2018-2019学年安徽省铜陵市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

2018-2019学年安徽省铜陵市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

铜陵市一中2018-2019学年度第二学期 高二年级学段（期中）考试数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.下列命题中为真命题的是(　　)‎ A. 命题“若，则”的逆命题 ‎ B. 命题“，则”的否命题 C. 命题“若，则”的否命题 ‎ D. 命题“若，则”的逆否命题 ‎2.如图，是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是 (　 　)‎ A．在区间上是增函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．当时，取极大值 ‎3.函数在上的最小值为(　 　)‎ A． B． C． D.‎ ‎4.对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有＝＋＋，则，，是,,,四点共面的(　　)‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎5.曲线与直线及直线所围成的封闭图形的面积为(　 　)‎ A. B. C． D．‎ ‎6.已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.表示不超过的最大整数，例如：.‎ ‎,‎ ‎…，‎ 依此规律，那么等于(　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎9.若存在过点的直线与曲线和都相切，则 的值是(　 　)‎ A． B. C． 或 D．或 ‎10.已知点是抛物线的一点，为抛物线的焦点，在圆上，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.设函数在上存在导数，对任意的有，且时，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知双曲线上有一点，它关于原点的对称点为，点为双曲线的右焦点，且满足，设，且，则该双曲线 离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.已知命题，总有，则的否定为 ．‎ ‎14.已知方程表示椭圆，则的取值范围为 ．‎ ‎15.双曲线:的左、右顶点分别为，，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是 ．‎ ‎16.，对任意，不等式恒成立，则正数的范围是 ．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（10分）已知，命题对任意，不等式恒成立；‎ 命题存在 ，使得成立．‎ ‎（1）若为真命题，求的取值范围；‎ ‎（2）当，若且为假，或为真，求的取值范围．‎ ‎18.（12分）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．‎ ‎（1）求证：⊥平面；‎ ‎（2）求锐二面角的余弦值．‎ ‎19.（12分）已知函数 ‎（1）若函数处取得极值，求实数的值；并求此时上的最大值；‎ ‎（2）若函数不存在零点，求实数的取值范围．‎ ‎20.（12分）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点为坐标原点，准线方程为，直线 与抛物线相交于不同的、两点．‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）如果直线过抛物线的焦点，求的值；‎ ‎（3）如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．‎ ‎21.（12分）已知椭圆，离心率.左焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.‎ （1） 求该椭圆的方程；‎ （2） 过椭圆的左焦点的任意一条直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在定点使得轴平分,若存在，求出定点坐标，若不存在，说明理由．‎ ‎22.（12分）已知函数（其中）在点处的切线斜率为1．‎ ‎（1）用表示；‎ ‎（2）设，若对定义域内的恒成立，求实数的取值范围； ‎ ‎（3）在（2）的前提下，如果，证明：．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C B B D C B A D C A A 参考答案 ‎13.，使得 14.‎ ‎15. 16.‎ ‎17.（1） ------5分 ‎（2） ------10分 ‎18．（1）取BC中点O，连结AO．∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．‎ ‎∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1． ‎ 取B1C1中点O1，以O为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系：‎ ‎，如图所示，则B(1，0，0)，D(1，1，0)，‎ A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)，‎ ‎∴，，．‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，∴AB1平面A1BD． ------6分 ‎（2）设平面A1AD的法向量为．‎ ‎，．‎ ‎∵，，∴，∴，，‎ 令得为平面A1AD的一个法向量．‎ 由（1）知AB1平面A1BD，为平面A1BD的法向量，‎ ‎∴． ‎ ‎∴锐二面角A－A1D－B的大小的余弦值为． ------12分 19. ‎(1) ------6分 ‎（2），由于．‎ ‎①当时，是增函数， ‎ 且当时，． ‎ 当时，，，取，‎ 则，所以函数存在零点． ‎ ‎②当时， ． ‎ 在上单调递减，在上单调递增，所以时取最小值． ‎ 函数不存在零点，等价于，‎ 解得．‎ 综上所述：所求的实数的取值范围是．（其它正确解法也给分） ------12分 ‎20.解：（1） 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 ，‎ 所以 ，．‎ 所以抛物线的标准方程为 ． ------4分 ‎    （2） 设 ，与 联立，得 ，‎ 设 ，，‎ 所以 ，，‎ 所以 ‎ ‎ ------8分 ‎    （3） 假设直线 过定点，设 ， 得 ，‎ 设 ，，‎ 所以 ，．‎ 由 ‎ ‎ 解得 ，‎ 所以 过定点 ． ------12分 ‎[]‎ ‎21.解：解：（1）解得：‎ ‎ ------4分 （2） 假设在x轴上存在点，使得轴平分,‎ 当斜率不存在时，点P显然存在，当斜率存在时，设：与椭圆交于两点 ‎ ‎ ‎ ------6分 又因为轴平分, ------8分 整理得 ‎，去分母得[]‎ ‎ ------12分 ‎22.(1) ------2分 ‎(2)恒成立，分离变量可得 对恒成立，‎ 令，则。‎ 这里先证明，记，则，‎ 易得在上单调递增，在上单调递减， ，所以。‎ 因此， ，且时，‎ 所以，实数的取值范围是。 ------7分 ‎（3）由（2）知，且在单调递减；在单调递增，‎ ‎ ------12分