数学文卷·2017届江西省新余市高三上学期期末考试（2017

数学文卷·2017届江西省新余市高三上学期期末考试（2017

‎2016-2017学年江西省新余市高三（上）期末 数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．设复数 =1+i，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设U=R，A={x|2x＜2}，B={x|log2x＜0}，则A∩（∁UB）=（　　）‎ A．∅ B．{x|x≤0} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0≤x＜1}‎ ‎3．命题“∀x＞0，＞0”的否定是（　　）‎ A．∃x＜0，≤0 B．∃x＞0，0≤x＜1 C．∀x＞0，≤0 D．∀x＜0，0≤x≤1‎ ‎4．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（　　）‎ A．f（x）=x2 B．f（x）= C．f（x）=ex D．f（x）=sinx ‎5．已知向量与满足||=||=2，且⊥（2+），则向量与的夹角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知等比数列{an}中，an+1=36，an+3=m，an+5=4，则圆锥曲线+=1的离心率为（　　）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎7．设a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA•x﹣ay﹣c=0与bx+sinB•y+sinC=0的位置关系是（　　）‎ A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 ‎8．某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图为矩形O1A1B1C1如图②，其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体的体积为（　　）‎ A．16 B．32 C．32 D．64‎ ‎9．已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最大值为，则a=（　　）‎ A．5 B． C．2 D．1‎ ‎10．已知函数f（x）=x2+tx+t，∀x∈R，f（x）＞0，函数g（x）=3x2﹣2（t+1）x+t，则“∃a，b∈（0，1）使得g（a）=g（b）=0”为真命题的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知点A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P是双曲线C上异于A，B的另外一点，且△ABP是顶角为120°的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A． x±y=0 B．x±y=0 C．x±y=0 D． x±y=0‎ ‎12．已知x∈（0，2），关于x的不等式＜恒成立，则实数k的取值范围为（　　）‎ A．[0，e+1） B．[0，2e﹣1） C．[0，e） D．[0，e﹣1）‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．设f（x）=，则f[f（﹣8）]=　　．‎ ‎14．若等差数列{an}的前7项和S7=21，且a2=﹣1，则a6=　　．‎ ‎15．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则φ=　　．‎ ‎16．已知命题p：点M（x，y）满足xcosθ+ysinθ=1，θ∈（0，2π]，命题q：点N（x，y）满足x2+y2=m2（m＞0），若p是q的必要不充分条件，那么实数m的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知=﹣3，cosB=﹣，b=2，求：‎ ‎（1）a和c的值；‎ ‎（2）sin（A﹣B）的值．‎ ‎18．如图，已知ABCD是边长为2的正方形，EA⊥平面ABCD，FC∥EA，设EA=1，FC=2．‎ ‎（1）证明：EF⊥BD；‎ ‎（2）求多面体ABCDEF的体积．‎ ‎19．某校高三文科500名学生参加了1月份的模拟考试，学校为了了解高三文科学生的数学、语文情况，利用随机表法从中抽取100名学生进行统计分析，抽出的100名学生的数学、语文成绩如表：‎ 语文 优 良 及格 数学 优 ‎8‎ m ‎9‎ 良 ‎9‎ n ‎11‎ 及格 ‎8‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎（1）将学生编号为000，001，002，…499，500，若从第五行第五列的数开始右读，请你依次写出最先抽出的5个人的编号（下面是摘自随机数表的第4～第7行）；‎ ‎12 56 85 99 26　 96 96 68 27 31　 05 03 72 93 15　 57 12 10 14 21　 88 26 49 81 76‎ ‎55 59 56 35 64　 38 54 82 46 22　 31 62 43 09 90　 06 18 44 32 53　 23 83 01 30 30‎ ‎16 22 77 94 39　 49 54 43 54 82　 17 37 93 23 78　 87 35 20 96 43　　84 26 34 91 64‎ ‎84 42 17 53 31　 57 24 55 06 88　 77 04 74 47 67　 21 76 33　50 25　 83 92 12 06 76　 ‎ ‎（2）若数学成绩优秀率为35%，求m，n的值；‎ ‎（3）在语文成绩为良的学生中，已知m≥13，n≥11，求数学成绩“优”比良的人数少的概率．‎ ‎20．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点G（1，m）到焦点的距离为3，椭圆C2： =1（m＞n＞0）的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离心率为．‎ ‎（1）求抛物线C1和椭圆C2的方程；‎ ‎（2）已知直线l：y=kx﹣4交椭圆C2于A、B两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径的圆的外部，求k的取值范围．‎ ‎21．已知函数f（x）=x﹣﹣lnx，a＞0．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）＞x﹣x2在（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ 选修4-4：极坐标和参数方程 ‎22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）‎ ‎（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．‎ ‎　‎ 选修4-5：不等式证明选讲 ‎23．已知函数f（x）=|x﹣10|+|x﹣20|，且满足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集．‎ ‎（1）求实数a的取值范围；‎ ‎（2）求的最小值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省新余市高三（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．设复数 =1+i，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，则可求．‎ ‎【解答】解：∵=1+i，‎ ‎∴，‎ 则．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．设U=R，A={x|2x＜2}，B={x|log2x＜0}，则A∩（∁UB）=（　　）‎ A．∅ B．{x|x≤0} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0≤x＜1}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】求出集合的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可．‎ ‎【解答】解：A={x|2x＜2}={x|x＜1}，B={x|log2x＜0}={x|0＜x＜1}，‎ 则∁UB={x|x≤0或x≥1}，‎ A∩∁UB={x|x≤0}，‎ 故选：B ‎　‎ ‎3．命题“∀x＞0，＞0”的否定是（　　）‎ A．∃x＜0，≤0 B．∃x＞0，0≤x＜1 C．∀x＞0，≤0 D．∀x＜0，0≤x≤1‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】写出命题“∀x＞0，＞0”的否定，再等价转化即可得到答案．‎ ‎【解答】解：命题“∀x＞0，＞0”的否定是“∃x＞0，≤0“，又由≤0得0≤x＜1”，‎ 故命题“∀x＞0，＞0”的否定是“∃x＞0，0≤x＜1”，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（　　）‎ A．f（x）=x2 B．f（x）= C．f（x）=ex D．f（x）=sinx ‎【考点】选择结构．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数②f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．‎ ‎【解答】解：∵A：f（x）=x2、C：f（x）=ex，不是奇函数，故不满足条件①‎ 又∵B：f（x）=的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②‎ 而D：f（x）=sinx既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，‎ 故D：f（x）=sinx符合输出的条件 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．已知向量与满足||=||=2，且⊥（2+），则向量与的夹角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据向量垂直得出2+2=0，从而得出=﹣2，利用向量的夹角公式计算夹角的余弦得出答案．‎ ‎【解答】解：∵||=||=2，∴=4，‎ ‎∵⊥（2+），∴2+2=0，‎ ‎∴=﹣2，‎ ‎∴cos＜，＞==﹣，‎ ‎∴＜，＞=．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．已知等比数列{an}中，an+1=36，an+3=m，an+5=4，则圆锥曲线+=1的离心率为（　　）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎【考点】曲线与方程．‎ ‎【分析】由等比数列{an}中，an+1=36，an+3=m，an+5=4，得m=±12，由此能求出圆锥曲线+=1的离心率．‎ ‎【解答】解：∵等比数列{an}中，an+1=36，an+3=m，an+5=4，‎ ‎∴m2=36×4，‎ ‎∴m=±12．‎ m=﹣12，该圆锥曲线的方程为： =1，为焦点在y轴上的双曲线，其中a2=3，b2=12，‎ ‎∴c2=a2+b2=15，离心率e=．‎ m=﹣2，该圆锥曲线的方程为： =1，为焦点在x轴上的椭圆，其中a2=12，b2=3，‎ ‎∴c2=a2﹣b2=9，离心率e=．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．设a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA•x﹣ay﹣c=0与bx+sinB•y+sinC=0的位置关系是（　　）‎ A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 ‎【考点】正弦定理；直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】求出两条直线的斜率，然后判断两条直线的位置关系．‎ ‎【解答】解：a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C所对边的边长，‎ 则直线sinA•x﹣ay﹣c=0的斜率为：，‎ bx+sinB•y+sinC=0的斜率为：，‎ ‎∵==﹣1，‎ ‎∴两条直线垂直．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图为矩形O1A1B1C1如图②，其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体的体积为（　　）‎ A．16 B．32 C．32 D．64‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体体积公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，‎ 由俯视图的直观图为矩形O1A1B1C1，且O1A1=6，O1C1=2，‎ 故底面直观图的面积为12，‎ 故底面面积S=12×=24，‎ 高h=4，‎ 故棱锥的体积V==32．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最大值为，则a=（　　）‎ A．5 B． C．2 D．1‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：先作出不等式，对应的区域，如图：‎ 若z=2x+y的最大值为，则2x+y≤，‎ 直线y=a（x﹣2）过定点（2，0），‎ 则直线2x+y=与x+y=3相交于A，‎ 由得，即A（，），‎ 同时A也在直线y=a（x﹣2）上，‎ 即a（﹣2）=，‎ 得a=1‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）=x2+tx+t，∀x∈R，f（x）＞0，函数g（x）=3x2﹣2（t+1）x+t，则“∃a，b∈（0，1）使得g（a）=g（b）=0”为真命题的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】函数f（x）=x2+tx+t，∀x∈R，f（x）＞0，利用△=t2﹣4t＜0，0＜t＜4，运用二次方程根的分布，求出“∃a，b∈（0，1）使得g（a）=g（b）=0”为真命题的t的范围，即可求出概率．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=x2+tx+t，∀x∈R，f（x）＞0，‎ ‎∴△=t2﹣4t＜0，∴0＜t＜4．‎ ‎“∃a，b∈（0，1）使得g（a）=g（b）=0”为真命题，‎ 则，∴0＜t＜1，‎ ‎∴“∃a，b∈（0，1）使得g（a）=g（b）=0”为真命题的概率是=，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．已知点A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P是双曲线C上异于A，B的另外一点，且△ABP是顶角为120°的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A． x±y=0 B．x±y=0 C．x±y=0 D． x±y=0‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设M在双曲线的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a， a），代入双曲线方程可得a=b，再由双曲线的渐近线方程即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：设P在双曲线线的左支上，‎ 且PA=PB=2a，∠PAB=120°，‎ 则P的坐标为（﹣2a， a），‎ 代入双曲线方程可得，﹣=1，‎ 可得a=b，‎ ‎∴该双曲线的渐近线方程为x±y=0．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．已知x∈（0，2），关于x的不等式＜恒成立，则实数k的取值范围为（　　）‎ A．[0，e+1） B．[0，2e﹣1） C．[0，e） D．[0，e﹣1）‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】根据题意显然可知k≥0，整理不等式得出k＜+x2﹣2x，利用构造函数f（x）=+x2﹣2x，通过导函数得出函数在区间内的单调性，求出函数的最小值即可．‎ ‎【解答】解：依题意，k+2x﹣x2＞0，即k＞x2﹣2x对任意x∈（0，2）都成立，‎ ‎∴k≥0，‎ ‎∵＜，‎ ‎∴k＜+x2﹣2x，‎ 令f（x）=+x2﹣2x，f'（x）=+2（x﹣1）=（x﹣1）（+2），‎ 令f'（x）=0，解得x=1，‎ 当x∈（1，2）时，f'（x）＞0，函数递增，‎ 当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，函数递减，‎ ‎∴f（x）的最小值为f（1）=e﹣1，‎ ‎∴0≤k＜e﹣1，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．设f（x）=，则f[f（﹣8）]=　﹣2　．‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】先求出f（﹣8）=﹣（﹣8）=2，从而f[f（﹣8）]=f（2），由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=，‎ ‎∴f（﹣8）=﹣（﹣8）=2，‎ f[f（﹣8）]=f（2）=2+=﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎　‎ ‎14．若等差数列{an}的前7项和S7=21，且a2=﹣1，则a6=　7　．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由等差数列{an}的性质可得：a1+a7=a2+a6．再利用求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：由等差数列{an}的性质可得：a1+a7=a2+a6．‎ ‎∴S7=21==，且a2=﹣1，‎ 则a6=7．‎ 故答案为：7．‎ ‎　‎ ‎15．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则φ=　　．‎ ‎【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．‎ ‎【分析】根据图象求出A，点（0，1）在函数图象上，可求出φ．‎ ‎【解答】解：由题设图象知：A=2，‎ 可得：f（x）=2sin（ωx+φ）‎ ‎∵点（0，1）在函数图象上，‎ ‎∴1=2sinφ．‎ ‎∴φ=，或φ=+2kπ，（k∈Z）‎ ‎∵|φ|＜π ‎∴φ=‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．已知命题p：点M（x，y）满足xcosθ+ysinθ=1，θ∈（0，2π]，命题q：点N（x，y）满足x2+y2=m2（m＞0），若p是q的必要不充分条件，那么实数m的取值范围是　m≥1　．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由p是q的必要不充分条件，可得≤1，解得m范围．‎ ‎【解答】解：∵命题p：点M（x，y）满足xcosθ+ysinθ=1，θ∈（0，2π]，‎ 命题q：点N（x，y）满足x2+y2=m2（m＞0），‎ ‎∵p是q的必要不充分条件，∴≤1，解得m≥1．‎ 那么实数m的取值范围是m≥1．‎ 故答案为：m≥1．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知=﹣3，cosB=﹣，b=2，求：‎ ‎（1）a和c的值；‎ ‎（2）sin（A﹣B）的值．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】（1）由平面向量的数量积和余弦定理，列出方程组解方程组即可；‎ ‎（2）根据三角恒等变换和由正弦定理，计算sin（A﹣B）的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）△ABC中，由=﹣3得ca•cosB=﹣3，‎ 又cosB=﹣，所以ac=7；‎ 由余弦定理得b2=a2+c2﹣2ac•cosB，‎ 又b=2，所以a2+c2=50；‎ 解方程组，‎ 因为a＞c，‎ 所以解得a=7，c=1；‎ ‎（2）△ABC中，sinB==，‎ 由正弦定理，得sinA=sinB=，‎ 因为cosB＜0，所以A为锐角，‎ 所以cosA==；‎ 所以sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=﹣．‎ ‎　‎ ‎18．如图，已知ABCD是边长为2的正方形，EA⊥平面ABCD，FC∥EA，设EA=1，FC=2．‎ ‎（1）证明：EF⊥BD；‎ ‎（2）求多面体ABCDEF的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（1）由地面ABCD是正方形，可得BD⊥AC，又EA⊥平面ABCD，可得BD⊥EA，然后利用线面垂直的判定得BD⊥平面EACF，最后可得EF⊥BD；‎ ‎（2）把多面体ABCDEF的体积转化为2倍的棱锥B﹣ACFE的体积求解．‎ ‎【解答】（1）证明：∵ABCD是正方形，‎ ‎∴BD⊥AC，‎ ‎∵EA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴BD⊥EA，‎ ‎∵EA、AC⊂平面EACF，EA∩AC=A，‎ ‎∴BD⊥平面EACF，‎ 又∵EF⊂平面EACF，‎ ‎∴EF⊥BD；‎ ‎（2）解：∵ABCD是边长为2的正方形，‎ ‎∴AC=，‎ 又EA=1，FC=2，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎19．某校高三文科500名学生参加了1月份的模拟考试，学校为了了解高三文科学生的数学、语文情况，利用随机表法从中抽取100名学生进行统计分析，抽出的100名学生的数学、语文成绩如表：‎ 语文 优 良 及格 数学 优 ‎8‎ m ‎9‎ 良 ‎9‎ n ‎11‎ 及格 ‎8‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎（1）将学生编号为000，001，002，…499，500，若从第五行第五列的数开始右读，请你依次写出最先抽出的5个人的编号（下面是摘自随机数表的第4～第7行）；‎ ‎12 56 85 99 26　 96 96 68 27 31　 05 03 72 93 15　 57 12 10 14 21　 88 26 49 81 76‎ ‎55 59 56 35 64　 38 54 82 46 22　 31 62 43 09 90　 06 18 44 32 53　 23 83 01 30 30‎ ‎16 22 77 94 39　 49 54 43 54 82　 17 37 93 23 78　 87 35 20 96 43　　84 26 34 91 64‎ ‎84 42 17 53 31　 57 24 55 06 88　 77 04 74 47 67　 21 76 33　50 25　 83 92 12 06 76　 ‎ ‎（2）若数学成绩优秀率为35%，求m，n的值；‎ ‎（3）在语文成绩为良的学生中，已知m≥13，n≥‎ ‎11，求数学成绩“优”比良的人数少的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（1）利用随机数表法能求出5个人的编号．‎ ‎（2）由=0.35，能求出m，n．‎ ‎（3）由题意 m+n=35，且m≥13，n≥11，利用列举法能求出数学成绩“优”比良的人数少的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由随机数表法得到5个人的编号依次为：385，482，462，231，309．…‎ ‎（2）由=0.35，得m=18，‎ 因为8+9+8+18+n+9+9+11+11=100，得n=17．…‎ ‎（3）由题意 m+n=35，且m≥13，n≥11，‎ 所以满足条件的（m，n）有：‎ ‎（13，22）、（14，21）、（15，20）、（16，19）、（17，18）、（18，17）、‎ ‎（19，16）、（20，15）、（21，14）、（22，13）、（23，12）、（24，11）共12种，‎ 且每组出现都是等可能的．…‎ 记：“数学成绩“优”比“良”的人数少”为事件M，‎ 则事件M包含的基本事件有（13，22）、（14，21）、（15，20）、（16，19）、（17，18）共5种，‎ 所以P（M）=．…‎ ‎　‎ ‎20．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点G（1，m）到焦点的距离为3，椭圆C2： =1（m＞n＞0）的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离心率为．‎ ‎（1）求抛物线C1和椭圆C2的方程；‎ ‎（2）已知直线l：y=kx﹣4交椭圆C2于A、B两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径的圆的外部，求k的取值范围．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由抛物线上的点G（1，m）到焦点的距离为3，求抛物线C1，椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离心率为，求椭圆C2的方程．‎ ‎（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式大于0，通过原点O在以线段AB为直径的圆的外部，推出•＞0，然后求解k的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知，解得p=4，所以抛物线C1的方程为：y2=8x．‎ ‎∴抛物线C1的焦点F（2，0），‎ ‎∵椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，‎ ‎∴椭圆C2半焦距c=2，m2﹣n2=c2=4．‎ ‎∵椭圆C2的离心率为，∴，解得m=4，，‎ ‎∴椭圆C2的方程为．‎ ‎（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），‎ 由得（4k2+3）x2﹣32kx+16=0，‎ ‎∴，，‎ 由△＞0，即（﹣32k2）﹣4×16（4k2+3）＞0，解得或．①‎ ‎∵原点O在以线段AB为直径的圆的外部，则，‎ ‎∴=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1﹣4）（kx2﹣4）=（k2+1）x1x2﹣4k（x1+x2）+16==，‎ 解得．②‎ 由①②解得实数k的范围是或．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=x﹣﹣lnx，a＞0．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）＞x﹣x2在（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】（I）由已知中函数的解析式，求出函数的定义域，求出导函数，分a≥，0＜a＜两种情况，分别讨论导函数的符号，进而可得f（x）的单调性；‎ ‎（II）若f（x）＞x﹣x2在（1，+∞）恒成立，则f（x）﹣x+x2＞0在（1，+∞）恒成立，即a＜x3﹣xlnx在（1，+∞）恒成立，令g（x）=x3﹣xlnx，分析g（x）的单调性，进而可将问题转化为最值问题．‎ ‎【解答】解：（I）函数f（x）=x﹣﹣lnx的定义域为（0，+∞），‎ 且f′（x）=1+﹣=‎ ‎①当△=1﹣4a≤0，即a≥时，‎ f′（x）≥0恒成立，‎ 故f（x）在（0，+∞）为增函数．‎ ‎②当△=1﹣4a＞0，即0＜a＜时，‎ 由f′（x）＞0得，x2﹣x+a＞0，即x∈（0，），或x∈（，+∞）‎ 由f′（x）＜0得，x2﹣x+a＜0，即x∈（，）‎ ‎∴f（x）在区间（0，），（，+∞）为增函数；‎ 在区间（，）为减函数．‎ ‎（II）若f（x）＞x﹣x2在（1，+∞）恒成立，‎ 则f（x）﹣x+x2=＞0在（1，+∞）恒成立，‎ 即a＜x3﹣xlnx在（1，+∞）恒成立，‎ 令g（x）=x3﹣xlnx，h（x）=g′（x）=3x2﹣lnx﹣1，‎ 则h′（x）==，‎ 在（1，+∞）上，h′（x）＞0恒成立，‎ 故h（x）＞h（1）=2恒成立，‎ 即g′（x）＞0恒成立，‎ 故g（x）＞g（1）=1，‎ 故0＜a≤1，‎ 即实数a的取值范围为（0，1]．‎ ‎　‎ 选修4-4：极坐标和参数方程 ‎22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）‎ ‎（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标 互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1﹣t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，‎ ‎∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：‎ ρ2=4ρcosθ，‎ ‎∴x2+y2=4x，‎ ‎∴（x﹣2）2+y2=4．‎ ‎（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：‎ ‎（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，‎ 化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．‎ 设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，‎ 则，‎ ‎∴|AB|=|t1﹣t2|==，‎ ‎∵|AB|=，‎ ‎∴=．‎ ‎∴cos．‎ ‎∵α∈[0，π），‎ ‎∴或．‎ ‎∴直线的倾斜角或．‎ ‎　‎ 选修4-5：不等式证明选讲 ‎23．已知函数f（x）=|x﹣10|+|x﹣20|，且满足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集．‎ ‎（1）求实数a的取值范围；‎ ‎（2）求的最小值．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式．‎ ‎【分析】（1）由题意，f（x）＜10a+10解集不是空集，则有则（|x﹣10|+|x﹣20|）min＜10a+10，从而求解a的范围即可．‎ ‎（2）由（1）可知a的范围，利用基本不等式即可求最小值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，f（x）＜10a+10解集不是空集，即|x﹣10|+|x﹣20|＜10a+10，‎ 则（|x﹣10|+|x﹣20|）min＜10a+10成立，‎ 解得：10＜10a+10，‎ ‎∴a＞0，‎ 故实数a的取值范围是（0，+∞）‎ ‎（2）由（1）可知a＞0，‎ 那么：求=‎ 当且仅当，即a=2时取等号．‎ 故的最小值为3．‎