2018-2019学年广东省佛山市三水区实验中学高一下学期第三学段考试数学试题（解析版）

2018-2019学年广东省佛山市三水区实验中学高一下学期第三学段考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年广东省佛山市三水区实验中学高一下学期第三学段考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知中，，，，那么角等于 A． B．或 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 因为<，，‎ 正弦定理可知，A=45°‎ 故选C.‎ ‎2．已知数列中，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由递推公式知数列为等差数列，且公差已知，首项已知，易求得．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，∴数列是公差为的等差数列，‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求等差数列的某一项，可用基本量法求解．属于基础题．‎ ‎3．下图是2019年我校高一级合唱比赛中，七位评委为某班打出的分数的茎叶统计图，去掉最高分和最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）‎ A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，4.84 D．85，1.6‎ ‎【答案】D ‎【解析】由茎叶图写出除最高分和最低分的5个分数，然后计算平均数和方差．‎ ‎【详解】‎ 由茎叶图知除最高分和最低分的分数有：84，84，86，84，87，‎ 平均数为，‎ 方差为，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查茎叶图，考查平均数和方差，属于基础题．‎ ‎4．若，则下列不等式成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由不等式性质证明不等式是正确的，举反例说明不等式是错误的．‎ ‎【详解】‎ 若，则、均错，若，则错，‎ ‎∵，∴，C正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的性质，解题时一定要注意不等式的性质：“不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号方向不变，同乘以或除以一个负数，不等号方向改变”，这里一定要注意所乘（或除）的数一定要分正负，否则易出错．‎ ‎5．已知平面向量，，且//，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由向量平行的坐标运算求得参数的值，计算出两向量的和后再由模的坐标表示求得模 ‎【详解】‎ ‎∵//，∴，，∴，‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量平行的坐标运算，考查向量模的坐标运算，解题基础是掌握向量运算的坐标表示．‎ ‎6．下表是高一级甲，乙，丙三位同学在先后五次数学考试中的成绩折线图，那么下列说法正确的是（ ）‎ A．甲平均分比丙要高；‎ B．按趋势，第6次的考试成绩最高分必定是丙；‎ C．每个人五次成绩的标准差最大的是乙；‎ D．从第1次考试到第5次考试，进步幅度最大的是丙.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由折线图，观察各数据，均值、方差均要计算才能确定，前5次的成绩并不能代表第6次的成绩如何，但是第5次成绩与第1次成绩的差可以判断．由此可得结论．‎ ‎【详解】‎ 由于没有具体数据，因此平均分，方差无法比较，A、C不能确定，前5次成绩的变化趋势并不能代表第6次的趋势，B也不能确定，但从图中可知第5次成绩与第一次成绩的差中丙的差最大，即丙进步幅度最大，D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查折线图，考查样本数据的特征，属于基础题．‎ ‎7．已知向量， ，若，则实数k=（ ）‎ A．3 B．2 C．-2 D．-1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由两向量的数量积为0可得．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量垂直的条件，即，．‎ ‎8．将一根长为的铁管折成一个的角，然后将、两端用木条封上，从而构成三角形在不同的折法中，面积的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，利用用基本不等式可求得最大值．‎ ‎【详解】‎ 设，，则，‎ ‎，当且仅当，即时取等号．∴最大值为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形面积公式，考查基本不等式求最值．基本不等式求最值时，要注意取等号的条件，否则易出错．‎ ‎9．在中，，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先判断角的范围，再用两角和的余弦公式及诱导公式计算．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴为钝角，从而为锐角，‎ ‎∴，，‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的同角关系，考查诱导公式及两角和的余弦公式．三角函数问题中公式较多，要善于分析，选用适当的公式．最主要是分析“已知角”和“未知角”之间的联系，从而确定选用的公式．‎ ‎10．已知是等差数列，是它的前项和，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用等差数列的性质计算．‎ ‎【详解】‎ ‎∵是等差数列，∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的性质，即在等差数列中，若（是正整数），则，特别地，则，由此可得前的性质：．‎ ‎11．已知，， ，则向量的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知数量积求出，再根据数量积的定义求得其夹角的余弦，从而得角的大小．‎ ‎【详解】‎ 由已知，‎ ‎∴，即，，∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求向量的夹角，解题关键是掌握向量数量积的定义和运算法则．‎ ‎12．设，则函数的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】把函数式凑配出基本不等式要求的形式，然后用基本不等式求得最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，当且仅当，即时等号成立．‎ ‎∴的最小值是9．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用基本不等式求最值，解题时要注意基本不等式的条件：一正二定三相等．这里定值可能要通过凑配法得到，“相等”的条件一定要注意，否则这个最值取不到．‎ 二、填空题 ‎13．不等式的解集是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】把二次项系数化为正数，然后因式分解得出相应二次方程的两根，写出不等式的解集．‎ ‎【详解】‎ 由得，即，∴．‎ 即不等式的解集为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解一元二次不等式，属于基础题．解不含参数的一元二次不等式，一般先化二次项系数为正，然后结合二次方程的根和二次函数的图象直接写出不等式的解集．‎ ‎14．在△中，，则角等于_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由余弦定理求得，即可得．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理，掌握余弦定理的多种形式是解题基础．‎ ‎15．已知等比数列是递增数列，是的前项和，若，是方程的两个根，则__________．‎ ‎【答案】63‎ ‎【解析】试题分析：因为是方程的两个根，且等比数列是递增数列，所以，即，则；故填63．‎ ‎【考点】1．一元二次方程的根与系数的关系；2．等比数列．‎ ‎16．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以为轴建立直角坐标系，把向量运算用坐标表示．‎ ‎【详解】‎ 建立如图所求的直角坐标系，则，，设，则，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量的数量积运算．平面向量的运算，一般可选取两个向量为基底，其他向量都用基底表示，然后运算即可．建立直角坐标系，可使基底的表示更加方便，运算也更加简单．‎ 三、解答题 ‎17．在中，内角，，的对边分别为，，，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求，的值.‎ ‎【答案】(1) (2) ，.‎ ‎【解析】（1）根据正弦定理，将中的边全部变成角即可求出角的大小；‎ ‎（2）根据正弦定理，将变成边的关系代入余弦定理，求出值，进而可求出的值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵，由正弦定理可得，‎ 因为，得，‎ 又 ‎∴.‎ ‎（2）∵，由正弦定理得，‎ 由余弦定理，得，‎ 解得，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用正弦定理进行角化边，边化角，以及余弦定理，是基础题.‎ ‎18．现有年龄在25到55岁的一群人身体上的某项数据，其频率分布直方图如下.（注：每组包括左端点，不包括右端点）‎ ‎（1）请补全频率分布直方图；‎ ‎（2）估计年龄的平均数；（精确到小数点后一位数字）‎ ‎（3）若50到55岁的人数是50，现在想要从25到35岁的人群中用分层抽样的方法抽取30人，那么25到30岁这一组人中应该抽取多少人？‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）36.8；（3）9人 ‎【解析】（1）由所有组的频率之和为1可得第二组频率，根据组宽算出组高即可画出；‎ ‎（2）取各个矩形中间的值为这组的均值计算；‎ ‎（3）由50到55岁的人数是50，计算出总人数有1000人，再算出25到35岁之间有多少人，根据比例计算即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）第二组的频率为：‎ 所以直方图的高为，补全的频率分布直方图如图 ‎（2）第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为，第四组的频率为，第五组的频率为，第六组的频率为，而各组的中点值分别为、、、、、，故可估计年龄的平均数为：‎ ‎ ‎ ‎（3）50到55岁这一组的频率为，人数是50，故得总人数是 从而得25到30岁这一组的人数是， ‎ ‎30到35岁这一组的人数是 ‎ 那么25到30岁这一组人中应该抽取（人）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图，考查分层抽样，掌握相应的概念是解题基础．‎ ‎19．‎ 已知的角、、所对的边分别是、、，设向量，‎ ‎，.‎ ‎（1）若，求证：为等腰三角形；‎ ‎（2）若，边长，角，求的面积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎⑴因为，所以，即,其中是的外接圆半径， 所以，所以为等腰三角形.‎ ‎⑵因为，所以.‎ 由余弦定理可知，，即 解方程得：（舍去）‎ 所以.‎ ‎20．已知等差数列的公差为，是它的前项和，，，成等比数列，‎ ‎（1）求和；‎ ‎（2）设数列的前项和为，求。‎ ‎【答案】（1）； （2） ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)结合题意求得数列的首项为，则其通项公式为，利用等比数列前n项和公式可得：；‎ ‎(2)结合(1)中求得的数列的前n项和可得,裂项求和可得：.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，，‎ 而，，成等比数列，所以，‎ 即，解得 所以，‎ ‎（2）由（1）知 所以 ‎ ‎ 点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．‎ ‎21．已知数列的前项和为，.‎ ‎（1）求的通项公式 ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）先计算出，然后由求出，再看是否与相符，相符就是一个表达式，不相符就用分段函数形式表示；‎ ‎（2）用错位相减法求数列的前项和．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得：，因为，解得 ‎ 由知，‎ 两式相减得 因为，所以，即 因此是首项为，公比为的等比数列 所以 ‎ ‎（2）由（1）知，所以数列前项和为：‎ ‎ …① ‎ 则 …② ‎ ‎②-①得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查已知前项和和的关系求数列的通项公式，考查用错位相减法求数列的和．在已知和的关系求数列的通项公式时，要注意与后面的（）的求法是不相同的，即中，而．‎ ‎22．解不等式 ‎【答案】①当时，原不等式解集为 ‎②当时，原不等式解集为 ‎③当时，原不等式解集为 ‎④当时，原不等式解集为 ‎⑤当时，原不等式解集为 ‎【解析】需要分类讨论，先讨论，和，时，相应二次方程的两根大小易判断，可直接得出不等式的解集，时，相应二次方程的两根的大小不确定，需按两根大小分类．‎ ‎【详解】‎ 当时，不等式等价于，解得，解集为 当时，原不等式 ‎ ‎1）当时，原不等式 ‎①当，即时，易得原不等式解集为 ‎②当，即时，易得原不等式解集为 ‎③当，即时，易得原不等式解集为 ‎ ‎2）当时，原不等式，此时 易得原不等式解集为 ‎ 综上所述得：①当时，原不等式解集为 ‎②当时，原不等式解集为 ‎③当时，原不等式解集为 ‎④当时，原不等式解集为 ‎⑤当时，原不等式解集为 ‎【点睛】‎ 本题考查解含参数的一元二次不等式，解题时要注意分类讨论．分类讨论有三个层次：第一层次是最高次项系数是否为0，在最高次项系数不为零时，还应分正负，第二层次是相应的二次方程有无实根，在有实根的前提下，第三层次就是比较两根的大小．‎