高中数学必修五各章节阶梯训练题

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第一章 解三角形 测试一 正弦定理和余弦定理 Ⅰ 学习目标 ‎1．掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形.‎ ‎2．会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形.‎ Ⅱ 基础训练题 一、选择题 ‎1．在△ABC中，若BC＝，AC＝2，B＝45°，则角A等于( )‎ ‎(A)60° (B)30° (C)60°或120° (D)30°或150°‎ ‎2．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝3，cosC＝－，则c等于( )‎ ‎(A)2 (B)3 (C)4 (D)5‎ ‎3．在△ABC中，已知，AC＝2，那么边AB等于( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎4．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知B＝30°，c＝150，b＝50，那么这个三角形是( )‎ ‎(A)等边三角形 (B)等腰三角形 ‎(C)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形 ‎5．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，如果A∶B∶C＝1∶2∶3，那么a∶b∶c等于( )‎ ‎(A)1∶2∶3 (B)1∶∶2 (C)1∶4∶9 (D)1∶∶‎ 二、填空题 ‎6．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，B＝45°，C＝75°，则b＝________.‎ ‎7．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝2，c＝4，则A＝________.‎ ‎8．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2cosBcosC＝1－cosA，则△ABC形状是________三角形.‎ ‎9．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝4，B＝60°，则c＝________.‎ ‎10．在△ABC中，若tanA＝2，B＝45°，BC＝，则 AC＝________.‎ 三、解答题 ‎11．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝4，C＝60°，试解△ABC.‎ ‎12．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝4，AC＝.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若D是BC的中点，求中线AD的长.‎ ‎13．如图，△OAB的顶点为O(0，0)，A(5，2)和B(－9，8)，求角A的大小.‎ ‎14．在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.‎ ‎(1)求角C的度数；‎ ‎(2)求AB的长；‎ ‎(3)求△ABC的面积.‎ 测试二 解三角形全章综合练习 Ⅰ 基础训练题 一、选择题 ‎1．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc，则角A等于( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2．在△ABC中，给出下列关系式：‎ ‎①sin(A＋B)＝sinC ②cos(A＋B)＝cosC ③‎ 其中正确的个数是( )‎ ‎(A)0 (B)1 (C)2 (D)3‎ ‎3．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝3，sinA＝，sin(A＋C)＝，则b等于( )‎ ‎(A)4 (B) (C)6 (D)‎ ‎4．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝4，sinC＝，则此三角形的面积是( )‎ ‎(A)8 (B)6 (C)4 (D)3‎ ‎5．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，则此三角形的形状是( )‎ ‎(A)直角三角形 (B)正三角形 ‎(C)腰和底边不等的等腰三角形 (D)等腰直角三角形 二、填空题 ‎6．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝，b＝2，B＝45°，则角A＝________.‎ ‎7．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝3，c＝，则角C＝________.‎ ‎8．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝3，c＝4，cosA＝，则此三角形的面积为________.‎ ‎9．已知△ABC的顶点A(1，0)，B(0，2)，C(4，4)，则cosA＝________.‎ ‎10．已知△ABC的三个内角A，B，C满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，那么边BC上的中线AD的长为________.‎ 三、解答题 ‎11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a＝3，b＝4，C＝60°.‎ ‎(1)求c；‎ ‎(2)求sinB.‎ ‎12．设向量a，b满足a·b＝3，|a|＝3，|b|＝2.‎ ‎(1)求〈a，b〉；‎ ‎(2)求|a－b|.‎ ‎13．设△OAB的顶点为O(0，0)，A(5，2)和B(－9，8)，若BD⊥OA于D.‎ ‎(1)求高线BD的长；‎ ‎(2)求△OAB的面积.‎ ‎14．在△ABC中，若sin‎2A＋sin2B＞sin‎2C，求证：C为锐角.‎ ‎(提示：利用正弦定理，其中R为△ABC外接圆半径)‎ Ⅱ 拓展训练题 ‎15．如图，两条直路OX与OY相交于O点，且两条路所在直线夹角为60°，甲、乙两人分别在OX、OY上的A、B两点，| OA |＝‎3km，| OB |＝‎1km，两人同时都以‎4km/h的速度行走，甲沿方向，乙沿方向.‎ 问：(1)经过t小时后，两人距离是多少(表示为t的函数)？‎ ‎(2)何时两人距离最近？‎ ‎16．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且.‎ ‎(1)求角B的值；‎ ‎(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积.‎ 第二章 数列 测试三 数列 Ⅰ 学习目标 ‎1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数.‎ ‎2．理解数列的通项公式的含义，由通项公式写出数列各项.‎ ‎3．了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据递推公式写出数列的前几项.‎ Ⅱ 基础训练题 一、选择题 ‎1．数列{an}的前四项依次是：4，44，444，4444，…则数列{an}的通项公式可以是( )‎ ‎(A)an＝4n (B)an＝4n ‎(C)an＝(10n－1) (D)an＝4×11n ‎2．在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x，48，63，……中，x的值是( )‎ ‎(A)30 (B)35 (C)36 (D)42‎ ‎3．数列{an}满足：a1＝1，an＝an－1＋3n，则a4等于( )‎ ‎(A)4 (B)13 (C)28 (D)43‎ ‎4．156是下列哪个数列中的一项( )‎ ‎(A){n2＋1} (B){n2－1} (C){n2＋n} (D){n2＋n－1}‎ ‎5．若数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则数列{an}是( )‎ ‎(A)递增数列 (B)递减数列 (C)先减后增数列 (D)以上都不对 二、填空题 ‎6．数列的前5项如下，请写出各数列的一个通项公式：‎ ‎(1)＝________；‎ ‎(2)0，1，0，1，0，…，an＝________.‎ ‎7．一个数列的通项公式是an＝.‎ ‎(1)它的前五项依次是________；‎ ‎(2)0.98是其中的第________项.‎ ‎8．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an＋1，则a4＝________.‎ ‎9．数列{an}的通项公式为(n∈N*)，则a3＝________.‎ ‎10．数列{an}的通项公式为an＝2n2－15n＋3，则它的最小项是第________项.‎ 三、解答题 ‎11．已知数列{an}的通项公式为an＝14－3n.‎ ‎(1)写出数列{an}的前6项；‎ ‎(2)当n≥5时，证明an＜0.‎ ‎12．在数列{an}中，已知an＝(n∈N*).‎ ‎(1)写出a10，an＋1，；‎ ‎(2)79是否是此数列中的项？若是，是第几项？‎ ‎13．已知函数，设an＝f(n)(n∈N＋).‎ ‎(1)写出数列{an}的前4项；‎ ‎(2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？‎ 测试四 等差数列 Ⅰ 学习目标 ‎1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能解决一些简单问题.‎ ‎2．掌握等差数列的前n项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.‎ ‎3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能体会等差数列与一次函数的关系.‎ Ⅱ 基础训练题 一、选择题 ‎1．数列{an}满足：a1＝3，an＋1＝an－2，则a100等于( )‎ ‎(A)98 (B)－195 (C)－201 (D)－198‎ ‎2．数列{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，如果an＝2008，那么n等于( )‎ ‎(A)667 (B)668 (C)669 (D)670‎ ‎3．在等差数列{an}中，若a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )‎ ‎(A)15 (B)30 (C)31 (D)64‎ ‎4．在a和b(a≠b)之间插入n个数，使它们与a，b组成等差数列，则该数列的公差为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎5．设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则( )‎ ‎(A)S4＜S5 (B)S4＝S5 (C)S6＜S5 (D)S6＝S5‎ 二、填空题 ‎6．在等差数列{an}中，a2与a6的等差中项是________.‎ ‎7．在等差数列{an}中，已知a1＋a2＝5，a3＋a4＝9，那么a5＋a6＝________.‎ ‎8．设等差数列{an}的前n项和是Sn，若S17＝102，则a9＝________.‎ ‎9．如果一个数列的前n项和Sn＝3n2＋2n，那么它的第n项an＝________.‎ ‎10．在数列{an}中，若a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，设{an}的前n项和是Sn，则S10＝________.‎ 三、解答题 ‎11．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a3＝7，S4＝24．求数列{an}的通项公式.‎ ‎12．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10＝30，a20＝50.‎ ‎(1)求通项an；‎ ‎(2)若Sn＝242，求n.‎ ‎13．数列{an}是等差数列，且a1＝50，d＝－0.6．‎ ‎(1)从第几项开始an＜0；‎ ‎(2)写出数列的前n项和公式Sn，并求Sn的最大值.‎ Ⅲ 拓展训练题 ‎14．记数列{an}的前n项和为Sn，若3an＋1＝3an＋2(n∈N*)，a1＋a3＋a5＋…＋a99＝90，求S100．‎ 测试五 等比数列 Ⅰ 学习目标 ‎1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能解决一些简单问题.‎ ‎2．掌握等比数列的前n项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.‎ ‎3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能体会等比数列与指数函数的关系.‎ Ⅱ 基础训练题 一、选择题 ‎1．数列{an}满足：a1＝3，an＋1＝2an，则a4等于( )‎ ‎(A) (B)24 (C)48 (D)54‎ ‎2．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5等于( )‎ ‎(A)33 (B)72 (C)84 (D)189‎ ‎3．在等比数列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3等于( )‎ ‎(A)4 (B) (C) (D)3‎ ‎4．在等比数列{an}中，若a2＝9，a5＝243，则{an}的前四项和为( )‎ ‎(A)81 (B)120 (C)168 (D)192‎ ‎5．若数列{an}满足an＝a1qn－1(q＞1)，给出以下四个结论：‎ ‎①{an}是等比数列； ②{an}可能是等差数列也可能是等比数列；‎ ‎③{an}是递增数列； ④{an}可能是递减数列.‎ 其中正确的结论是( )‎ ‎(A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④‎ 二、填空题 ‎6．在等比数列{an}中,a1，a10是方程3x2＋7x－9＝0的两根，则a‎4a7＝________.‎ ‎7．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＝3，a3＋a4＝6，那么a5＋a6＝________.‎ ‎8．在等比数列{an}中，若a5＝9，q＝，则{an}的前5项和为________.‎ ‎9．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________.‎ ‎10．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q＝________.‎ 三、解答题 ‎11．已知数列{an}是等比数列，a2＝6，a5＝162.设数列{an}的前n项和为Sn.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若Sn＝242，求n.‎ ‎12．在等比数列{an}中，若a‎2a6＝36，a3＋a5＝15，求公比q.‎ ‎13．已知实数a，b，c成等差数列，a＋1，b＋1，c＋4成等比数列，且a＋b＋c＝15，求a，b，c.‎ Ⅲ 拓展训练题 ‎14．在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q，每列上的数从上到下都成等差数列.aij表示位于第i行第j列的数，其中a24＝，a42＝1，a54＝.‎ a11‎ a12‎ a13‎ a14‎ a15‎ ‎…‎ a1j ‎…‎ a21‎ a22‎ a23‎ a24‎ a25‎ ‎…‎ a2j ‎…‎ a31‎ a32‎ a33‎ a34‎ a35‎ ‎…‎ a3j ‎…‎ a41‎ a42‎ a43‎ a44‎ a45‎ ‎…‎ a4j ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ai1‎ ai2‎ ai3‎ ai4‎ ai5‎ aij ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎(1)求q的值；‎ ‎(2)求aij的计算公式.‎ 测试六 数列求和 Ⅰ 学习目标 ‎1．会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分项的和.‎ ‎2．会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和.‎ Ⅱ 基础训练题 一、选择题 ‎1．已知等比数列的公比为2，且前4项的和为1，那么前8项的和等于( )‎ ‎(A)15 (B)17 (C)19 (D)21‎ ‎2．若数列{an}是公差为的等差数列，它的前100项和为145，则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为( )‎ ‎(A)60 (B)72.5 (C)85 (D)120‎ ‎3．数列{an}的通项公式an＝(－1)n－1·2n(n∈N*)，设其前n项和为Sn，则S100等于( )‎ ‎(A)100 (B)－100 (C)200 (D)－200‎ ‎4．数列的前n项和为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎5．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且an＋2＝an＋3(n＝1，2，3，…)，则S100等于( )‎ ‎(A)7000 (B)7250 (C)7500 (D)14950‎ 二、填空题 ‎6．＝________.‎ ‎7．数列{n＋}的前n项和为________.‎ ‎8．数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an，则a＋a＋…＋a＝________.‎ ‎9．设n∈N*，a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an＝________.‎ ‎10．＝________.‎ 三、解答题 ‎11．在数列{an}中，a1＝－11，an＋1＝an＋2(n∈N*)，求数列{|an|}的前n项和Sn.‎ ‎12．已知函数f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N*，x∈R)，且对一切正整数n都有f(1)＝n2成立.‎ ‎(1)求数列{an}的通项an；‎ ‎(2)求.‎ ‎13．在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝，求数列的前n项和Sn.‎ Ⅲ 拓展训练题 ‎14．已知数列{an}是等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)令bn＝anxn(x∈R)，求数列{bn}的前n项和公式.‎ 测试七 数列综合问题 Ⅰ 基础训练题 一、选择题 ‎1．等差数列{an}中，a1＝1，公差d≠0，如果a1，a2，a5成等比数列，那么d等于( )‎ ‎(A)3 (B)2 (C)－2 (D)2或－2‎ ‎2．等比数列{an}中，an＞0，且a‎2a4＋‎2a3a5＋a‎4a6＝25，则a3＋a5等于( )‎ ‎(A)5 (B)10 (C)15 (D)20‎ ‎3．如果a1，a2，a3，…，a8为各项都是正数的等差数列，公差d≠0，则( )‎ ‎(A)a‎1a8＞a‎4a5 (B)a‎1a8＜a‎4a5‎ ‎(C)a1＋a8＞a4＋a5 (D)a‎1a8＝a‎4a5‎ ‎4．一给定函数y＝f(x)的图象在下列图中，并且对任意a1∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1＞an(n∈N*)，则该函数的图象是( )‎ ‎5．已知数列{an}满足a1＝0，(n∈N*)，则a20等于( )‎ ‎(A)0 (B)－ (C) (D)‎ 二、填空题 ‎6．设数列{an}的首项a1＝，且则a2＝________，a3＝________.‎ ‎7．已知等差数列{an}的公差为2，前20项和等于150，那么a2＋a4＋a6＋…＋a20‎ ‎＝________.‎ ‎8．某种细菌的培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3个小时，这种细菌可以由1个繁殖成________个.‎ ‎9．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n(n∈N*)，则an＝________.‎ ‎10．在数列{an}和{bn}中，a1＝2，且对任意正整数n等式3an＋1－an＝0成立，若bn是an与an＋1的等差中项，则{bn}的前n项和为________.‎ 三、解答题 ‎11．数列{an}的前n项和记为Sn，已知an＝5Sn－3(n∈N*).‎ ‎(1)求a1，a2，a3；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(3)求a1＋a3＋…＋a2n－1的和.‎ ‎12．已知函数f(x)＝(x＞0)，设a1＝1，a·f(an)＝2(n∈N*)，求数列{an}的通项公式.‎ ‎13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.‎ ‎(1)求公差d的范围；‎ ‎(2)指出S1，S2，…，S12中哪个值最大，并说明理由.‎ Ⅲ 拓展训练题 ‎14．甲、乙两物体分别从相距‎70m的两地同时相向运动.甲第1分钟走‎2m，以后每分钟比前1分钟多走‎1m，乙每分钟走‎5m.‎ ‎(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？‎ ‎(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走‎1m，乙继续每分钟走‎5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？‎ ‎15．在数列{an}中，若a1，a2是正整数，且an＝|an－1－an－2|，n＝3，4，5，…则称{an}为“绝对差数列”.‎ ‎(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)；‎ ‎(2)若“绝对差数列”{an}中，a1＝3，a2＝0，试求出通项an；‎ ‎(3)*证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.‎ 测试八 数列全章综合练习 Ⅰ 基础训练题 一、选择题 ‎1．在等差数列{an}中，已知a1＋a2＝4，a3＋a4＝12，那么a5＋a6等于( )‎ ‎(A)16 (B)20 (C)24 (D)36‎ ‎2．在50和350间所有末位数是1的整数和( )‎ ‎(A)5880 (B)5539 (C)5208 (D)4877‎ ‎3．若a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点个数为( )‎ ‎(A)0 (B)1 (C)2 (D)不能确定 ‎4．在等差数列{an}中，如果前5项的和为S5＝20，那么a3等于( )‎ ‎(A)－2 (B)2 (C)－4 (D)4‎ ‎5．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2007＋a2008＞0，a2007·a2008＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是( )‎ ‎(A)4012 (B)4013 (C)4014 (D)4015‎ 二、填空题 ‎6．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.‎ ‎7．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和S20＝________.‎ ‎8．数列{an}的前n项和记为Sn，若Sn＝n2－3n＋1，则an＝________.‎ ‎9．等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则＝________.‎ ‎10．设数列{an}是首项为1的正数数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝________.‎ 三、解答题 ‎11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4，求S13.‎ ‎12．已知数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1＋1)(n∈N*)在函数f(x)＝2x＋1的图象上.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式； ‎ ‎(2)求数列{an}的前n项和Sn；‎ ‎(3)设cn＝Sn，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎13．已知数列{an}的前n项和Sn满足条件Sn＝3an＋2.‎ ‎(1)求证：数列{an}成等比数列；‎ ‎(2)求通项公式an.‎ ‎14．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.‎ ‎(1)写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用)；‎ ‎(2)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)？‎ ‎(3)若当盈利总额达到最大值时，渔船以8万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元？‎ Ⅱ 拓展训练题 ‎15．已知函数f(x)＝(x＜－2)，数列{an}满足a1＝1，an＝f(－)(n∈N*).‎ ‎(1)求an；‎ ‎(2)设bn＝a＋a＋…＋a，是否存在最小正整数m，使对任意n∈N*有bn＜成立？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎16．已知f是直角坐标系平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q＝f(P).‎ 设P1(x1，y1)，P2＝f(P1)，P3＝f(P2)，…，Pn＝f(Pn－1)，….如果存在一个圆，使所有的点Pn(xn，yn)(n∈N*)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点Pn(xn，yn)的一个收敛圆.特别地，当P1＝f(P1)时，则称点P1为映射f下的不动点.‎ 若点P(x，y)在映射f下的象为点Q(－x＋1，y).‎ ‎(1)求映射f下不动点的坐标；‎ ‎(2)若P1的坐标为(2，2)，求证：点Pn(xn，yn)(n∈N*)存在一个半径为2的收敛圆.‎ 第三章 不等式 测试九 不等式的概念与性质 Ⅰ 学习目标 ‎1．了解日常生活中的不等关系和不等式(组)的实际背景，掌握用作差的方法比较两个代数式的大小.‎ ‎2．理解不等式的基本性质及其证明.‎ Ⅱ 基础训练题 一、选择题 ‎1．设a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是( )‎ ‎(A)a＞ba－c＞b－c (B)a＞bac＞bc ‎(C)a＞ba2＞b2 (D)a＞bac2＞bc2‎ ‎2．若－1＜a＜b＜1，则a－b 的取值范围是( )‎ ‎(A)(－2，2) (B)(－2，－1) (C)(－1，0) (D)(－2，0)‎ ‎3．设a＞2，b＞2，则ab与a＋b的大小关系是( )‎ ‎(A)ab＞a＋b (B)ab＜a＋b (C)ab＝a＋b (D)不能确定 ‎4．使不等式a＞b和同时成立的条件是( )‎ ‎(A)a＞b＞0 (B)a＞0＞b (C)b＞a＞0 (D)b＞0＞a ‎5．设1＜x＜10，则下列不等关系正确的是( )‎ ‎(A)lg2x＞lgx2＞lg(lgx) (B)lg2x＞lg(lgx)＞lgx2‎ ‎(C)lgx2＞lg2x＞‎1g(lgx) (D)lgx2＞lg(lgx)＞lg2x 二、填空题 ‎6．已知a＜b＜0，c＜0，在下列空白处填上适当不等号或等号：‎ ‎(1)(a－2)c________(b－2)c； (2)________； (3)b－a________|a|－|b|.‎ ‎7．已知a＜0，－1＜b＜0，那么a、ab、ab2按从小到大排列为________.‎ ‎8．已知60＜a＜84，28＜b＜33，则a－b的取值范围是________；的取值范围是________.‎ ‎9．已知a，b，c∈R，给出四个论断：①a＞b；②ac2＞bc2；③；④a－c＞b－c.以其中一个论断作条件，另一个论断作结论，写出你认为正确的两个命题是________________；________________.(在“”的两侧填上论断序号).‎ ‎10．设a＞0，0＜b＜1，则P＝与的大小关系是________.‎ 三、解答题 ‎11．若a＞b＞0，m＞0，判断与的大小关系并加以证明.‎ ‎12．设a＞0，b＞0，且a≠b，.证明：p＞q.‎ 注：解题时可参考公式x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2).‎ Ⅲ 拓展训练题 ‎13．已知a＞0，且a≠1，设M＝loga(a3－a＋1)，N＝loga(a2－a＋1).求证：M＞N.‎ ‎14．在等比数列{an}和等差数列{bn}中,a1＝b1＞0，a3＝b3＞0，a1≠a3，试比较a5和b5的大小.‎ 测试十 均值不等式 Ⅰ 学习目标 ‎1．了解基本不等式的证明过程.‎ ‎2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.‎ Ⅱ 基础训练题 一、选择题 ‎1．已知正数a，b满足a＋b＝1，则ab( )‎ ‎(A)有最小值 (B)有最小值 (C)有最大值 (D)有最大值 ‎2．若a＞0，b＞0，且a≠b，则( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎3．若矩形的面积为a2(a＞0)，则其周长的最小值为( )‎ ‎(A)a (B)‎2a (C)‎3a (D)‎‎4a ‎4．设a，b∈R，且‎2a＋b－2＝0，则‎4a＋2b的最小值是( )‎ ‎(A) (B)4 (C) (D)8‎ ‎5．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么( )‎ ‎(A)ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一 ‎(B)ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一 ‎(C)ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一 ‎(D)ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一 二、填空题 ‎6．若x＞0，则变量的最小值是________；取到最小值时，x＝________.‎ ‎7．函数y＝(x＞0)的最大值是________；取到最大值时，x＝________.‎ ‎8．已知a＜0，则的最大值是________.‎ ‎9．函数f(x)＝2log2(x＋2)－log2x的最小值是________.‎ ‎10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝3，且a，b，c成等比数列，则b的取值范围是________.‎ 三、解答题 ‎11．四个互不相等的正数a，b，c，d成等比数列，判断和的大小关系并加以证明.‎ ‎12．已知a＞0，a≠1，t＞0，试比较logat与的大小.‎ Ⅲ 拓展训练题 ‎13．若正数x，y满足x＋y＝1，且不等式恒成立，求a的取值范围.‎ ‎14．(1)用函数单调性的定义讨论函数f(x)＝x＋(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性；‎ ‎(2)设函数f(x)＝x＋(a＞0)在(0，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的解析式.‎ 测试十一 一元二次不等式及其解法 Ⅰ 学习目标 ‎1．通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.‎ ‎2．会解简单的一元二次不等式.‎ Ⅱ 基础训练题 一、选择题 ‎1．不等式5x＋4＞－x2的解集是( )‎ ‎(A){x|x＞－1，或x＜－4 (B){x|－4＜x＜－1‎ ‎(C){x|x＞4，或x＜1 (D){x|1＜x＜4‎ ‎2．不等式－x2＋x－2＞0的解集是( )‎ ‎(A){x|x＞1，或x＜－2 (B){x|－2＜x＜1}‎ ‎(C)R (D)‎ ‎3．不等式x2＞a2(a＜0)的解集为( )‎ ‎(A){x|x＞±a} (B){x|－a＜x＜a ‎(C){x|x＞－a，或x＜a (D){x|x＞a，或x＜－a}‎ ‎4．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为，则不等式cx2＋bx＋a＜0的解集是( )‎ ‎(A){x|－3＜x＜ (B){x|x＜－3，或x＞‎ ‎(C){x－2＜x＜ (D){x|x＜－2，或x＞‎ ‎5．若函数y＝px2－px－1(p∈R)的图象永远在x轴的下方，则p的取值范围是( )‎ ‎(A)(－∞，0) (B)(－4，0] (C)(－∞，－4) (D)[－4，0)‎ 二、填空题 ‎6．不等式x2＋x－12＜0的解集是________.‎ ‎7．不等式的解集是________.‎ ‎8．不等式|x2－1|＜1的解集是________.‎ ‎9．不等式0＜x2－3x＜4的解集是________.‎ ‎10．已知关于x的不等式x2－(a＋)x＋1＜0的解集为非空集合｛x|a＜x＜}，则实数a的取值范围是________.‎ 三、解答题 ‎11．求不等式x2－2ax－‎3a2＜0(a∈R)的解集.‎ ‎12．k在什么范围内取值时，方程组有两组不同的实数解？‎ Ⅲ 拓展训练题 ‎13．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6＜0}，B＝{x|x2＋2x－8＞0}，C＝{x|x2－4ax＋‎3a2＜0}.‎ ‎(1)求实数a的取值范围，使C (A∩B)；‎ ‎(2)求实数a的取值范围，使C (UA)∩(UB).‎ ‎14．设a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋1＜0.‎ 测试十二 不等式的实际应用 Ⅰ 学习目标 会使用不等式的相关知识解决简单的实际应用问题.‎ Ⅱ 基础训练题 一、选择题 ‎1．函数的定义域是( )‎ ‎(A){x|－2＜x＜2 (B){x|－2≤x≤2‎ ‎(C){x|x＞2，或x＜－2 (D){x|x≥2，或x≤－2‎ ‎2．某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)的关系为p＝300－2x，生产x件的成本r＝500＋30x(元)，为使月获利不少于8600元，则月产量x满足( )‎ ‎(A)55≤x≤60 (B)60≤x≤65‎ ‎(C)65≤x≤70 (D)70≤x≤75‎ ‎3．国家为了加强对烟酒生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征税r元，则每年产销量减少10r万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，那么r的取值范围为( )‎ ‎(A)2≤r≤10 (B)8≤r≤10‎ ‎(C)2≤r≤8 (D)0≤r≤8‎ ‎4．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有( )‎ ‎(A)2∈M，0∈M (B)‎2‎M，‎0‎M ‎(C)2∈M，‎0‎M (D)‎2‎M，0∈M 二、填空题 ‎5．已知矩形的周长为‎36cm，则其面积的最大值为________.‎ ‎6．不等式2x2＋ax＋2＞0的解集是R，则实数a的取值范围是________.‎ ‎7．已知函数f(x)＝x|x－2|，则不等式f(x)＜3的解集为________.‎ ‎8．若不等式|x＋1|≥kx对任意x∈R均成立，则k的取值范围是________.‎ 三、解答题 ‎9．若直角三角形的周长为2，求它的面积的最大值，并判断此时三角形形状.‎ ‎10．汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个主要因素，在一个限速为‎40km/h的弯道上，甲乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了，事后现场测得甲车刹车的距离略超过‎12m，乙车的刹车距离略超过‎10m.已知甲乙两种车型的刹车距离s(km)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2．问交通事故的主要责任方是谁？‎ Ⅲ 拓展训练题 ‎11．当x∈[－1，3]时，不等式－x2＋2x＋a＞0恒成立，求实数a的取值范围.‎ ‎12．某大学印一份招生广告，所用纸张(矩形)的左右两边留有宽为‎4cm的空白，上下留有都为‎6cm的空白，中间排版面积为‎2400cm2.如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最小？‎ 测试十三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 Ⅰ 学习目标 ‎1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.‎ ‎2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.‎ Ⅱ 基础训练题 一、选择题 ‎1．已知点A(2，0)，B(－1，3)及直线l：x－2y＝0，那么( )‎ ‎(A)A，B都在l上方 (B)A，B都在l下方 ‎(C)A在l上方，B在l下方 (D)A在l下方，B在l上方 ‎2．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积为( )‎ ‎(A)1 (B)2 (C)3 (D)4‎ ‎3．三条直线y＝x，y＝－x，y＝2围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎4．若x，y满足约束条件则z＝2x＋4y的最小值是( )‎ ‎(A)－6 (B)－10 (C)5 (D)10‎ ‎5．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )‎ ‎(A)5种 (B)6种 (C)7种 (D)8种 二、填空题 ‎6．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域内的点位于第________象限.‎ ‎7．若不等式|2x＋y＋m|＜3表示的平面区域包含原点和点(－1，1)，则m 的取值范围是________.‎ ‎8．已知点P(x，y)的坐标满足条件那么z＝x－y的取值范围是________.‎ ‎9．已知点P(x，y)的坐标满足条件那么的取值范围是________.‎ ‎10．方程|x|＋|y|≤1所确定的曲线围成封闭图形的面积是________.‎ 三、解答题 ‎11．画出下列不等式(组)表示的平面区域：‎ ‎(1)3x＋2y＋6＞0 (2)‎ ‎12．某实验室需购某种化工原料‎106kg，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋‎35kg，价格为140元；另一种是每袋‎24kg，价格为120元.在满足需要的前提下，最少需要花费多少元？‎ Ⅲ 拓展训练题 ‎13．商店现有75公斤奶糖和120公斤硬糖，准备混合在一起装成每袋1公斤出售，有两种混合办法：第一种每袋装‎250克奶糖和‎750克硬糖，每袋可盈利0.5元；第二种每袋装‎500克奶糖和‎500克硬糖，每袋可盈利0.9元.问每一种应装多少袋，使所获利润最大？最大利润是多少？‎ ‎14．甲、乙两个粮库要向A，B两镇运送大米，已知甲库可调出100吨，乙库可调出80吨，而A镇需大米70吨，B镇需大米110吨，两个粮库到两镇的路程和运费如下表：‎ 路程(千米)‎ 运费(元/吨·千米)‎ 甲库 乙库 甲库 乙库 A镇 ‎20‎ ‎15‎ ‎12‎ ‎12‎ B镇 ‎25‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎8‎ 问：(1)这两个粮库各运往A、B两镇多少吨大米，才能使总运费最省？此时总运费是多少？‎ ‎(2)最不合理的调运方案是什么？它给国家造成不该有的损失是多少？‎ 测试十四 不等式全章综合练习 Ⅰ基础训练题 一、选择题 ‎1．设a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式中一定正确的是( )‎ ‎(A)ac2＞bc2 (B) (C)a－c＞b－c (D)|a|＞|b|‎ ‎2．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是( )‎ ‎(A) (B)3 (C)4 (D)6‎ ‎3．某房地产公司要在一块圆形的土地上，设计一个矩形的停车场.若圆的半径为‎10m，则这个矩形的面积最大值是( )‎ ‎(A)‎50m2‎ (B)‎100m2‎ (C)‎200m2‎ (D)‎‎250m2‎ ‎4．设函数f(x)＝，若对x＞0恒有xf(x)＋a＞0成立，则实数a的取值范围是( )‎ ‎(A)a＜1－2 (B)a＜2－1 (C)a＞2－1 (D)a＞1－2‎ ‎5．设a，b∈R，且b(a＋b＋1)＜0，b(a＋b－1)＜0，则( )‎ ‎(A)a＞1 (B)a＜－1 (C)－1＜a＜1 (D)|a|＞1‎ 二、填空题 ‎6．已知1＜a＜3，2＜b＜4，那么‎2a－b的取值范围是________，的取值范围是________.‎ ‎7．若不等式x2－ax－b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则a＋b＝________.‎ ‎8．已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________.‎ ‎9．若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________.‎ ‎10．三个同学对问题“关于x的不等式x2＋25＋|x3－5x2|≥ax在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路.‎ 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值.”‎ 乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值.”‎ 丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图象.”‎ 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是________.‎ 三、解答题 ‎11．已知全集U＝R，集合A＝{x| |x－1|＜6，B＝{x|＞0}.‎ ‎(1)求A∩B；‎ ‎(2)求(UA)∪B.‎ ‎12．某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克.今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大？‎ Ⅱ 拓展训练题 ‎13．已知数集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2)具有性质P：对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，aiaj与两数中至少有一个属于A.‎ ‎(1)分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；‎ ‎(2)证明：a1＝1，且.‎ 测试十五 必修5模块自我检测题 一、选择题 ‎1．函数的定义域是( )‎ ‎(A)(－2，2) (B)(－∞，－2)∪(2，＋∞)‎ ‎(C)[－2，2] (D)(－∞，－2]∪[2，＋∞)‎ ‎2．设a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是( )‎ ‎(A)a－b＜0 (B)0＜＜1‎ ‎(C)＜ (D)ab＞a＋b ‎3．设不等式组所表示的平面区域是W，则下列各点中，在区域W内的点是( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列不等式中一定成立的是( )‎ ‎(A)a1＋a3＞0 (B)a‎1a3＞0 (C)S1＋S3＜0 (D)S1S3＜0‎ ‎5．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于( )‎ ‎(A)1∶∶2 (B)1∶2∶3 (C)2∶∶1 (D)3∶2∶1‎ ‎6．已知等差数列{an}的前20项和S20＝340，则a6＋a9＋a11＋a16等于( )‎ ‎(A)31 (B)34 (C)68 (D)70‎ ‎7．已知正数x、y满足x＋y＝4，则log2x＋log2y的最大值是( )‎ ‎(A)－4 (B)4 (C)－2 (D)2‎ ‎8．如图，在限速为‎90km/h的公路AB旁有一测速站P，已知点P距测速区起点A的距离为‎0.08 km，距测速区终点B的距离为‎0.05 km，且∠APB＝60°.现测得某辆汽车从A点行驶到B点所用的时间为3s，则此车的速度介于( )‎ ‎(A)60～‎70km/h (B)70～‎‎80km/h ‎(C)80～‎90km/h (D)90～‎‎100km/h 二、填空题 ‎9．不等式x(x－1)＜2的解集为________.‎ ‎10．在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则cos(A＋C)的值为________.‎ ‎11．已知{an}是公差为－2的等差数列，其前5项的和S5＝0，那么a1等于________.‎ ‎12．在△ABC中，BC＝1，角C＝120°，cosA＝，则AB＝________.‎ ‎13．在平面直角坐标系中，不等式组，所表示的平面区域的面积是________；变量z＝x＋3y的最大值是________.‎ ‎14．如图，n2(n≥4)个正数排成n行n列方阵，符号aij(1≤i≤n，1≤j≤n，i，j∈N)表示位于第i行第j列的正数.已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q.若a11＝，a24＝1，a32＝，则q＝________；aij＝________.‎ 三、解答题 ‎15．已知函数f(x)＝x2＋ax＋6.‎ ‎(1)当a＝5时，解不等式f(x)＜0；‎ ‎(2)若不等式f(x)＞0的解集为R，求实数a的取值范围.‎ ‎16．已知{an}是等差数列，a2＝5，a5＝14.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设{an}的前n项和Sn＝155，求n的值.‎ ‎17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A，B是锐角，c＝10，且.‎ ‎(1)证明角C＝90°；‎ ‎(2)求△ABC的面积.‎ ‎18．某厂生产甲、乙两种产品，生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如下表所示.若每天配给该厂的煤至多56吨，供电至多45千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值最大？‎ 用煤(吨)‎ 用电(千瓦)‎ 产值(万元)‎ 甲种产品 ‎7‎ ‎2‎ ‎8‎ 乙种产品 ‎3‎ ‎5‎ ‎11‎ ‎19．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cosA＝.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若a＝，求bc的最大值.‎ ‎20．数列{an}的前n项和是Sn，a1＝5，且an＝Sn－1(n＝2，3，4，…).‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求证：‎ 参考答案 第一章 解三角形 测试一 正弦定理和余弦定理 一、选择题 ‎1．B 2．C 3．B 4．D 5．B 提示：‎ ‎4．由正弦定理，得sinC＝，所以C＝60°或C＝120°，‎ 当C＝60°时，∵B＝30°，∴A＝90°，△ABC是直角三角形；‎ 当C＝120°时，∵B＝30°，∴A＝30°，△ABC是等腰三角形.‎ ‎5．因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，‎ 由正弦定理＝k，‎ 得a＝k·sin30°＝k，b＝k·sin60°＝k，c＝k·sin90°＝k，‎ 所以a∶b∶c＝1∶∶2.‎ 二、填空题 ‎6． 7．30° 8．等腰三角形 9． 10．‎ 提示：‎ ‎8．∵A＋B＋C＝π，∴－cosA＝cos(B＋C).∴2cosBcosC＝1－cosA＝cos(B＋C)＋1，‎ ‎∴2cosBcosC＝cosBcosC－sinBsinC＋1，∴cos(B－C)＝1，∴B－C＝0，即B＝C.‎ ‎9．利用余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB.‎ ‎10．由tanA＝2，得，根据正弦定理，得，得AC＝.‎ 三、解答题 ‎11．c＝2，A＝30°，B＝90°.‎ ‎12．(1)60°；(2)AD＝.‎ ‎13．如右图，由两点间距离公式，‎ 得OA＝，‎ 同理得.由余弦定理，得 cosA＝，‎ ‎∴A＝45°.‎ ‎14．(1)因为2cos(A＋B)＝1，所以A＋B＝60°，故C＝120°.‎ ‎(2)由题意，得a＋b＝2，ab＝2，‎ 又AB2＝c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab－2abcosC ‎＝12－4－4×()＝10.‎ 所以AB＝.‎ ‎(3)S△ABC＝absinC＝·2·＝.‎ 测试二 解三角形全章综合练习 ‎1．B 2．C 3．D 4．C 5．B 提示：‎ ‎5．化简(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得b2＋c2－a2＝bc，‎ 由余弦定理，得cosA＝，所以∠A＝60°.‎ 因为sinA＝2sinBcosC，A＋B＋C＝180°，‎ 所以sin(B＋C)＝2sinBcosC，‎ 即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC.‎ 所以sin(B－C)＝0，故B＝C.‎ 故△ABC是正三角形.‎ 二、填空题 ‎6．30° 7．120° 8． 9． 10．‎ 三、解答题 ‎11．(1)由余弦定理，得c＝；‎ ‎(2)由正弦定理，得sinB＝.‎ ‎12．(1)由a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉，得〈a，b〉＝60°；‎ ‎(2)由向量减法几何意义，‎ 知|a|，|b|，|a－b|可以组成三角形，‎ 所以|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|·cos〈a，b〉＝7，‎ 故|a－b|＝.‎ ‎13．(1)如右图，由两点间距离公式，‎ 得，‎ 同理得.‎ 由余弦定理，得 所以A＝45°.‎ 故BD＝AB×sinA＝2.‎ ‎(2)S△OAB＝·OA·BD＝··2＝29.‎ ‎14．由正弦定理，‎ 得.‎ 因为sin‎2A＋sin2B＞sin‎2C，‎ 所以，‎ 即a2＋b2＞c2.‎ 所以cosC＝＞0，‎ 由C∈(0，π)，得角C为锐角.‎ ‎15．(1)设t小时后甲、乙分别到达P、Q点，如图，‎ 则|AP|＝4t，|BQ|＝4t，因为|OA|＝3，所以t＝h时，P与O重合.‎ 故当t∈[0，]时，‎ ‎|PQ|2＝(3－4t)2＋(1＋4t)2－2×(3－4t)×(1＋4t)×cos60°；‎ 当t＞h时，|PQ|2＝(4t－3)2＋(1＋4t)2－2×(4t－3)×(1＋4t)×cos120°.‎ 故得|PQ|＝(t≥0).‎ ‎(2)当t＝时，两人距离最近，最近距离为‎2km.‎ ‎16．(1)由正弦定理，‎ 得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.‎ 所以等式可化为，‎ 即，‎ ‎2sinAcosB＋sinCcosB＝－cosC·sinB，‎ 故2sinAcosB＝－cosCsinB－sinCcosB＝－sin(B＋C)，‎ 因为A＋B＋C＝π，所以sinA＝sin(B＋C)，‎ 故cosB＝－，‎ 所以B＝120°.‎ ‎(2)由余弦定理，得b2＝13＝a2＋c2－‎2ac×cos120°，‎ 即a2＋c2＋ac＝13‎ 又a＋c＝4，‎ 解得，或.‎ 所以S△ABC＝acsinB＝×1×3×＝.‎ 第二章 数列 测试三 数列 一、选择题 ‎1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 二、填空题 ‎6．(1)(或其他符合要求的答案) (2)(或其他符合要求的答案)‎ ‎7．(1) (2)7 8．67 9． 10．4‎ 提示：‎ ‎9．注意an的分母是1＋2＋3＋4＋5＝15.‎ ‎10．将数列{an}的通项an看成函数f(n)＝2n2－15n＋3，利用二次函数图象可得答案.‎ 三、解答题 ‎11．(1)数列{an}的前6项依次是11，8，5，2，－1，－4；‎ ‎(2)证明：∵n≥5，∴－3n＜－15，∴14－3n＜－1，‎ 故当n≥5时，an＝14－3n＜0.‎ ‎12．(1)；‎ ‎(2)79是该数列的第15项.‎ ‎13．(1)因为an＝n－，所以a1＝0，a2＝，a3＝，a4＝；‎ ‎(2)因为an＋1－an＝[(n＋1)]－(n－)＝1＋‎ 又因为n∈N＋，所以an＋1－an＞0，即an＋1＞an.‎ 所以数列{an}是递增数列.‎ 测试四 等差数列 一、选择题 ‎1．B 2．D 3．A 4．B 5．B 二、填空题 ‎6．a4 7．13 8．6 9．6n－1 10．35‎ 提示：‎ ‎10．方法一：求出前10项，再求和即可；‎ 方法二：当n为奇数时，由题意，得an＋2－an＝0，所以a1＝a3＝a5＝…＝a‎2m－1＝1(m∈N*).‎ 当n为偶数时，由题意，得an＋2－an＝2，‎ 即a4－a2＝a6－a4＝…＝a‎2m＋2－a‎2m＝2(m∈N*).‎ 所以数列{a‎2m}是等差数列.‎ 故S10＝‎5a1＋‎5a2＋×2＝35.‎ 三、解答题 ‎11．设等差数列{an}的公差是d，依题意得 解得 ‎∴数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1.‎ ‎12．(1)设等差数列{an}的公差是d，依题意得 解得 ‎∴数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n＋10.‎ ‎(2)数列{an}的前n项和Sn＝n×12＋×2＝n2＋11n，‎ ‎∴Sn＝n2＋11n＝242，解得n＝11，或n＝－22(舍).‎ ‎13．(1)通项an＝a1＋(n－1)d＝50＋(n－1)×(－0.6)＝－0.6n＋50.6.‎ 解不等式－0.6n＋50.6＜0，得n＞84.3.‎ 因为n∈N*，所以从第85项开始an＜0.‎ ‎(2)Sn＝na1＋d＝50n＋×(－0.6)＝－0.3n2＋50.3n.‎ 由(1)知：数列{an}的前84项为正值，从第85项起为负值，‎ 所以(Sn)max＝S84＝－0.3×842＋50.3×84＝2108.4.‎ ‎14．∵3an＋1＝3an＋2，∴an＋1－an＝，‎ 由等差数列定义知：数列{an}是公差为的等差数列.‎ 记a1＋a3＋a5＋…＋a99＝A，a2＋a4＋a6＋…＋a100＝B，‎ 则B＝(a1＋d)＋(a3＋d)＋(a5＋d)＋…＋(a99＋d)＝A＋50d＝90＋.‎ 所以S100＝A＋B＝90＋90＋＝213.‎ 测试五 等比数列 一、选择题 ‎1．B 2．C 3．A 4．B 5．D 提示：‎ ‎5．当a1＝0时，数列{an}是等差数列；当a1≠0时，数列{an}是等比数列；‎ 当a1＞0时，数列{an}是递增数列；当a1＜0时，数列{an}是递减数列.‎ 二、填空题 ‎6．－3 7．12 8．279 9．216 10．－2‎ 提示：‎ ‎10．分q＝1与q≠1讨论.‎ 当q＝1时，Sn＝na1，又∵2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，‎ ‎∴2na1＝(n＋1)a1＋(n＋2)a1，‎ ‎∴a1＝0(舍).‎ 当q≠1，Sn＝.又∵2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，‎ ‎∴2×＝，‎ 解得q＝－2，或q＝1(舍).‎ 三、解答题 ‎11．(1)an＝2×3n－1； (2)n＝5.‎ ‎12．q＝±2或±.‎ ‎13．由题意，得，解得，或.‎ ‎14．(1)设第4列公差为d，则.‎ 故a44＝a54－d＝，于是q2＝.‎ 由于aij＞0，所以q＞0，故q＝.‎ ‎(2)在第4列中，ai4＝a24＋(i－2)d＝.‎ 由于第i行成等比数列，且公比q＝，‎ 所以，aij＝ai4·qj－4＝.‎ 测试六 数列求和 一、选择题 ‎1．B 2．A 3．B 4．A 5．C 提示：‎ ‎1．因为a5＋a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3＋a4)q4＝1×24＝16，‎ 所以S8＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＝1＋16＝17.‎ ‎2．参考测试四第14题答案.‎ ‎3．由通项公式，得a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝…＝－2，所以S100＝50×(－2)＝－100.‎ ‎4．‎ ‎.‎ ‎5．由题设，得an＋2－an＝3，所以数列{a2n－1}、{a2n}为等差数列，‎ 前100项中奇数项、偶数项各有50项，‎ 其中奇数项和为50×1＋×3＝3725，偶数项和为50×2＋×3＝3775，‎ 所以S100＝7500.‎ 二、填空题 ‎6． 7． 8．(4n－1)‎ ‎9． 10．‎ 提示：‎ ‎6．利用化简后再求和.‎ ‎8．由an＋1＝2an，得，∴＝4，‎ 故数列{a}是等比数列，再利用等比数列求和公式求和.‎ ‎10．错位相减法.‎ 三、解答题 ‎11．由题意，得an＋1－an＝2，所以数列{an}是等差数列，是递增数列.‎ ‎∴an＝－11＋2(n－1)＝2n－13，‎ 由an＝2n－13＞0，得n＞.‎ 所以，当n≥7时，an＞0；当n≤6时，an＜0.‎ 当n≤6时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－a1－a2－…－an ‎＝－[n×(－11)＋×2]＝12n－n2；‎ 当n≥7时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－a1－a2－…－a6＋a7＋a8＋…＋an ‎＝(a1＋a2＋…＋an)－2(a1＋a2＋…＋a6)‎ ‎＝n×(－11)＋×2－2[6×(－11)＋×2]＝n2－12n＋72.‎ Sn＝(n∈N*).‎ ‎12．(1)∵f(1)＝n2，∴a1＋a2＋a3＋…＋an＝n2. ①‎ 所以当n＝1时，a1＝1；‎ 当n≥2时，a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝(n－1)2 ②‎ ‎①－②得，an＝n2－(n－1)2＝2n－1.(n≥2)‎ 因为n＝1时，a1＝1符合上式.‎ 所以an＝2n－1(n∈N*).‎ ‎(2)‎ ‎.‎ ‎13．因为.‎ 所以 ‎.‎ ‎14．(1)an＝2n；‎ ‎(2)因为bn＝2nxn，‎ 所以数列{bn}的前n项和Sn＝2x＋4x2＋…＋2nxn.‎ 当x＝0时，Sn＝0；‎ 当x＝1时，Sn＝2＋4＋…＋2n＝＝n(n＋1)；‎ 当x≠0且x≠1时，Sn＝2x＋4x2＋…＋2nxn，‎ xSn＝2x2＋4x3＋…＋2nxn＋1；‎ 两式相减得(1－x)Sn＝2x＋2x2＋…＋2xn－2nxn＋1，‎ 所以(1－x)Sn＝2－2nxn＋1，‎ 即.‎ 综上，数列{bn}的前n项和 测试七 数列综合问题 一、选择题 ‎1．B 2．A 3．B 4．A 5．B 提示：‎ ‎5．列出数列{an}前几项，知数列{an}为：0，－，，0，－，，0….不难发现循环规律，即a1＝a4＝a7＝…＝a‎3m－2＝0；‎ a2＝a5＝a8＝…＝a‎3m－1＝－；‎ a3＝a6＝a9＝…＝a‎3m＝.‎ 所以a20＝a2＝－.‎ 二、填空题 ‎6． 7．85 8．512 9．n2－n＋2 10．2[1－()n]‎ 三、解答题 ‎11．(1).‎ ‎(2)当n＝1时，由题意得a1＝5S1－3，所以a1＝；‎ 当n≥2时，因为an＝5Sn－3，‎ 所以an－1＝5Sn－1－3；‎ 两式相减得an－an－1＝5(Sn－Sn－1)＝5an，‎ 即4an＝－an－1.‎ 由a1＝≠0，得an≠0.‎ 所以(n≥2，n∈N*).‎ 由等比数列定义知数列{an}是首项a1＝，公比q＝－的等比数列.‎ 所以 ‎(3)a1＋a3＋…＋a2n－1＝.‎ ‎12．由a·f(an)＝2，得，‎ 化简得a－a＝4(n∈N*).‎ 由等差数列定义知数列{a}是首项a＝1，公差d＝4的等差数列.‎ 所以a＝1＋(n－1)×4＝4n－3.‎ 由f(x)的定义域x＞0且f(an)有意义，得an＞0.‎ 所以an＝.‎ ‎13．(1)，‎ 又a3＝a1＋2d＝‎12a1＝12－2d，‎ ‎∴，故＜d＜－3.‎ ‎(2)由(1)知：d＜0，所以a1＞a2＞a3＞…＞a13.‎ ‎∵S12＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)＞0，S13＝(a1＋a13)＝‎13a7＜0，‎ ‎∴a7＜0，且a6＞0，故S6为最大的一个值.‎ ‎14．(1)设第n分钟后第1次相遇，依题意有2n＋＋5n＝70，‎ 整理得n2＋13n－140＝0.解得n＝7，n＝－20(舍去).‎ ‎∴第1次相遇是在开始运动后7分钟.‎ ‎(2)设第n分钟后第2次相遇，依题意有2n＋＋5n＝3×70，‎ 整理得n2＋13n－420＝0.解得n＝15，n＝－28(舍去).‎ ‎∴第2次相遇是在开始运动后15分钟.‎ ‎15．(1)a1＝3，a2＝1，a3＝2，a4＝1，a5＝1，a6＝0，a7＝1，a8＝1，a9＝0，a10＝1.(答案不唯一)‎ ‎(2)因为在绝对差数列{an}中，a1＝3，a2＝0，所以该数列是a1＝3，a2＝0，a3＝3，a4＝3，a5＝0，a6＝3，a7＝3，a8＝0，….‎ 即自第1项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3，‎ 所以(n＝0，1，2，3，…).‎ ‎(3)证明：根据定义，数列{an}必在有限项后出现零项，证明如下：‎ 假设{an}中没有零项，由于an＝|an－1－an－2|，所以对于任意的n，都有an≥1，从而 当an－1＞an－2时，an＝an－1－an－2≤an－1－1(n≥3)；‎ 当an－1＜an－2时，an＝an－2－an－1≤an－2－1(n≥3)；‎ 即an的值要么比an－1至少小1，要么比an－2至少小1.‎ 令cn＝(n＝1，2，3，…).‎ 则0＜cn≤cn－1－1(n＝2，3，4，…).‎ 由于c1是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项cn＜0，‎ 这与cn＞0(n＝1，2，3，…)矛盾，从而{an}必有零项.‎ 若第一次出现的零项为第n项，记an－1＝A(A≠0)，则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A，即 ‎(k＝0，1，2，3，…).‎ 所以绝对差数列{an}中有无穷多个为零的项.‎ 测试八 数列全章综合练习 一、选择题 ‎1．B 2．A 3．A 4．D 5．C 二、填空题 ‎6．3·2n－3 7．180 8．an＝ 9． 10．an＝(n∈N*)‎ 提示：‎ ‎10．由(n＋1)a－na＋an＋1an＝0，得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0，‎ 因为an＞0，所以(n＋1)an＋1－nan＝0，即，‎ 所以.‎ 三、解答题 ‎11．S13＝156.‎ ‎12．(1)∵点(an，an＋1＋1)在函数f(x)＝2x＋1的图象上，‎ ‎∴an＋1＋1＝2an＋1，即an＋1＝2an.‎ ‎∵a1＝1，∴an≠0，∴＝2，‎ ‎∴{an}是公比q＝2的等比数列，‎ ‎∴an＝2n－1.‎ ‎(2)Sn＝.‎ ‎(3)∵cn＝Sn＝2n－1，‎ ‎∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)‎ ‎＝(2＋22＋…＋2n)－n＝＝2n＋1－n－2.‎ ‎13．当n＝1时，由题意得S1＝‎3a1＋2，所以a1＝－1；‎ 当n≥2时，因为Sn＝3an＋2，‎ 所以Sn－1＝3an－1＋2；‎ 两式相减得an＝3an－3an－1，‎ 即2an＝3an－1.‎ 由a1＝－1≠0，得an≠0.‎ 所以(n≥2，n∈N*).‎ 由等比数列定义知数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝的等比数列.‎ 所以an＝－()n－1．‎ ‎14．(1)设第n年所需费用为an(单位万元)，则 a1＝12，a2＝16，a3＝20，a4＝24．‎ ‎(2)设捕捞n年后，总利润为y万元，则 y＝50n－[12n＋×4]－98＝－2n2＋40n－98．‎ 由题意得y＞0，∴2n2－40n＋98＜0，∴10－＜n＜10＋.‎ ‎∵n∈N*，∴3≤n≤17，即捕捞3年后开始盈利.‎ ‎(3)∵y＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102，‎ ‎∴当n＝10时，y最大＝102．‎ 即经过10年捕捞盈利额最大，共盈利102＋8＝110(万元).‎ ‎15．(1)由an＝f(－)，得(an＋1＞0)，‎ ‎∴{}为等差数列，∴＝＋(n－1)·4．‎ ‎∵a1＝1，∴an＝(n∈N*).‎ ‎(2)由，‎ 得bn－bn＋1＝‎ ‎∵n∈N*，∴bn－bn＋1＞0，‎ ‎∴bn＞bn＋1(n∈N*)，∴{bn}是递减数列.‎ ‎∴bn的最大值为.‎ 若存在最小正整数m，使对任意n∈N*有bn＜成立，‎ 只要使b1＝即可，∴m＞.‎ ‎∴对任意n∈N*使bn＜成立的最小正整数m＝8．‎ ‎16．(1)解：设不动点的坐标为P0(x0，y0)，‎ 由题意，得，解得，y0＝0，‎ 所以此映射f下不动点为P0(，0).‎ ‎(2)证明：由Pn＋1＝f(Pn)，得，‎ 所以xn＋1－＝－(xn－)，yn＋1＝yn.‎ 因为x1＝2，y1＝2，‎ 所以xn－≠0，yn≠0，‎ 所以.‎ 由等比数列定义，得数列{xn－}(n∈N*)是公比为－1，‎ 首项为x1－＝的等比数列，‎ 所以xn－＝×(－1)n－1，则xn＝＋(－1)n－1×.‎ 同理yn＝2×()n－1.‎ 所以Pn(＋(－1)n－1×，2×()n－1).‎ 设A(，1)，则|APn|＝.‎ 因为0＜2×()n－1≤2，‎ 所以－1≤1－2×()n－1＜1，‎ 所以|APn|≤＜2．‎ 故所有的点Pn(n∈N*)都在以A(，1)为圆心，2为半径的圆内，即点Pn(xn，yn)存在一个半径为2的收敛圆.‎ 第三章 不等式 测试九 不等式的概念与性质 一、选择题 ‎1．A 2．D 3．A 4．B 5．C 提示：‎ ‎3．∵a＞2，b＞2，∴．∵ab＞0，∴ab＞a＋b.故选A.‎ ‎5．∵1＜x＜10，∴0＜lgx＜1，∴lg(lgx)＜0．‎ 又lg2x－lgx2＝lgx(lgx－2)＜0，∴lg2x＜lgx2．故选C.‎ 二、填空题 ‎6．＞；＜；＝ 7．a＜ab2＜ab 8．a－b∈(27，56)，∈(，3)‎ ‎9．①④；④①；②①；②④(注：答案不唯一，结论必须是上述四个中的两个)‎ ‎10．P＜Q 提示：‎ ‎8．由60＜a＜84，28＜b＜33－33＜－b＜－28，，‎ 则27＜a－b＜56，．‎ ‎10．∵(a＋)2－(a＋1)(a＋2)＝＞0，且a＋＞0，(a＋1)(a＋2)＞0，‎ ‎∴a＋＞，又∵0＜b＜1，∴P＜Q.‎ 三、解答题 ‎11．略解：.证明如下：‎ ‎∵，‎ 又a＞b＞0，m＞0，∴b－a＜0，a(a＋m)＞0，‎ ‎∴.‎ ‎12．证明：因为 ‎，∴p＞q.‎ ‎13．证明：∵(a3－a＋1)－(a2－a＋1)＝a2(a－1)，‎ ‎∴当a＞1时，(a3－a＋1)＞(a2－a＋1)，又函数y＝logax单调递增，∴M＞N；‎ 当0＜a＜1时，(a3－a＋1)＜(a2－a＋1)，又函数y＝logax单调递减，∴M＞N.‎ 综上，当a＞0，且a≠1时，均有M＞N.‎ ‎14．略解：设等比数列{an}的公比是q，等差数列{bn}的公差是d.‎ 由a3＝b3及a1＝b1＞0，得a1q2＝b1＋2d q2＝1＋；‎ 由a1≠a3q2≠1，从而d≠0．‎ ‎∴a5－b5＝a1q4－(b1＋4d)＝(b1＋2d)(1＋)－b1－4d＝＞0．‎ ‎∴a5＞b5．‎ 测试十 均值不等式 一、选择题 ‎1．C 2．B 3．D 4．B 5．A 提示：‎ ‎5．∵正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，‎ ‎∴ab≤(a＋b)2＝4，c＋d≥2＝4，‎ ‎∴等号当且仅当a＝b＝2，c＝d＝2时取到，‎ ‎∴ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一.‎ 二、填空题 ‎6．6；3 7．2；1 8．－5 9．3 10．[－3，1]‎ 提示：‎ ‎8．．‎ 当且仅当3－a＝，即a＝－1时，取得最大值－5．‎ ‎9．函数f(x)＝2log2(x＋2)－log2x的定义域是(0，＋∞)，‎ 且f(x)＝2log2(x＋2)－log2x＝≥log28＝3，‎ 当且仅当x＝2时，f(x)取得最小值3．‎ ‎10．由a，b，c成等比数列，得b2＝ac.‎ ‎∴(3－b)2＝(a＋c)2＝a2＋c2＋‎2ac≥‎4ac＝4b2，整理得b2＋2b－3≤0，‎ 解得b∈[－3，1].‎ 三、解答题 ‎11．略解：.证明如下：‎ ‎∵四个互不相等的正数a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc.‎ ‎∴.‎ 又a≠d，∴.‎ ‎12．略解：比较与的大小，也就是与的大小.‎ 又，从而，当t＝1时，；‎ 当t≠1，0＜a＜1时，；a＞1时，.‎ ‎13．略解：∵．‎ 当且仅当x＝y＝时，等号成立，从而的最大值为.‎ ‎∵不等式恒成立，∴a≥，‎ 即a的取值范围是[，＋∞).‎ ‎14．略解：‎ ‎(1)用函数单调性的定义可证明：当x∈(0，]时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当x ‎∈[，＋∞]时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增.证明略.‎ ‎(2)由(1)得，当≥2时，f(x)在(0，2]上单调递减，f(x)在(0，2]上的最小值为f(2)；‎ 当＜2时，f(x)在(0，]上单调递减，在[，2]上单调递增，从而f(x)在(0，2]上的最小值为f().‎ ‎∴g(a)＝‎ 测试十一 一元二次不等式及其解法 一、选择题 ‎1．A 2．D 3．C 4．A 5．B 提示：‎ ‎5．①当p＝0时，y＝－1，适合题意；‎ ‎②当p≠0时，y＝px2－px－1为二次函数，‎ 依题意有．‎ 综合①，②知B正确.‎ 二、填空题 ‎6．{x|－4＜x＜3 7．. 8．{x|－＜x＜，且x≠0‎ ‎9．{x|－1＜x＜0，或3＜x＜4 10．a∈(－∞，－1)∪(0，1)‎ 提示：‎ ‎10．x2－(a＋)x＋1＜0(x－a)(x－)＜0．‎ ‎∵该集合为非空集合，∴a＜.‎ 即①或②‎ 解①得0＜a＜1；解②得a＜－1．‎ 综合①，②得a＜－1，或0＜a＜1．‎ 三、解答题 ‎11．略解：原不等式(x＋a)(x－‎3a)＜0．‎ 分三种情况讨论：‎ ‎①当a＜0时，解集为{x|‎3a＜x＜－a}；‎ ‎②当a＝0时，原不等式x2＜0，显然解集为；‎ ‎③当a＞0时，解集为{x|－a＜x＜‎3a}.‎ ‎12．略解：由3x－4y＋k＝0得，代入x2＋y2－2x＝0，‎ 得，‎ 即25x2＋(6k－32)x＋k2＝0，‎ 令＝(6k－32)2－4×25×k2＞0，解得－8＜k＜2．‎ ‎13．略解：A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x＜－4或x＞2}.‎ 当a＞0时，C＝{x|a＜x＜‎3a}，当a＝0时，C＝，当a＜0时，C＝{x|‎3a＜x＜a}.‎ ‎(1)A∩B＝{x|2＜x＜3}，欲使A∩B C，则解得1≤a≤2；‎ ‎(2)(UA)∩(UB)＝{x＝|－4≤x≤－2}，‎ 欲使(UA)∩(UB)C，则 解得－2＜a＜－.‎ ‎14．略解：①当a＝0时，原不等式x＞；‎ ‎②当a＞0时，由于＝4－‎4a，所以 ‎(1)当0＜a＜1时，原不等式；‎ ‎(2)当a≥1时，原不等式解集为.‎ ‎③当a＜0时，由于＝4－‎4a＞0，所以 原不等式，或.‎ 测试十二 不等式的实际应用 一、选择题 ‎1．A 2．C 3．C 4．A 提示：‎ ‎2．依题意，有(300－2x)x－(500＋30x)≥8600，化简整理为x2－135x＋4550≤0，‎ 解得65≤x≤70．‎ ‎3．设产销量为每年x(万瓶)，则销售收入为70x(万元)，从中征收附加税为70x·(万元)，且x＝100－10r，依题意得 ‎70(100－10r)·≥112，得r2－10r＋16≤0，解得2≤r≤8．‎ ‎4．方法－：(1＋k2)x≤k4＋42．‎ 设．‎ 从而，f(k)的最小值是．‎ 这说明只要不大于的实数x必是不等式x≤f(k)的解.‎ 由于2＜，0＜，从而选A.‎ 方法二：将x＝0，x＝2分别代入不等式进行检验即可.‎ 二、填空题 ‎5．‎81cm2 6．(－4，4) 7．{x|x＜3 8．[0，1]‎ 提示：‎ ‎7．∵x|x－2|＜3或2≤x＜3或x＜2，‎ ‎∴不等式f(x)＜3的解集为{x|x＜3}.‎ ‎8．在同一坐标系中，画出函数y1＝|x＋1|和y2＝kx的图象进行研究.‎ 三、解答题 ‎9．略解：设直角三角形的两直角边分别为x，y，则x＋y＋＝2．‎ ‎∴，∴.‎ ‎∴xy≤6－4，∴S＝xy≤3－2，此时三角形为等腰直角三角形.‎ ‎10．略解：由题意：对甲0.1x＋0.01x2＞12，得x＜－40(舍)，或x＞30．‎ 对乙来说0.05x＋0.005x2＞10，解得x＜－50(舍)，或x＞40．‎ 即x甲＞‎30km/h，x乙＞‎40km/h，∴乙车超过路段限速，应负主要责任 ‎11．略解：－x2＋2x＋a＞0恒成立a＞x2－2x在区间[－1，3]上恒成立.‎ 由于x2－2x在区间[－1，3]上的最大值是3，从而a＞3．‎ ‎12．略解：设版面横向长为xcm，则纵向长为cm，那么纸张横向长为(x＋8)cm，纵向长为(＋12)cm.‎ ‎∴纸张的面积S＝(x＋8)(＋12)＝2496＋＋12x.‎ ‎∵x＞0，＞0，12x＞0．∴S≥2496＋2＝3456(cm2).‎ 当且仅当＝12x，即x＝40(cm)，＝60(cm).‎ ‎∴纸张的宽为40＋8＝48(cm)，长为60＋12＝72(cm)时，纸的用量最小.‎ 测试十三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 一、选择题 ‎1．D 2．B 3．A 4．A 5．C 提示：‎ ‎5．设软件买x片，磁盘少买y盒，则约束条件为 在可行域内的解为(3，2)、(4，2)、(5，2)、(6，2)、(3，3)、(4，3)、(3，4)，共有7个.‎ 二、填空题 ‎6．四 7．(－2，3) 8．[－3，1] 9．[0，＋∞) 10．2‎ 提示：‎ ‎10．分类讨论去掉绝对值符号，可得曲线围成的图形是边长为的正方形.‎ 三、解答题 ‎11．略.‎ ‎12．略解：设购买‎35kg的x袋，‎24kg的y袋，则 共花费z＝140x＋120y.画出可行域，做出目标函数z＝140x＋120y对应的一组平行线，观察在点(1，3)处，z取得最小值500，即最少需要花费500元.‎ ‎13．略解：设第一种应装x袋，第二种应装y袋，则所获利润z＝0.5x＋0.9y.‎ x，y应满足约束条件 直线x＋2y＝300与3x＋2y＝480的交点M(90，105)，‎ z＝0.5x＋0.9y在M点取最大值，此时z＝0.5×90＋0.9×105＝139.5．‎ ‎∴第一种装法应装90袋，第二种装法应装105袋，可使利润最大，最大利润是139.5元.‎ ‎14．略解：设甲库运往A镇x吨大米，乙库运往A镇y吨大米，易知x，y应满足约束条件 目标函数是 z＝20·12·x＋25·10(100－x)＋15·12·y＋20·8(80－y)＝37800－10x＋20y.‎ 易知目标函数在(0，70)处取最大值，(70，0)处取最小值.‎ ‎(1)甲库运往A镇70吨、运往B镇30吨，乙库大米全部运往B镇，总运费最小，为37100元.‎ ‎(2)甲库全部运往B镇，乙库运10吨给B镇，70吨给A镇，总运费最多，为39200元.造成不该有的损失2100元.‎ 测试十四 不等式全章综合练习 一、选择题 ‎1．C 2．B 3．C 4．D 5．D 二、填空题 ‎6．(－2，4)， 7．－1 8． 9．－1≤a≤0 10．(－∞，10]‎ 三、解答题 ‎11．解：由|x－1|＜6，得－6＜x－1＜6，解得－5＜x＜7．‎ 由＞0，得(x－8)(2x－1)＞0，解得x＞8，或x＜.‎ ‎(1)A∩B＝{x|－5＜x＜7∩{x|x＞8，或x＜＝{x|－5＜x＜.‎ ‎(2)∵UA＝{x|x≤－5，或x≥7，‎ ‎∴(UA)∪B＝{x|x≤－5，或x≥7∪{x|x＞8，或x＜＝{x|x≥7，或x＜.‎ ‎12．解：设此工厂每日需甲种原料x吨，乙种原料y吨，则可得产品z＝90x＋100y(千克).‎ 由题意，得 上述不等式组表示的平面区域如右图所示，‎ 阴影部分(含边界)即为可行域.‎ 作直线l：90x＋100y＝0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线l的距离最大，此时目标函数达到最大值.这里M点是直线2x＋3y＝12和5x＋4y＝20的交点，容易解得，‎ 此时z取到最大值．‎ 答：当每天提供甲原料吨，乙原料吨时，每日最多可生产‎440千克产品.‎ ‎13．(1)由于3×4与均不属于数集{1，3，4}，∴该数集不具有性质P.‎ 由于1×2，1×3，1×6，2×3，都属于数集{1，2，3，6}，‎ ‎∴该数集具有性质P.‎ ‎(2)∵A＝{a1，a2，…，an}具有性质P，∴anan与中至少有一个属于A.‎ 由于1≤a1＜a2＜…＜an，∴anan＞an，故ananA.‎ 从而1＝∈A，∴a1＝1．‎ ‎∵1＝a1＜a2＜…＜an，∴akan＞an，故akanA(k＝2，3，…，n).‎ 由A具有性质P可知∈A(k＝1，2，3，…，n).‎ 又∵，‎ ‎∴.‎ 从而，‎ ‎∴.‎ 测试十五 数学必修5模块自我检测题 一、选择题 ‎1．D 2．C 3．A 4．B 5．A 6．C 7．D 8．C 提示：‎ ‎6．∵S20＝＝340，∴a1＋a20＝34．‎ ‎∴a6＋a9＋a11＋a16＝(a6＋a16)＋(a9＋a11)＝‎2a11＋‎2a10＝2(a10＋a11)＝2(a1＋a20)＝68．‎ ‎7．∵正数x、y满足x＋y＝4，‎ ‎∴xy≤()2＝4 (当x＝y时取等号).‎ ‎∴ log2x＋log2y＝log2(xy)≤log24＝2．‎ 即log2x＋log2y的最大值是2．‎ ‎8．根据余弦定理得AB2＝AP2＋BP2－2AP·BP·cos60°.‎ 解得AB＝0.07(km).‎ 从而汽车从A地到B地的车速为×3600＝84(km/h).‎ 二、填空题 ‎9．{x|－1＜x＜2} 10． 11．4 12．‎ ‎13．，9 14．，j·()i 提示：‎ ‎14．设第一行的等差数列的公差为d，则有 即 解得d＝或d＝－(舍去).从而q＝.‎ ‎∴aij＝a1j·qi－1＝[a11＋(j－1)d]·qi－1＝.‎ 三、解答题 ‎15．解：(1)当a＝5时，f(x)＝x2＋5x＋6．‎ f(x)＜0x2＋5x＋6＜0(x＋2)(x＋3)＜0－3＜x＜－2．‎ ‎(2)若不等式f(x)＞0的解集为R，则a2－4×6＜0，‎ 即实数a的取值范围是.‎ ‎16．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a1＋d＝5，a1＋4d＝14，解得a1＝2，d＝3．‎ 所以数列{an}的通项为an＝a1＋(n－1)d＝3n－1．‎ ‎(2)数列{an}的前n项和Sn＝.‎ 由，化简得3n2＋n－310＝0，‎ 即(3n＋31)(n－10)＝0，所以n＝10．‎ ‎17．证明：(1)根据正弦定理得，‎ 整理为sinAcosA＝sinBcosB，即sin‎2A＝sin2B.‎ ‎∵0＜‎2A，2B＜π，∴‎2A＝2B，或‎2A＋2B＝π.‎ ‎∵，∴A＋B＝，即∠C＝90°‎ ‎(2)因为△ABC是以角C为直角的直角三角形，且c＝10，易求得a＝6，b＝8．‎ ‎∴△ABC的面积S＝ab＝24．‎ ‎18．略解：设每天生产甲种产品x吨，乙种产品y吨，‎ 则目标函数z＝8x＋11y，作出线性约束条件所表示的平面区域，‎ 可求得鲞x＝5，y＝7时，z取最大值117万元.‎ 所以，每天生产甲种产品5吨，乙种产品7吨，日产值到达最大值117万元.‎ ‎19．略解：(1)‎ ‎.‎ ‎(2)∵cosA＝，‎ ‎∴，整理得bc≤.‎ 当且仅当b＝c＝时，bc取得最大值.‎ ‎20．(1)解：依题意得两式相减得：‎ an＋1－an＝an，即(n＝2，3，4，…).‎ ‎∴a2，a3，a4，…构成首项为a2，公比为2的等比数列.‎ ‎∵a2＝S1＝a1＝5，∴an＝5·2n－2(n≥2).‎ ‎∴‎ ‎(2)证明：‎ ‎.‎ 单元测试一 解三角形 一、选择题 ‎1．在△ABC中，若AC＝3，A＝30°，B＝45°，则BC等于( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝4，c＝6，则cosB等于( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎3．在△ABC中，若，则△ABC是( )‎ ‎(A)等腰三角形 (B)直角三角形 ‎(C)等边三角形 (D)等腰三角形或直角三角形 ‎4．在等腰锐角△ABC中，a＝3，c＝2，则cosA等于( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，A＝，b＝1，则c等于( )‎ ‎(A)1 (B)2 (C)－1 (D)‎ 二、填空题 ‎6．在△ABC中，若a2＋ab＝c2－b2，则角C＝________.‎ ‎7．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝‎2A，则的值等于________.‎ ‎8．已知△ABC的顶点A(1，1)，B(－1，3)，C(3，0)，则cosB＝________.‎ ‎9．在△ABC中，∠A＝60°，AC＝16，△ABC的面积S＝220，则BC＝________.‎ ‎10．若三角形的三边之比为3∶5∶7，则其最大角等于________.‎ 三、解答题 ‎11．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，设a＝4，c＝3，cosB＝.‎ ‎(1)求b的值；‎ ‎(2)求△ABC的面积.‎ ‎12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝，b＝3，sinC＝2sinA.‎ ‎(1)求c的值；‎ ‎(2)求sinA的值.‎ ‎13．在△ABC中，cosA＝，cosB＝，BC＝5，求△ABC的面积.‎ ‎14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，＝3，c＝1，求a的值.‎ 单元测试二 数列 一、选择题 ‎1．在等差数列{an}中，若a2＝3，a6＝11，则a4等于( )‎ ‎(A)5 (B)6 (C)7 (D)9‎ ‎2．在正项等比数列{an}中，若a‎4a5＝6，则a‎1a2a7a8等于( )‎ ‎(A)6 (B)12 (C)24 (D)36‎ ‎3．等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的公差等于( )‎ ‎(A)1 (B)2 (C)－1 (D)－2‎ ‎4．若数列{an}是公比为4的等比数列，且a1＝2，则数列{log2an}是( )‎ ‎(A)公差为2的等差数列 (B)公差为lg2的等差数列 ‎(C)公比为2的等比数列 (D)公比为lg2的等比数列 ‎5．等比数列{an}的前n项和记为Sn，若S4＝2，S8＝6，则S12等于( )‎ ‎(A)8 (B)10 (C)12 (D)14‎ ‎6．{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，用Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是( )‎ ‎(A)21 (B)20 (C)19 (D)18‎ ‎7．如果数列{an}(an∈R)对任意m，n∈N*满足am＋n＝am·an，且a3＝8，那么a10等于( )‎ ‎(A)1024 (B)512 (C)510 (D)256‎ ‎8．设f(n)为正整数n(十进制)的各数位上的数字的平方之和，例如f(123)＝12＋22＋32＝14．记a1＝f(2009)，ak＋1＝f(ak)，k＝1，2，3，…则a2009等于( )‎ ‎(A)85 (B)16 (C)145 (D)58‎ 二、填空题 ‎9．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.‎ ‎10．在等差数列{an}中，a2，a11是方程x2－3x－5＝0的两根，则a5＋a8＝________.‎ ‎11．设等比数列{an}的公比，前n项和为Sn，则＝________.‎ ‎12．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，则a5＝______；前8项的和S8＝______.(用数字作答)‎ ‎13．设{an}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令bn＝an＋1(n＝1，2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中，则6q＝________.‎ ‎14．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.‎ 三、解答题 ‎15．在等差数列{an}中，a‎3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}前n项和Sn.‎ ‎16．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列.‎ ‎(1)求{an}的公比q；‎ ‎(2)若a1－a3＝3，求Sn.‎ ‎17．已知三个数成等差数列，它们的和为30，如果第一个数减去5，第二个数减去4，第三个数不变，则所得三个数组成等比数列，求这三个数.‎ ‎18．已知函数f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(x∈R，n∈N*)，且对一切正整数n都有f(1)＝n2成立.‎ ‎(1)求数列{an}的通项an；‎ ‎(2)求.‎ ‎19．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2．‎ ‎(1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ 单元测试三 不等式 一、选择题 ‎1．设S＝{x|2x＋1＞0}，T＝{x|3x－5＜0}，则集合S∩T等于( )‎ ‎(A) (B)x|x＜－ (C)x|x＞ (D)‎ ‎2．若a，b是任意实数，且a＞b，则下列不等式中一定正确的是( )‎ ‎(A)a2＞b2 (B) (C)‎2a＞2b (D)|a|＞|b|‎ ‎3．不等式的解集是( )‎ ‎(A)(－∞，－1)∪(－1，2) (B)[－1，2]‎ ‎(C)(－∞，－1)∪[2，＋∞] (D)(－1，2]‎ ‎4．设x，y为正数，则(x＋y)()的最小值为( )‎ ‎(A)6 (B)9 (C)12 (D)15‎ ‎5．若f(x)是定义在R上的减函数，则满足f()＞f(1)的实数x的取值范围是( )‎ ‎(A)(－∞，1) (B)(1，＋∞)‎ ‎(C)(－∞，0)∪(0，1) (D)(－∞，0)∪(1，＋∞)‎ ‎6．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有( )‎ ‎(A)2∈M，0∈M (B)‎2‎M，‎0‎M (C)2∈M，‎0‎M (D)‎2‎M，0∈M.‎ 二、填空题 ‎7．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(RB)＝R，则实数a的取值范围是________.‎ ‎8．若实数a满足a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2由小到大的顺序是________.‎ ‎9．函数f(x)＝的定义域是________.‎ ‎10．已知实数x，y满足则z＝2x＋4y的最大值为________.‎ ‎11．已知正实数a，b满足a＋4b＝8，那么ab的最大值是________.‎ ‎12．如果方程(x－1)(x2－2x＋m)＝0的三个根可以作为一个三角形的三条边长，那么实数m的取值范围是________.‎ 三、解答题 ‎13．已知一元二次不等式x2－ax－b＜0的解集是{x|1＜x＜3}，‎ ‎(1)求实数a，b的值；‎ ‎(2)解不等式＞1．‎ ‎14．设a∈R，且a≠－1，试比较1－a与的大小.‎ ‎15．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％(盈利率＝×100％)，可能的最大亏损率分别为30％和10％(亏损率＝×100％)，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大？‎ ‎16．已知函数f(x)＝，其中x∈[1，＋∞.‎ ‎(1)当a＞0时，求函数f(x)的最小值g(a)；‎ ‎(2)若对任意x∈[1，＋∞，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围.‎ 数学必修5 模块检测题 一、选择题 ‎1．在等比数列{an}中，若a1＝2，a3＝4，则a7等于( )‎ ‎(A)8 (B)16 (C)32 (D)64‎ ‎2．设a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，则下列不等式中一定成立的是( )‎ ‎(A)a＋c＞b＋d (B)a－c＞b－d ‎(C)ac＞bd (D)‎ ‎3．已知函数y＝－x2＋x，那么使y＜－2成立时x的取值范围是( )‎ ‎(A)(－1，2) (B)(－∞，－1)∪(2，＋∞)‎ ‎(C)(－2，1) (D)(－∞，－2)∪(1，＋∞)‎ ‎4．在数列{an}中，a1＝4，an＋1＝2an－1(n＝1，2，3，…)，则a4等于( )‎ ‎(A)7 (B)13 (C)25 (D)49‎ ‎5．在△ABC中，三个内角A，B，C满足A＜B＜C(C≠)，则下列不等式一定成立的是( )‎ ‎(A)sinA＜sinC (B)cosA＜cosC ‎(C)tanA＜tanC (D)tanA＞tanC ‎6．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )‎ ‎(A)10项 (B)11项 (C)12项 (D)13项 ‎7．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )‎ ‎(A)a＜5 (B)a≥7‎ ‎(C)5≤a＜7 (D)a＜5，或a≥7‎ ‎8．若不等式(－1)na＜2＋对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ 二、填空题 ‎9．不等式x(2－x)＞0的解集为________.‎ ‎10．已知正数a，b满足ab＝4，那么－a－b的最大值是________.‎ ‎11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，a3＝7，则S10等于________.‎ ‎12．已知点P(x，y)的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|PO|的最大值等于________，最小值等于________.‎ ‎13．等比数列{an}的前n项和是Sn，若8S6＝9S3，则{an}的公比等于________.‎ ‎14．Rt△ABC的三个内角的正弦值成等比数列，设最小的锐角为角A，则sinA＝________.‎ 三、解答题 ‎15．解不等式：0＜x2－3x＜4．‎ ‎16．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边.已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)求的值.‎ ‎17．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a3＝6，S3＝12.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求证：.‎ ‎18．电视台为某个广告公司特约播放两套片集：片集甲每集播映时间为21分钟，其中含广告时间1分钟，收视观众为60万人；片集乙每集播映时间为11分钟，含广告时间1分钟，收视观众为20万人.广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间(含广告时间).电视台每周应播映两套片各多少集，才能获得最高的收视率？‎ ‎19．对于定义域分别是Df，Dg的函数y＝f(x)，y＝g(x)，规定：函数 ‎(1)若函数，g(x)＝x2，x∈R，写出函数h(x)的解析式；‎ ‎(2)求问题中(1)函数h(x)的值域.‎ ‎20．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n＝1，2，3，…).‎ ‎(1)设bn＝an＋1－2an(n＝1，2，3，…)，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎(2)设cn＝(n＝1，2，3，…)，求证数列{cn}是等差数列，并求其通项公式；‎ ‎(3)求数列{an}的通项公式及前n项和公式.‎ 测试卷参考答案 单元测试一 解三角形 一、选择题 ‎1．D 2．C 3．D 4．A 5．B 二、填空题 ‎6．120° 7．2 8． 9．49 10．‎ 提示：‎ ‎9．因为△ABC的面积S＝‎220‎AC·AB·sinA，所以求得AB＝55，‎ 由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－‎2AC·ABcosA＝162＋552－2×16×55cos60°，‎ 所以BC＝49．‎ 三、解答题xkb1.com ‎11．(1)解：在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，‎ 得b2＝16＋9－24×＝22，‎ 所以b＝.‎ ‎(2)解：由cosB＝，B∈(0，π)，‎ 所以，‎ 由三角形的面积公式S＝acsinB，‎ 得S＝×4×3×.‎ ‎12．(1)解：在△ABC中，根据正弦定理，，‎ 于是c＝sinC·.‎ ‎(2)解：在△ABC中，根据余弦定理，‎ 得，‎ 于是sinA＝，‎ ‎13．解：由cosA＝－，得sinA＝，‎ 由cosB＝，得sinB＝.‎ 所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.‎ 由正弦定理，得.‎ 所以△ABC的面积.‎ ‎14．解：，‎ 又A∈(0，π)，sinA＝，而，‎ 所以bc＝5，‎ 又c＝1，所以b＝5，‎ 所以.‎ 单元测试二 数列 一、选择题xkb1.com ‎1．C 2．D 3．B 4．A 5．D 6．B 7．A 8．D 二、填空题 ‎9．13 10．3 11．15 12．16,255 13．－9 14．3‎ 三、解答题 ‎15．解：设{an}的公差为d，则 ‎，‎ 即，‎ 解得或.‎ 因此Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)，或Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9).‎ ‎16．解：(1)依题意有 a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，‎ 由于a1≠0，故2q2＋q＝0，‎ 又q≠0，从而q＝.‎ ‎(2)由已知可得a1－a1()2＝3，‎ 故a1＝4，‎ 从而Sn＝.‎ ‎17．解：设这三个数为a－d，a，a＋d，‎ 则(a－d)＋a＋(a＋d)＝30，解得a＝10．‎ 又由(a－d－5)(a＋d)＝(a－4)2，‎ 解得d＝2，或－7．‎ 所以三个数为8，10，12，或17，10，3．‎ ‎18．解：(1)由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋an＝n2． ①‎ 所以当n＝1时，a1＝1；‎ 当n≥2时，a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝(n－1)2 ②‎ ‎①－②得，an＝n2－(n－1)2＝2n－1．(n≥2)‎ 因为n＝1时，a1＝1符合上式，‎ 所以an＝2n－1(n∈N*).‎ ‎(2)‎ ‎.‎ ‎19．解：(1)由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，‎ 得a1＋a2＝‎4a1＋2，a2＝‎3a1＋2＝5，∴b1＝a2－‎2a1＝3．‎ 由Sn＋1＝4an＋2， ……………①‎ 得当n≥2时，有Sn＝4an－1＋2 ……………②‎ ‎①－②得an＋1＝4an－4an－1，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)，‎ 又因为bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1，‎ 所以{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列.‎ ‎(2)由(1)可得bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，所以，‎ 所以数列{}是首项为，公差为的等差数列.‎ 所以＝，an＝(3n－1)·2n－2．‎ 单元测试三 不等式 一、选择题 ‎1．D 2．C 3．D 4．B 5．D 6．A 二、填空题 ‎7．a≥2 8．a＜－a2＜a2＜－a 9．[2，3∪(3，4) 10．14 11．4‎ ‎12．＜m≤1‎ 三、解答题 ‎13．(1)因为不等式x2－ax－b＜0的解集是{x|1＜x＜3}‎ 所以1，3是方程x2－ax－b＝0的两根，‎ 故a＝1＋3，－b＝1×3，即a＝4，b＝－3．‎ ‎(2)不等式＞1，即为：＞1．‎ 因为＞1－1＞0‎ ‎(x＋7)(x－3)＞0‎ x＞3，或x＜－7．‎ 所以，原不等式的解集为{x|x＞3，或x＜－7.‎ ‎14．当a＝0时，1－a＝；‎ 当a＜－1时，1－a＞；‎ 当a＞－1且a≠0时，1－a＜.‎ ‎15．解：设投资人对甲、乙两个项目分别投资x、y万元，‎ 由题意知 目标函数为z＝x＋0.5y，‎ 上述不等式组表示的平面区域如右图所示，‎ 阴影部分(含边界)即为可行域.‎ 作直线l：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线l的距离最大，此时目标函数达到最大值.‎ 这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点，容易解得M(4，6)，此时 z取到最大值1×4＋0.5×6＝7．‎ 答：投资人用4万元投资甲项目，用6万元投资乙项目，才能确保在可能的资金亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.‎ ‎16．略解：‎ ‎(1)当a≥1时，，‎ 当且仅当x＝，即x＝时，f(x)有最小值2＋2；‎ 当0＜a＜1时，可证函数f(x)在x∈[1，＋∞)上是单调增函数(在此略)，‎ 所以f(x)有最小值f(1)＝a＋3，‎ 综上，函数f(x)有最小值.‎ ‎(2)因为x∈[1，＋∞]，且f(x)＝＞0，‎ 所以x2＋2x＋a＞0，‎ 即a＞－x2－2x＝－(x＋1)2＋1对于x∈[1，＋∞)恒成立，‎ 而函数y＝－(x＋1)2＋1，x∈[1，＋∞)的最大值为－3，‎ 所以a＞－3．‎ 数学必修5 模块检测题 一、选择题 ‎1．B 2．A 3．B 4．C 5．A 6．D 7．C 8．A 提示：‎ ‎8．①当n是正奇数时，原不等式化为a＞－(2＋)，‎ 欲使上式对于任意正奇数n恒成立，则a≥－2．‎ ‎②当n是正偶数时，原不等式化为a＜2－，‎ 欲使上式对于任意正偶数n恒成立，则a＜2－.‎ 综上，a的取值范围是[－2，).‎ 二、填空题 ‎9．{x|0＜x＜2 10．－4 11．120‎ ‎12． 13． 14．‎ 提示：‎ ‎13．设{an}的公比为q，‎ ‎①当q＝1时，S6＝‎6a1，S3＝‎3a1，此时不适合8S6＝9S3，所以q≠1．‎ ‎②当q≠1时，由，且a1≠0，得 ‎8(1＋q3)＝9，即q3＝，所以q＝.‎ ‎14．不妨设∠C为直角.由题意sinA·sinC＝sin2B，即sinA＝sin2B，‎ 又因为A＋B＝，所以sinB＝cosA，故sinA＝cos‎2A＝1－sin‎2A.‎ 解此方程得sinA＝，又sinA∈(0，1)，故sinA＝.‎ 三、解答题 ‎15．原不等式{x|－1＜x＜0，或3＜x＜4.‎ ‎16．解：(1)因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac.‎ 又a2－c2＝ac－bc，所以b2＋c2－a2＝bc.‎ 根据余弦定理得cosA＝，所以∠A＝60°.‎ ‎(2)根据正弦定理，得sinB＝.‎ 因为b2＝ac，∠A＝60°，‎ 所以.‎ ‎17．解：(1)设等差数列{an}的公差是d，依题意得 解得 所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n.‎ ‎(2)证明：an＝2n，所以Sn＝＝n(n＋1).‎ ‎.‎ 所以.‎ ‎18．解：设片集甲播映x集，片集乙播映y集，则有设此不等式组表示的平面区域为D.要获得最高的收视率，只要最大即可，问题转化为求目标函数在区域D上的最大值即可.画图分析得，当x＝2，y＝4时，z取得最大值200万.‎ ‎19．解：(1)由函数，，x∈R，可得：‎ Df＝{x|x≠1}，Dg＝R，从而当x≠1时，；当x＝1时，h(x)＝1.‎ ‎(2)当x＞1时，；‎ 当x＜1时，；‎ 所以，h(x)的值域为{y|y≥4，或y≤0，或y＝1}.‎ ‎20．(1)证明：由，两式相减得.‎ 整理得，即bn+1＝2bn.‎ 故{bn}是公比为2的等比数列，‎ 而，可得(n∈N*)‎ ‎(2)证明：，‎ 所以{cn}是等差数列，，故.‎ ‎(3).‎ 当n≥2时，，因为S1＝a1＝1也适合，‎ 故.‎