2018届二轮复习集合与常用逻辑用语学案

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文档介绍

2018届二轮复习集合与常用逻辑用语学案

第1讲 集合与常用逻辑用语 ‎1.集合是高考必考知识点,经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算,近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.‎ ‎2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定,考查充要条件的判断.‎ 热点一 集合的关系及运算 ‎1.集合的运算性质及重要结论 ‎(1)A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=B∪A.‎ ‎(2)A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A.‎ ‎(3)A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U.‎ ‎(4)A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A.‎ ‎2.集合运算中的常用方法 ‎(1)若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解.‎ ‎(2)若已知的集合是点集,用数形结合法求解.‎ ‎(3)若已知的集合是抽象集合,用Venn图求解.‎ 例1 (1)(2017届湖南师大附中月考)已知集合A={x|log2x<1},B={y|y=2x,x≥0},则A∩B等于(  )‎ A.∅ B.{x|190°,不存在⊥,故不正确;②项,通过对其图象的分析发现,对于任意的点A都能找到对应的点B,使得⊥成立,故正确;③项,由图象可得直角始终存在,故正确;④项,由图象可知,点(1,0)在曲线上,不存在另外一个点使得⊥成立,故错误.综合②③正确,故选B.‎ 思维升华 (1)关于集合的关系及运算问题,要先对集合进行化简,然后再借助Venn图或数轴求解.‎ ‎(2)对集合的新定义问题,要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征,将问题转化为熟悉的知识进行求解,也可利用特殊值法进行验证.‎ 跟踪演练1 (1)(2017届云南曲靖一中月考)已知集合A={x∈N|x2-5x+4≤0},B={x|x2-4=0},下列结论成立的是(  )‎ A.B⊆A B.A∪B=A C.A∩B=A D.A∩B={2}‎ ‎(2)用C(A)表示非空集合A中的元素个数,定义A*B=若A={1,2},B={x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0},且A*B=1,设实数a的所有可能取值构成的集合是S,则C(S)等于(  )‎ A. 4 B. 3‎ C. 2 D. 1‎ 答案 (1)D (2)B 解析 (1)A={x∈N|1≤x≤4},‎ B={x|x=±2}⇒A∩B={2},故选D.‎ ‎(2)由A={1,2},得C(A)=2,‎ 由A*B=1,得C(B)=1或C(B)=3.‎ 由(x2+ax)(x2+ax+2)=0,‎ 得x2+ax=0或x2+ax+2=0.‎ 当C(B)=1时,方程(x2+ax)(x2+ax+2)=0只有实根x=0,这时a=0;‎ 当C(B)=3时,必有a≠0,这时x2+ax=0有两个不相等的实根x1=0,x2=-a,方程x2+ax ‎+2=0必有两个相等的实根,且异于x1=0,x2=-a.由Δ=a2-8=0,得a=±2,可验证均满足题意,故S={-2,0,2},故C(S)=3.‎ 热点二 四种命题与充要条件 ‎1.四种命题中原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假.‎ ‎2.若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇔q,则p,q互为充要条件.‎ 例2 (1)(2017届抚州七校联考)A,B,C三个学生参加了一次考试,A,B的得分均为70分,C的得分为65分.已知命题p:若及格分低于70分,则A,B,C都没有及格.在下列四个命题中,为p的逆否命题的是(  )‎ A.若及格分不低于70分,则A,B,C都及格 B.若A,B,C都及格,则及格分不低于70分 C.若A,B,C至少有一人及格,则及格分不低于70分 D.若A,B,C至少有一人及格,则及格分高于70分 答案 C 解析 根据原命题与它的逆否命题之间的关系知,命题p:若及格分低于70分,则A,B,C都没有及格,p的逆否命题是:若A,B,C至少有1人及格,则及格分不低于70分.故选C.‎ ‎(2)(2017届四川雅安中学月考)“m≤ʃ(4-3x2)dx”是“函数f(x)=2x+的值不小于4”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 m≤ʃ(4-3x2)dx=(4x-x3)|=-3,‎ f(x)≥2=2,若f(x)的值不小于4,‎ 则2≥4,解得m≤-2,故选A.‎ 思维升华 充分条件与必要条件的三种判定方法 ‎(1)定义法:正、反方向推理,若p⇒q,则p是q的充分条件(或q是p的必要条件);若p⇒q且q⇏p,则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件).‎ ‎(2)集合法:利用集合间的包含关系.例如,若A⊆B,则A是B的充分条件(B是A的必要条件);若A=B,则A是B的充要条件.‎ ‎(3)等价法:将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题.‎ 跟踪演练2 (1)有关命题的说法正确的是(  )‎ A.命题“若xy=0,则x=0”的否命题为:“若xy=0,则x≠0”‎ B.命题“∃x0∈R,使得2x-1<0”的否定是:“∀x∈R,2x2-1<0”‎ C.“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为真命题 D.命题“若cos x=cos y,则x=y”的逆否命题为真命题 ‎(2)(2017届湖南长沙一中月考)在△ABC中,“Acos 2B>cos 2C”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 (1)C (2)C 解析 (1) 对于A选项,命题“若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy≠0,则x≠0”,否命题是条件和结论的双重否定,故A错误;对于B选项,命题 “∃x0∈R,使2x-1<0”的否定是“∀x∈R,2x2-1≥0” ,故B错误;选项C的逆命题为真命题,故C正确;选项D的原命题是假命题,则逆否命题与之对应,也是假命题,故D错误,故选C. ‎ ‎(2)由正弦定理,可得在△ABC中,若Acos 2B>cos 2C,反之也成立.‎ 所以在△ABC中,“Acos 2B>cos 2C”的充要条件,故选C.‎ 热点三 逻辑联结词、量词 ‎1.命题p∨q,只要p,q有一真,即为真;命题p∧q,只有p,q均为真,才为真;綈p和p为真假对立的命题.‎ ‎2.命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q);命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q).‎ ‎3.“∀x∈M,p(x)”的否定为“∃x0∈M,綈p(x0)”;“∃x0∈M,p(x0)”的否定为“∀x∈M,綈p(x)”.‎ 例3 (1)已知函数f(x)=给出下列两个命题:‎ 命题p:若m=,则f(f(-1))=0;‎ 命题q:∃m∈(-∞,0),方程f(x)=0有解.‎ 那么,下列命题为真命题的是(  )‎ A.p∧q B.(綈p)∧q C.p∧(綈q) D.(綈p)∧(綈q)‎ ‎(2)(2017届安徽百校论坛联考)已知命题p:∀x∈(1,+∞),log3(x+2)->0,则下列叙述正确的是(  )‎ A.綈p:∀x∈(1,+∞),log3(x+2)-≤0‎ B.綈p:∃x0∈(1,+∞),log3(x+2)-<0‎ C.綈p:∃x0∈(-∞,1],log3(x+2)-≤0‎ D.綈p是假命题 答案 (1)C (2)D 解析 (1) 若m=,则f(f(-1))=f =0,故命题p为真命题.当x<0时,f(x)=2x>0;当x≥0时,若m<0,f(x)=m-x2<0.故∀m∈(-∞,0),方程f(x)=0无解,从而命题q为假命题,所以p∧(綈q)为真命题,故选C.‎ ‎(2)綈p:∃x∈(1,+∞),log3(x+2)-≤0,又函数f(x)=log3(x+2)-在(1,+∞)上是增函数,所以f(x)>f(1)=0,故p是真命题,即綈p是假命题.故选D.‎ 思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念:命题的否定只否定命题的结论,真假与原命题相对立.‎ ‎(2)判断命题的真假要先明确命题的构成.由命题的真假求某个参数的取值范围,还可以考虑从集合的角度来思考,将问题转化为集合间的运算.‎ 跟踪演练3 (1)(2017届黑吉两省八校期中)已知:命题p:若函数f(x)=x2+|x-a|是偶函数,则a=0;命题q:∀m∈(0,+∞),关于x的方程mx2-2x+1=0有解.在①p∨q;②p∧q;③(綈p)∧q;④(綈p)∨(綈q)中,为真命题的是(  )‎ A.②③ B.②④ C.③④ D.①④‎ ‎(2)(2017届徐州丰县民族中学调研)若命题“∃x0∈R,使得x+(1-a)x0+1<0”是假命题,则实数a的取值范围为_________.‎ 答案 (1)D (2)[-1,3]‎ 解析 (1) 因为f(-x)=f(x),所以1+|a+1|=1+|a-1|,解得a=0,故命题p为真命题;又因为当Δ=4-4m≥0,即m≤1时,方程有解,所以q为假命题.‎ 所以p∨q与(綈p)∨(綈q)为真命题,故选D.‎ ‎(2)由题设可得(1-a)2-4≤0,解得-1≤a≤3.‎ 真题体验 ‎1.(2017·北京改编)若集合A={x|-23},则A∩B=_________.‎ 答案 {x|-23},‎ ‎∴A∩B={x|-21},则A∩B等于(  )‎ A.(2,3] B.[2,3] C.(-∞,0)∪(0,2] D.(-∞,-1)∪[0,3]‎ 押题依据 集合的运算在历年高考中的地位都很重要,已成为送分必考试题.集合的运算常与不等式(特别是一元一次不等式、一元二次不等式)的求解、函数的定义域、函数的值域等知识相交汇.‎ 答案 A 解析 A=[0,3].又log2(x2-x)>log22,即x2-x>2,‎ 解得x<-1或x>2,所以B=(-∞,-1)∪(2,+∞).‎ 所以A∩B=(2,3].‎ ‎2.已知“x>k”是“<1”的充分不必要条件,则k的取值范围是(  )‎ A.[2,+∞) B.[1,+∞) C.(2,+∞) D.(-∞,-1]‎ 押题依据 充分、必要条件的判定一直是高考考查的重点,该类问题必须以其他知识为载体,综合考查数学概念.‎ 答案 A 解析 由<1,可得-1=<0,‎ 所以x<-1或x>2.‎ 因为“x>k”是“<1”的充分不必要条件,所以k≥2.‎ ‎3.给出下列四个命题,其中正确的命题有(  )‎ ‎①函数y=sin 2x+cos 2x在x∈上的单调递增区间是;‎ ‎②a1,a2,b1,b2均为非零实数,集合A={x|a1x+b1>0},B={x|a2x+b2>0},则“=”是“A=B”的必要不充分条件;‎ ‎③若p∨q为真命题,则p∧q也为真命题;‎ ‎④命题“∃x0∈R,x+x0+1<0”的否定为“∀x∈R,x2+x+1<0”.‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 押题依据 常用逻辑用语中命题真假的判断、充要条件、全称量词、存在量词及逻辑联结词是数学学习的重要工具,也是高考考查的热点问题.‎ 答案 C 解析 ①y=sin 2x+cos 2x=sin,‎ 由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),‎ 又x∈,因此函数的单调递增区间是;‎ ‎②充分性不成立,如a1=1,b1=1,a2=-1,b2=-1,满足=,但A={x|x+1>0}=(-1,+∞),B={x|-x-1>0}=(-∞,-1),A≠B;‎ 必要性成立:A=B⇒a1a2>0⇒-=-⇒=;‎ ‎③当p∨q为真命题时,p,q不一定全真,因此p∧q不一定为真命题;‎ ‎④命题“∃x0∈R,x+x0+1<0”的否定应为“∀x∈R,x2+x+1≥0”.‎ 所以①②为真,故选C.‎ ‎4.若X是一个集合,τ是一个以X的某些子集为元素的集合,且满足:①X属于τ,空集∅属于τ;②τ中任意多个元素的并集属于τ;③τ中任意多个元素的交集属于τ,则称τ是集合X上的一个拓扑.已知集合X={a,b,c},对于下面给出的四个集合τ:‎ ‎①τ={∅,{a},{c},{a,b,c}};‎ ‎②τ={∅,{b},{c},{b,c},{a,b,c}};‎ ‎③τ={∅,{a},{a,b},{a,c}};‎ ‎④τ={∅,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}.‎ 其中是集合X上的一个拓扑的集合τ是______.(填序号)‎ 押题依据 以新定义为背景,考查元素与集合的关系,是近几年高考的热点,解题时可从集合的性质(元素的性质、运算性质)作为突破口.‎ 答案 ②④‎ 解析 ①τ={∅,{a},{c},{a,b,c}},但是{a}∪{c}={a,c}∉τ,所以①错;②④都满足集合X上的一个拓扑集合τ的三个条件.所以②④正确;③{a,b}∪{a,c}={a,b,c}∉τ,所以③错.‎ A组 专题通关 ‎1.(2017·全国Ⅱ)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B等于(  )‎ A.{1,-3} B.{1,0} C.{1,3} D.{1,5}‎ 答案 C 解析 ∵A∩B={1},∴1∈B,‎ ‎∴1-4+m=0,即m=3.‎ ‎∴B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.故选C.‎ ‎2.设集合A={y|y=sin x,x∈R},B={x|y=lg(-x)},则A∩B等于(  )‎ A.(0,1] B.[-1,0)‎ C.[-1,0] D.(-∞,1]‎ 答案 B 解析 因为A=[-1,1],B=(-∞,0),‎ 所以A∩B=[-1,0).故选B.‎ ‎3.(2017届河南息县第一高级中学检测)已知集合A={x|x2-4<0},B={x|-15},‎ 所以A∩(∁RB)=(-2,-1],故选C.‎ ‎4.(2017·全国Ⅲ)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为(  )‎ A.3 B.2 C.1 D.0‎ 答案 B 解析 集合A表示以原点O为圆心,1为半径的圆上的所有点的集合,‎ 集合B表示直线y=x上的所有点的集合.‎ 结合图形可知,直线与圆有两个交点,‎ 所以A∩B中元素的个数为2.‎ 故选B.‎ ‎5.(2017·山东)已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是(  )‎ A.p∧q B.p∧(綈q)‎ C.(綈p)∧q D.(綈p)∧(綈q)‎ 答案 B 解析 ∵x>0,∴x+1>1,∴ln(x+1)>ln 1=0.‎ ‎∴命题p为真命题,∴綈p为假命题.‎ ‎∵a>b,取a=1,b=-2,而12=1,(-2)2=4,‎ 此时a2<b2,‎ ‎∴命题q为假命题,∴綈q为真命题.‎ ‎∴p∧q为假命题,p∧(綈q)为真命题,(綈p)∧q为假命题,(綈p)∧(綈q)为假命题.‎ 故选B.‎ ‎6.(2017·全国Ⅰ)设有下面四个命题:‎ p1:若复数z满足∈R,则z∈R;‎ p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;‎ p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=2;‎ p4:若复数z∈R,则∈R.‎ 其中的真命题为(  )‎ A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4‎ 答案 B 解析 设z=a+bi(a,b∈R),z1=a1+b1i(a1,b1∈R),‎ z2=a2+b2i(a2,b2∈R).‎ 对于p1,若∈R,即=∈R,则b=0⇒z=a+bi=a∈R,所以p1为真命题;‎ 对于p2,若z2∈R,即(a+bi)2=a2+2abi-b2∈R,‎ 则ab=0.当a=0,b≠0时,z=a+bi=bi∉R,‎ 所以p2为假命题;‎ 对于p3,若z1z2∈R,即(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i∈R,则a1b2+a2b1=0.而z1=2,即a1+b1i=a2-b2i⇔a1=a2,b1=-b2.因为a1b2+a2b1=0⇏a1=a2,b1=-b2,所以p3为假命题;‎ 对于p4,若z∈R,即a+bi∈R,则b=0⇒=a-bi=a∈R,所以p4为真命题.故选B.‎ ‎7.(2017届安徽淮北一中模拟)“a2=1” 是“函数f(x)=ln(1+ax)-ln(1+x)为奇函数”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 答案 B 解析 当a=1时,f(x)=0(x>-1)为非奇非偶函数,‎ 当a=-1时,f(x)=ln(1-x)-ln(1+x)为奇函数,‎ 故为必要不充分条件.‎ ‎8.下列四种说法中:‎ ‎①命题“∃x0∈R,x-x0>0”的否定是“∀x∈R,x2-x<0”;‎ ‎②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件;‎ ‎③已知幂函数f(x)=xa的图象经过点,则f(4)的值等于;‎ ‎④已知向量a=(3,-4),b=(2,1),则向量a在向量b方向上的投影是.‎ 其中说法错误的个数为(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 答案 C 解析 ①项,命题“∃x0∈R,x-x0>0”的否定是“∀x∈R,x2-x≤0”,故①项错误;②项,充分性:“p且q为真”,则p真,q真,故p或q为真,充分性成立;必要性:“p或q为真”,则p与q其中一个命题可以为假命题,故命题“p且q为真”不一定成立,故必要性不成立,故“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件,故②项错误;③项,幂函数f(x)=xa的图象经过点,则f(2)=2a=⇒a=-,则f(4)=,故③项正确;④项,向量a=(3,-4),b=(2,1),则a在b方向上的投影为|a|cos θ===,故④项错误.故选C.‎ ‎9.(2017届汕头期末)下列判断错误的是(  )‎ A.命题“∃x0>1,x-1>0”的否定是“∀x>1,x2-1≤0”‎ B.“x=2”是“x2-x-2=0”的充分不必要条件 C.若“p∧q”为假命题,则p,q均为假命题 D.命题“若a·b=0,则a=0或b=0”的否命题为“若a·b≠0,则a≠0且b≠0”‎ 答案 C 解析 A中,由特称命题(存在性命题)的否定为全称命题知A正确;B中,由x2-x-2=0,解得x=2或x=-1,所以“x=2”是“x2-x-2=0”的充分不必要条件,故B正确;C中,“p∧q”为假命题,则p,q中可能一真一假,也可能p,q均为假命题,故C错;D中,由否命题的概念知,D正确,故选C.‎ ‎10.设全集U=R,函数f(x)=lg(|x+1|+a-1)(a<1)的定义域为A,集合B={x|cos πx=1},若(∁UA)∩B恰好有两个元素,则a的取值的集合为__________.‎ 答案 {a|-20,可得x>-a或x2}‎ 解析 对任意x∈R,不等式x2-2x-1≥m2-3m恒成立,所以[(x-1)2-2]min≥m2-3m,即m2-3m≤-2,‎ 解得1≤m≤2.因为綈p为真命题,所以m<1或m>2.‎ ‎12.设命题p:|4x-3|≤1;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是______________.‎ 答案  解析 p:|4x-3|≤1,∴≤x≤1;q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,∴a≤x≤a+1.‎ ‎∵綈p是綈q的必要不充分条件,‎ ‎∴q是p的必要不充分条件,∴ ‎∴0≤a≤.‎ B组 能力提高 ‎13.(2017届重庆市巴蜀中学期中)已知集合A={x|x>2},集合B={x|x>3},以下命题正确的个数是(  )‎ ‎①∃x0∈A,x0∉B;②∃x0∈B,x0∉A;③∀x∈A都有x∈B;④∀x∈B都有x∈A.‎ A.4 B.3‎ C.2 D.1‎ 答案 C 解析 因为A={x|x>2},B={x|x>3},所以B⊆A,即B是A的子集,①④正确,②③错误,故选C.‎ ‎14.(2017届湖南师大附中月考)如果对于任意实数x,[x]表示不超过x的最大整数,例如[3.27]=3,[0.6]=0,那么“[x]=[y]”是“|x-y|<1”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由[x]的定义,当[x]=[y]时,则|x-y|<1,若|x-y|<1时,比如x=3.5,y=2.9,此时[x]=3,[y]=2,[x]≠[y],所以“[x]=[y]”是“|x-y|<1”的充分不必要条件.‎ ‎15.(2017届河南百校联盟质监)命题“∃x0∈R,asin x0+cos x0≥2”为假命题,则实数a的取值范围是_________.‎ 答案 (-,)‎ 解析 由题命题“∀x∈R,asin x+cos x<2为真命题,‎ 则<2,∴-
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