线的某一切线与直线： 垂直，求切点坐标与切线的方程.‎ ‎19．设函数，其中向量，，．‎ ‎（）求的最小正周期及单调减区间．‎ ‎（）若，求函数的值域．‎ ‎（）在中，，，，求与的值．‎ ‎20．四棱锥中,底面是边长为的菱形,侧面底面,, , 是中点,点在侧棱上.‎ ‎（Ⅰ）求证: ;‎ ‎（Ⅱ）若是中点,求二面角的余弦值;‎ ‎（Ⅲ）是否存在,使平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.‎ ‎21．已知椭圆C： 的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且过点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过作两条直线与圆相切且分别交椭圆于M、N两点．‎ ‎① 求证：直线MN的斜率为定值；‎ ‎② 求△MON面积的最大值（其中O为坐标原点）．‎ ‎22．设数列{an}的前n项和Sn. 已知a1=1， ，n∈N*.‎ ‎(Ⅰ) 求a2的值；‎ ‎(Ⅱ) 求数列{an}的通项公式；‎ ‎(Ⅲ) 证明：对一切正整数n，有.‎ 参考答案 ‎1．C ‎【解析】由题得 ‎ 所以 ,故选C.‎ ‎2．B ‎【解析】若，则，有，必要性成立；‎ 若，当时， ，充分性不成立；‎ 所以“”是“”的必要不充分条件.‎ 本题选择B选项.‎ ‎3．B ‎【解析】根据题意得到原图是三棱锥，底面为等腰直角三角形，高为1，故得到体积为： ‎ 故答案为：B。‎ ‎4．A ‎5．B ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．选B．‎ ‎6．D ‎【解析】由题设直线过圆心 即 故选 ‎7．A ‎8．D ‎【解析】∵∴‎ ‎∴∴数列为递减数列,‎ ‎∴为正, …为负, 为正, 为负,‎ ‎∴为正, 为负,‎ ‎∵,‎ ‎∴最大.‎ 故选：D ‎9．D ‎【解析】法1：因为，所以三点共线.‎ 如图（1），当在之间时（含两点），在的投影的取值范围是； ‎ 如图（2），当在的延长线上时（不含点），在的投影的取值范围是（当接近于平行时， 在的投影无限接近于）；‎ 如图（3），当在的延长线上时（不含点），在的投影的取值范围是（当接近于平行时， 在的投影的无限接近于）；‎ 综上， 在的投影的取值范围是.‎ 法2：不妨设为坐标原点， ， ，则，也就是.而在 上的投影为.令，如果，则，所以也就是，所以；当时， ；当时， ，所以也就是，所以.‎ 综上， 的取值范围为.‎ ‎10.D 点睛：处理平面向量的有关问题时，先分析题设中的向量等式是否具有明确的几何意义.本题中的向量等式蕴含三点共线，因此考虑动点的三种位置关系就可以讨论出相应的投影范围.当我们无法挖掘向量等式隐藏的几何意义时（或者根本没有几何意义），我们就从坐标的角度把向量问题转化为函数问题.‎ ‎11．[]‎ ‎【解析】将化为，由题意，得，即.‎ ‎12．8‎ ‎【解析】由于正负相同,根据等比数列的基本性质有.‎ ‎13． ‎ ‎【解析】‎ 如图所示，作出线性约束条件满足的平面区域是三角形内部包括边界，当直线与直线重合时，目标函数取得最大值，当直线经过可行域中的点 时，目标函数取到最小值的最大值与最小值之和为，故答案为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎14．等腰 ‎【解析】由余弦定理得,化简得,所以为等腰三角形.‎ ‎15．4‎ ‎【解析】‎ ‎∵椭圆的左右焦点分别为F1，F2，a=2，‎ 过焦点F1的直线交椭圆于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，‎ ‎△MNF2的内切圆的面积为π，‎ ‎∴△MNF2内切圆半径r=1．‎ ‎∴△MNF2面积S=×1×（MN+MF2+MF2）=‎2a=4，‎ 故答案为：4‎ 点睛：这个题目考查了椭圆的几何性质的应用；其中重点考查了焦三角形的应用；椭圆的焦三角形周长为：‎2a+‎2c，和焦半径有直接联系，关于焦三角形的顶角当顶点在椭圆的上顶点时顶角最大，可结合三角形的面积公式和余弦定理得证.‎ ‎16．‎ ‎【解析】根据题意及边长关系得到BC=2,CD=3,BD=因为平面故得到 三角形ABC为直角三角形，三角形ACD 也为直角三角形，故球心在AD的中点上，球的半径为 ‎ 故答案为： .‎ 点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.‎ ‎17．‎ ‎18．（1）；（2）, 或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，由导数的几何意义可得， ，解方程可得的值；（2）设切点的坐标为，由两直线垂直的条件，斜率之积为，可得切线的斜率，解方程可得切点坐标，进而可得切线方程.‎ 试题解析：（1）∵的导数，‎ 由题意可得， ，‎ 解得， .‎ ‎（2）∵切线与直线垂直，‎ ‎∴切线的斜率.设切点的坐标为，‎ 则，∴.‎ 由，可得，或.‎ 则切线方程为或.‎ 即或.‎ ‎19．（），;（）（），．‎ ‎【解析】试题分析：（1），，令即可得减区间；‎ ‎（2）由（）易知在上单调递增，上单调递减，求最值即可得值域；‎ ‎（3）由得，由余弦定理得，结合即可得解.‎ 试题解析：‎ ‎（）．‎ ‎∴．‎ 令，‎ 得．‎ 所以单调减区间为：.‎ ‎（）当时．‎ 由（）易知在上单调递增，上单调递减.‎ ‎∴．‎ ‎，，则．‎ ‎∴在上值域为．‎ ‎（）．‎ ‎∴．‎ 又∵，则，．‎ ‎．‎ 由余弦定理，得．‎ 即．‎ ‎∴，．‎ ‎∴，得或（舍）．‎ ‎∴，．‎ ‎20．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.（Ⅲ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）证明AD⊥平面POB，即可证明AD⊥PB；（Ⅱ）证明PO⊥‎ 底面ABCD，建立空间直角坐标系，求出平面DEQ的法向量，平面DQC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论；（Ⅲ）求出平面DEQ法向量，利用PA∥平面DEQ，即，从而可得结论．‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）取中点,连接.‎ 因为,所以.‎ 因为菱形中, ,所以.‎ 所以.‎ 因为,且平面,所以平面.‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知, ,‎ 因为侧面底面,且平面底面,所以底面.‎ 以为坐标原点,如图建立空间直角坐标系.‎ 则,因为为中点,所以.‎ 所以,所以平面的法向量为.‎ 因为,设平面的法向量为,‎ 则,即.‎ 令,则,即.‎ 所以.‎ 由图可知,二面角为锐角,所以余弦值为.‎ ‎（Ⅲ）设 由（Ⅱ）可知.‎ 设,则,‎ 又因为,所以,即.‎ 所以在平面中, ,‎ 所以平面的法向量为,‎ 又因为平面,所以,‎ 即,解得.‎ 所以当时, 平面.‎ 点睛：这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角。求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，要么建系来做。‎ ‎21．（1）（2）① ②‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求双曲线离心率得椭圆离心率，再将点坐标代入椭圆方程，解方程组得，（2）①先根据点斜式得直线方程，再与椭圆方程联立解得坐标，根据直线与圆相切，得斜率相反，同理可得 最后根据斜率公式求斜率，②设直线MN方程，根据原点到直线距离得高，与椭圆方程联立方程组结合韦达定理以及弦长公式得底边边长，最后代入三角形面积公式，利用基本不等式求最值.‎ 试题解析：（1）可得，设椭圆的半焦距为，所以， ‎ 因为C过点，所以，又，解得， ‎ 所以椭圆方程为．　　　　　　　　　　　　　‎ ‎（2）① 显然两直线的斜率存在，设为， ，‎ 由于直线与圆相切，则有， ‎ 直线的方程为， 联立方程组 消去，得，　　‎ 因为为直线与椭圆的交点，所以，‎ 同理，当与椭圆相交时， ，‎ 所以，而，‎ 所以直线的斜率．　　　　　　　‎ ‎② 设直线的方程为，联立方程组消去得，‎ 所以， ‎ 原点到直线的距离，　　　　　　　　‎ 面积为，‎ 当且仅当时取得等号．经检验，存在（），使得过点的两条直线与圆相切，且与椭圆有两个交点M，N．‎ 所以面积的最大值为．‎ 点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.‎ ‎22．（1）；（2）；（3）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）令代入已知，解之可得；‎ ‎ (Ⅱ)利用条件变形，又，两式相减，即可求数列{an}的通项公式； (Ⅲ)分类，放缩，再裂项求和，即可证明结论．‎ 试题解析:(Ⅰ) ，解得. ‎ ‎(Ⅱ) ‎ ‎ 两式相减得， ，当时，符合此式，‎ 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， ， .‎ ‎(Ⅲ)证明：因为，‎ 所以