【数学】2020届一轮复习浙江版1-1集　合学案

【数学】2020届一轮复习浙江版1-1集　合学案

第 1 节 集 合 考试要求 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图 形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含 与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义； 3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在 给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图 表达集合间的基本关系及集合的基本运算. 知 识 梳 理 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. 2.集合间的基本关系 (1)子集：若对任意 x∈A，都有 x∈B，则 A ⊆ B 或 B ⊇ A. (2)真子集：若 A ⊆ B，且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A，则 A B 或 B A. (3)相等：若 A ⊆ B，且 B ⊆ A，则 A＝B. (4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为 U，则集 合 A 的补集为∁UA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或 x∈B} {x|x∈A，且 x∈B} {x|x∈U，且 x∉A} [常用结论与易错提醒] 1.若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 2n 个，真子集有 2n－1 个. 2.子集的传递性：A ⊆ B，B ⊆ C ⇒ A ⊆ C. 3.A ⊆ B ⇔ A∩B＝A ⇔ A∪B＝B. 4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 5.对于 A ⊆ B，注意 A＝∅的情形. 6.对于含参数的集合，注意检验元素的互异性. 基 础 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)任何集合至少有两个子集.( ) (2)已知集合 A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则 A＝B＝C.( ) (3)若{x2，1}＝{0，1}，则 x＝0，1.( ) (4)若 A∩B＝A∩C，则 B＝C.( ) 解析 (1)错误.空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的. (2)错误.集合 A 是函数 y＝x2 的定义域，即 A＝(－∞，＋∞)；集合 B 是函数 y＝ x2 的值域，即 B＝[0，＋∞)；集合 C 是抛物线 y＝x2 上的点集.因此 A，B，C 不 相等. (3)错误.当 x＝1 时，不满足元素互异性. (4)错误.当 A＝∅时，B，C 可为任意集合. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.(必修 1P7 练习 2 改编)若集合 A＝{x∈N|x≤ 10}，a＝2 2，则下列结论正确的 是( ) A.{a} ⊆ A B.a ⊆ A C.{a}∈A D.a∉A 解析 由题意知 A＝{0，1，2，3}，由 a＝2 2，知 a∉ A. 答案 D 3.(2019·湖州适应性考试)已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－x＝0}，则 A∪B ＝( ) A.{1} B.{0，1} C.{1，2，3} D.{0，1，2，3} 解析 由题意得集合 B＝{0，1}，则 A∪B＝{0，1，2，3}，故选 D. 答案 D 4.(2019·北京西城区模拟)若集合 A＝{x|04}，所以 A∩(∁RB)＝{x|－1≤x<0}. 答案 {x|－1≤x≤4} {x|－1≤x＜0} 考点一 集合的基本概念 【例 1】 (1)(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)已知集合 A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z， y∈Z}，则 A 中元素的个数为( ) A.9 B.8 C.5 D.4 (2)若集合 A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则 a＝( ) A.9 2 B.9 8 C.0 D.0 或9 8 解析 (1)法一 由 x2＋y2≤3 知，－ 3≤x≤ 3，－ 3≤y≤ 3.又 x∈Z，y∈Z， 所以 x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以 A 中元素的个数为 C13C13＝9，故选 A. 法二 根据集合 A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在 圆 x2＋y2＝3 中有 9 个整点，即为集合 A 的元素个数，故选 A. (2)若集合 A 中只有一个元素，则方程 ax2－3x＋2＝0 只有一个实根或有两个相等 实根. 当 a＝0 时，x＝2 3 ，符合题意； 当 a≠0 时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得 a＝9 8 ， 所以 a 的取值为 0 或9 8. 答案 (1)A (2)D 规律方法 (1)第(2)题集合 A 中只有一个元素，要分 a＝0 与 a≠0 两种情况进行 讨论，此题易忽视 a＝0 的情形. (2)用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件， 明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合. 【训练 1】 (1)(2019·上海黄浦区模拟)已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{1，m}，若 3－m∈A，则非零实数 m 的数值是________. (2)(2019·绿色评价联盟适考)已知集合 A＝{1，2}，B＝{x|x2－(a＋1)x＋a＝0， a∈R}，若 A＝B，则 a＝( ) A.1 B.2 C.－1 D.－2 解析 (1)由题意，若 3－m＝2，则 m＝1，此时 B 集合不符合元素的互异性，故 m≠1；若 3－m＝1，则 m＝2，符合题意；若 3－m＝3，则 m＝0，不符合题意. (2)由 B＝{1，a}＝{1，2}，得 a＝2，故选 B. 答案 (1)2 (2)B 考点二 集合间的基本关系 【例 2】 (1)(2019·嘉兴检测)已知集合 P＝{x|x<1}，Q＝{x|x>0}，则( ) A.P ⊆ Q B.Q ⊆ P C.P ⊆ ∁RQ D.∁R P ⊆ Q (2)已知集合 A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋11 时 x∈(－∞，1]∪[a，＋∞) ⇒ 1≥a －1，解得 13}，所以(∁RA)∩B＝{x|30，得 x<－1 或 x>0， ∴B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)， ∴A－B＝[－1，0). 答案 [－1，0) 13.已知集合 A＝{x|x2－2 018x－2 019≤0}，B＝{x|x2 019，则 m>2 018. 答案 (2 018，＋∞) 14.设集合 A＝{x∈N| 6 x＋1 ∈N}，B＝{x|y＝ln(x－1)}，则 A＝________，B＝ ________，A∩(∁RB)＝________. 解析 当 x＝0，1，2，5 时， 6 x＋1 的值分别为 6，3，2，1，当 x∈N 且 x≠0，1， 2，5 时， 6 x＋1 ∉N，∴A＝{0，1，2，5}，由 x－1>0，得 x>1，∴B＝{x|x>1}，∁ RB＝{x|x≤1}，∴A∩(∁RB)＝{0，1}. 答案 {0，1，2，5} {x|x>1} {0，1} 能力提升题组 15.(2018·宁波月考)已知集合 A＝{1，3， m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则 m＝ ( ) A.0 或 3 B.0 或 3 C.1 或 3 D.1 或 3 解析 因为 A∪B＝A，所以 B ⊆ A，所以 m＝3 或 m＝ m.若 m＝3，则 A＝{1，3， 3}，B＝{1，3}，满足 A∪B＝A；若 m＝ m，解得 m＝0 或 m＝1，若 m＝0， 则 A＝{1，3，0}，B＝{1，0}，满足 A∪B＝A，若 m＝1，则 A＝{1，3，1}，B ＝{1，1}，显然不成立，综上 m＝0 或 m＝3. 答案 B 16.(2018·北京卷)设集合 A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y>4，x－ay≤2}，则( ) A.对任意实数 a，(2，1)∈A B.对任意实数 a，(2，1)∉A C.当且仅当 a<0 时，(2，1)∉A D.当且仅当 a≤3 2 时，(2，1)∉A 解析 若(2，1)∈A，则 2a＋1>4， 2－a≤2， 解得 a>3 2 ，所以当且仅当 a≤3 2 时，(2，1)∉A， 故选 D. 答案 D 17.设集合 A＝ x∈N|1 4 ≤2x≤16 ，B＝{x|y＝ln(x2－3x)}，则 A∩B 中元素的个数是 ________. 解析 由1 4 ≤2x≤16，x∈N， ∴x＝0，1，2，3，4，即 A＝{0，1，2，3，4}. 又 x2－3x>0，知 B＝{x|x>3 或 x<0}， ∴A∩B＝{4}，即 A∩B 中只有一个元素. 答案 1 18.已知集合 A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合 B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且 A∩B＝ (－1，n)，则 m＝________，n＝__________. 解析 A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5 1 x＋1 恒成立，则 a> 1 x＋1 max ，结合反比例函数的单调性可得：a> 1 1＋1 ＝1 2 ， 即实数 a 的取值范围为 1 2 ，＋∞ . 答案 1 2 ，＋∞ 20.(2018·北京石景山区一模)若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个 关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4 有且只有一个是正确的.请写出满足上 述条件的一个有序数组(a，b，c，d)＝________，符合条件的全部有序数组(a，b， c，d)的个数是________. 解析 显然①不可能正确，否则①②都正确；若②正确，则 a＝2， b＝3， c＝1， d＝4， 或 a＝3， b＝2， c＝1， d＝4. 若 ③正确，此时 a＝3， b＝1， c＝2， d＝4， 若④正确此时有 a＝2， b＝1， c＝4， d＝3， a＝3， b＝1， c＝4， d＝2， a＝4， b＝1， c＝3， d＝2. 所以符合条件的数 组共 6 个. 答案 (1)(3，2，1，4)(填一个正确的即可) (2)6