2018届二轮复习集合与常用逻辑用语学案
第1讲 集合与常用逻辑用语
1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题．
2．高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断．
热点一 集合的关系及运算
1．集合的运算性质及重要结论
(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.
(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
2．集合运算中的常用方法
(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解．
(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解．
(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
例1 (1)(2017届湖南师大附中月考)已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{y|y＝2x，x≥0}，则A∩B等于( )
A．∅ B．{x|1
90°，不存在⊥，故不正确；②项，通过对其图象的分析发现，对于任意的点A都能找到对应的点B，使得⊥成立，故正确；③项，由图象可得直角始终存在，故正确；④项，由图象可知，点(1,0)在曲线上，不存在另外一个点使得⊥成立，故错误．综合②③正确，故选B.
思维升华 (1)关于集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后再借助Venn图或数轴求解．
(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．
跟踪演练1 (1)(2017届云南曲靖一中月考)已知集合A＝{x∈N|x2－5x＋4≤0}，B＝{x|x2－4＝0}，下列结论成立的是( )
A．B⊆A B．A∪B＝A
C．A∩B＝A D．A∩B＝{2}
(2)用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1,2}，B＝{x|(x2＋ax)(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值构成的集合是S，则C(S)等于( )
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
答案 (1)D (2)B
解析 (1)A＝{x∈N|1≤x≤4}，
B＝{x|x＝±2}⇒A∩B＝{2}，故选D.
(2)由A＝{1,2}，得C(A)＝2，
由A*B＝1，得C(B)＝1或C(B)＝3.
由(x2＋ax)(x2＋ax＋2)＝0，
得x2＋ax＝0或x2＋ax＋2＝0.
当C(B)＝1时，方程(x2＋ax)(x2＋ax＋2)＝0只有实根x＝0，这时a＝0；
当C(B)＝3时，必有a≠0，这时x2＋ax＝0有两个不相等的实根x1＝0，x2＝－a，方程x2＋ax
＋2＝0必有两个相等的实根，且异于x1＝0，x2＝－a.由Δ＝a2－8＝0，得a＝±2，可验证均满足题意，故S＝{－2，0,2}，故C(S)＝3.
热点二 四种命题与充要条件
1．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．
2．若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．
例2 (1)(2017届抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．在下列四个命题中，为p的逆否命题的是( )
A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格
B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分
C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分
D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分
答案 C
解析 根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格，p的逆否命题是：若A，B，C至少有1人及格，则及格分不低于70分．故选C.
(2)(2017届四川雅安中学月考)“m≤ʃ(4－3x2)dx”是“函数f(x)＝2x＋的值不小于4”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 m≤ʃ(4－3x2)dx＝(4x－x3)|＝－3，
f(x)≥2＝2，若f(x)的值不小于4，
则2≥4，解得m≤－2，故选A.
思维升华 充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．
(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．
跟踪演练2 (1)有关命题的说法正确的是( )
A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy＝0，则x≠0”
B．命题“∃x0∈R，使得2x－1<0”的否定是：“∀x∈R,2x2－1<0”
C．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题
D．命题“若cos x＝cos y，则x＝y”的逆否命题为真命题
(2)(2017届湖南长沙一中月考)在△ABC中，“Acos 2B>cos 2C”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 (1)C (2)C
解析 (1) 对于A选项，命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0”，否命题是条件和结论的双重否定，故A错误；对于B选项，命题 “∃x0∈R，使2x－1<0”的否定是“∀x∈R,2x2－1≥0” ，故B错误；选项C的逆命题为真命题，故C正确；选项D的原命题是假命题，则逆否命题与之对应，也是假命题，故D错误，故选C.
(2)由正弦定理，可得在△ABC中，若Acos 2B>cos 2C，反之也成立．
所以在△ABC中，“Acos 2B>cos 2C”的充要条件，故选C.
热点三 逻辑联结词、量词
1．命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．
2．命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．
3．“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，綈p(x0)”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”．
例3 (1)已知函数f(x)＝给出下列两个命题：
命题p：若m＝，则f(f(－1))＝0；
命题q：∃m∈(－∞，0)，方程f(x)＝0有解．
那么，下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∧q C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
(2)(2017届安徽百校论坛联考)已知命题p：∀x∈(1，＋∞)，log3(x＋2)－>0，则下列叙述正确的是( )
A．綈p：∀x∈(1，＋∞)，log3(x＋2)－≤0
B．綈p：∃x0∈(1，＋∞)，log3(x＋2)－<0
C．綈p：∃x0∈(－∞，1]，log3(x＋2)－≤0
D．綈p是假命题
答案 (1)C (2)D
解析 (1) 若m＝，则f(f(－1))＝f ＝0，故命题p为真命题．当x<0时，f(x)＝2x>0；当x≥0时，若m<0，f(x)＝m－x2<0.故∀m∈(－∞，0)，方程f(x)＝0无解，从而命题q为假命题，所以p∧(綈q)为真命题，故选C.
(2)綈p：∃x∈(1，＋∞)，log3(x＋2)－≤0，又函数f(x)＝log3(x＋2)－在(1，＋∞)上是增函数，所以f(x)>f(1)＝0，故p是真命题，即綈p是假命题．故选D.
思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立．
(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．
跟踪演练3 (1)(2017届黑吉两省八校期中)已知：命题p：若函数f(x)＝x2＋|x－a|是偶函数，则a＝0；命题q：∀m∈(0，＋∞)，关于x的方程mx2－2x＋1＝0有解．在①p∨q；②p∧q；③(綈p)∧q；④(綈p)∨(綈q)中，为真命题的是( )
A．②③ B．②④ C．③④ D．①④
(2)(2017届徐州丰县民族中学调研)若命题“∃x0∈R，使得x＋(1－a)x0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为_________．
答案 (1)D (2)[－1,3]
解析 (1) 因为f(－x)＝f(x)，所以1＋|a＋1|＝1＋|a－1|，解得a＝0，故命题p为真命题；又因为当Δ＝4－4m≥0，即m≤1时，方程有解，所以q为假命题．
所以p∨q与(綈p)∨(綈q)为真命题，故选D.
(2)由题设可得(1－a)2－4≤0，解得－1≤a≤3.
真题体验
1．(2017·北京改编)若集合A＝{x|－23}，则A∩B＝_________.
答案 {x|－23}，
∴A∩B＝{x|－21}，则A∩B等于( )
A．(2,3] B．[2,3] C．(－∞，0)∪(0,2] D．(－∞，－1)∪[0,3]
押题依据 集合的运算在历年高考中的地位都很重要，已成为送分必考试题．集合的运算常与不等式(特别是一元一次不等式、一元二次不等式)的求解、函数的定义域、函数的值域等知识相交汇．
答案 A
解析 A＝[0,3]．又log2(x2－x)>log22，即x2－x>2，
解得x<－1或x>2，所以B＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
所以A∩B＝(2,3]．
2．已知“x>k”是“<1”的充分不必要条件，则k的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．[1，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，－1]
押题依据 充分、必要条件的判定一直是高考考查的重点，该类问题必须以其他知识为载体，综合考查数学概念．
答案 A
解析 由<1，可得－1＝<0，
所以x<－1或x>2.
因为“x>k”是“<1”的充分不必要条件，所以k≥2.
3．给出下列四个命题，其中正确的命题有( )
①函数y＝sin 2x＋cos 2x在x∈上的单调递增区间是；
②a1，a2，b1，b2均为非零实数，集合A＝{x|a1x＋b1>0}，B＝{x|a2x＋b2>0}，则“＝”是“A＝B”的必要不充分条件；
③若p∨q为真命题，则p∧q也为真命题；
④命题“∃x0∈R，x＋x0＋1<0”的否定为“∀x∈R，x2＋x＋1<0”．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
押题依据 常用逻辑用语中命题真假的判断、充要条件、全称量词、存在量词及逻辑联结词是数学学习的重要工具，也是高考考查的热点问题．
答案 C
解析 ①y＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
又x∈，因此函数的单调递增区间是；
②充分性不成立，如a1＝1，b1＝1，a2＝－1，b2＝－1，满足＝，但A＝{x|x＋1>0}＝(－1，＋∞)，B＝{x|－x－1>0}＝(－∞，－1)，A≠B；
必要性成立：A＝B⇒a1a2>0⇒－＝－⇒＝；
③当p∨q为真命题时，p，q不一定全真，因此p∧q不一定为真命题；
④命题“∃x0∈R，x＋x0＋1<0”的否定应为“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”．
所以①②为真，故选C.
4．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：
①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；
②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；
③τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；
④τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．
其中是集合X上的一个拓扑的集合τ是______．(填序号)
押题依据 以新定义为背景，考查元素与集合的关系，是近几年高考的热点，解题时可从集合的性质(元素的性质、运算性质)作为突破口．
答案 ②④
解析 ①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}，但是{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，所以①错；②④都满足集合X上的一个拓扑集合τ的三个条件．所以②④正确；③{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，所以③错．
A组 专题通关
1．(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于( )
A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5}
答案 C
解析 ∵A∩B＝{1}，∴1∈B，
∴1－4＋m＝0，即m＝3.
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.
2．设集合A＝{y|y＝sin x，x∈R}，B＝{x|y＝lg(－x)}，则A∩B等于( )
A．(0,1] B．[－1,0)
C．[－1,0] D．(－∞，1]
答案 B
解析 因为A＝[－1,1]，B＝(－∞，0)，
所以A∩B＝[－1,0)．故选B.
3．(2017届河南息县第一高级中学检测)已知集合A＝{x|x2－4<0}，B＝{x|－15}，
所以A∩(∁RB)＝(－2，－1]，故选C.
4．(2017·全国Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
答案 B
解析 集合A表示以原点O为圆心，1为半径的圆上的所有点的集合，
集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．
结合图形可知，直线与圆有两个交点，
所以A∩B中元素的个数为2.
故选B.
5．(2017·山东)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)
答案 B
解析 ∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln(x＋1)＞ln 1＝0.
∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．
∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，
此时a2＜b2，
∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．
∴p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题．
故选B.
6．(2017·全国Ⅰ)设有下面四个命题：
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为( )
A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4
答案 B
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，
z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．
对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题；
对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，
则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∉R，
所以p2为假命题；
对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0⇏a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题；
对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.
7．(2017届安徽淮北一中模拟)“a2＝1” 是“函数f(x)＝ln(1＋ax)－ln(1＋x)为奇函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
答案 B
解析 当a＝1时，f(x)＝0(x>－1)为非奇非偶函数，
当a＝－1时，f(x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)为奇函数，
故为必要不充分条件．
8．下列四种说法中：
①命题“∃x0∈R，x－x0>0”的否定是“∀x∈R，x2－x<0”；
②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；
③已知幂函数f(x)＝xa的图象经过点，则f(4)的值等于；
④已知向量a＝(3，－4)，b＝(2,1)，则向量a在向量b方向上的投影是.
其中说法错误的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析 ①项，命题“∃x0∈R，x－x0>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”，故①项错误；②项，充分性：“p且q为真”，则p真，q真，故p或q为真，充分性成立；必要性：“p或q为真”，则p与q其中一个命题可以为假命题，故命题“p且q为真”不一定成立，故必要性不成立，故“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故②项错误；③项，幂函数f(x)＝xa的图象经过点，则f(2)＝2a＝⇒a＝－，则f(4)＝，故③项正确；④项，向量a＝(3，－4)，b＝(2,1)，则a在b方向上的投影为|a|cos θ＝＝＝，故④项错误．故选C.
9．(2017届汕头期末)下列判断错误的是( )
A．命题“∃x0>1，x－1>0”的否定是“∀x>1，x2－1≤0”
B．“x＝2”是“x2－x－2＝0”的充分不必要条件
C．若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题
D．命题“若a·b＝0，则a＝0或b＝0”的否命题为“若a·b≠0，则a≠0且b≠0”
答案 C
解析 A中，由特称命题(存在性命题)的否定为全称命题知A正确；B中，由x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1，所以“x＝2”是“x2－x－2＝0”的充分不必要条件，故B正确；C中，“p∧q”为假命题，则p，q中可能一真一假，也可能p，q均为假命题，故C错；D中，由否命题的概念知，D正确，故选C.
10．设全集U＝R，函数f(x)＝lg(|x＋1|＋a－1)(a<1)的定义域为A，集合B＝{x|cos πx＝1}，若(∁UA)∩B恰好有两个元素，则a的取值的集合为__________．
答案 {a|－20，可得x>－a或x2}
解析 对任意x∈R，不等式x2－2x－1≥m2－3m恒成立，所以[(x－1)2－2]min≥m2－3m，即m2－3m≤－2，
解得1≤m≤2.因为綈p为真命题，所以m<1或m>2.
12．设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______________．
答案
解析 p：|4x－3|≤1，∴≤x≤1；q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，∴a≤x≤a＋1.
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件，∴
∴0≤a≤.
B组 能力提高
13．(2017届重庆市巴蜀中学期中)已知集合A＝{x|x>2}，集合B＝{x|x>3}，以下命题正确的个数是( )
①∃x0∈A，x0∉B；②∃x0∈B，x0∉A；③∀x∈A都有x∈B；④∀x∈B都有x∈A.
A．4 B．3
C．2 D．1
答案 C
解析 因为A＝{x|x>2}，B＝{x|x>3}，所以B⊆A，即B是A的子集，①④正确，②③错误，故选C.
14．(2017届湖南师大附中月考)如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.27]＝3，[0.6]＝0，那么“[x]＝[y]”是“|x－y|<1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由[x]的定义，当[x]＝[y]时，则|x－y|<1，若|x－y|<1时，比如x＝3.5，y＝2.9，此时[x]＝3，[y]＝2，[x]≠[y]，所以“[x]＝[y]”是“|x－y|<1”的充分不必要条件．
15．(2017届河南百校联盟质监)命题“∃x0∈R，asin x0＋cos x0≥2”为假命题，则实数a的取值范围是_________．
答案 (－，)
解析 由题命题“∀x∈R，asin x＋cos x<2为真命题，
则<2，∴－
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