湖北省黄冈市实验中学2020届高三模拟（五）考试数学（文）试卷

湖北省黄冈市实验中学2020届高三模拟（五）考试数学（文）试卷

文 科 数 学 时间：120 分钟 分值：150 分 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知复数 的实部为 ，则复数 在复平面上对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.已知集合 ，集合 ，则 的一个充分不必要条件是 （ ） A. B. C. D. 3.2020 年春节前后，一场突如其来的新 冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令, 防控就是责任.在党中央的坚强领导和统 一指挥下，全国人民众志成城、团结一 心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战 的人民战争.右侧的图表展示了 2 月 14 日至 29 日全国新冠肺炎疫情变化情况， 根据该折线图，下列结论正确的是 （ ） A.16 天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且 19 日的降幅最大 B.16 天中每日新增确诊病例的中位数大于新增疑似病例的中位数 C.16 天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于 D.19 日至 29 日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和 4.将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱四等分，然后沿等分线把 正方体切开得到同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一 个，则恰好没有被涂色的概率为（ ） A. B. C. D. 5.已知 ,则 的值域是（ ） A. B. C. D. ( )4 i 1 i bz b R += ∈− 1− z b− }4|{ 2xyxA −== }|{ axxB ≥= BA ⊆ ( ), 2−∞ − ( ], 2−∞ − ( )2 + ∞， [ )2 + ∞， 2000 1 8 1 4 3 8 1 2 ( ) 1 2 |1 2 |x xf x = + − − ( )f x ( ],2−∞ ( ]0,2 ( ]0,3 [ ]1,2 6.在平面直角坐标系 中，已知任意角 以 轴的正半轴为始边，若终边经过点 且 ，定义： ，称“ ”为“正余弦函数”；对于正余 弦函数 ，以下性质中正确的是 （ ） A.函数关于 对称 B.函数关于 对称 C.函数在 单调递增 D.函数值域为 7. 若 正 整 数 除 以 正 整 数 后 的 余 数 为 ， 则 记 例如 ，下面程序框图的算法源于 我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行右下程序框图， 则输出的 等于( ) A. B. C. D. 8.已知 ， ， ， ， 的，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 函数 的图象大致为（ ） 10.已知双曲线 ， 分别为双曲线的左右焦点， 为双曲线 上 一点，且位于第一象限，若 为锐角三角形，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 11.平面四边形 为凸四边形，且 ， ， ， ，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3AB = xOy θ x P 0 0( , )x y ( 0)OP r r= > 0 0cos y xsi r θ −= cossi θ xsiy cos= 2 π=x )0,2( π ]4 3,0[ π ]2,2[− N m n ( )mod ,N n m≡ ( )10 4 mod6≡ n 13 15 16 17 10 <<< xy 1=+ yx 2log yx xya + = yb cos= y xc )1(= cba ,, abc >> bac >> cba >> acb >> 2 ln xy x = 14: 2 2 =− yxC 21, FF ),( 00 yxP C 21FPF∆ 0y ),5 5( +∞ ),5 52( +∞ )2 1,5 5( )5 52,2 1( ABCD 60A∠ =  AD DC⊥ 2BD = BC )2,2 7[ )2,2 7( ( )72， )7,2 7[ 12.已知函数 满足条件：对于 ， 唯一的 ，使 得 .当 成立时，则实数 ( ) A. B. C. +3 D. +3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 设 ,当实数 满足不等式组 时，目标函数 的最大值等于 2， 则 的值是_______． 14.已知圆 ，当圆面积最小时，直线 与圆相切，则 .　 15.已知正方形 的边长为 ，在平面 内的动点 满足 ，则 的 最大值是 .　 16. 用 表示自然数 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9 的因数有 1,3,9， 的因数有 1,2,5,10， ，那么 . 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17--21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答.22、23 题为选考题，考生根据要求作答.） 17. （本小题满分 12 分） 已知公差不为 的等差数列 中， ，且 成等比数列. (1)求数列 通项公式； (2)设数列{ }满足 ，求适合方程 的正整数 的值. ( )    <+ ≥+= 0, 0,3 xbax xxxf 1 0x R x∀ ∈ ≠且 ∃ R∈2x ( ) ( )21 xfxf = ( ) ( )bfaf 32 = =+ ba 2 6 2 6− 2 6 2 6− 1>m yx,    ≤+ ≤ ≥ 1 2 yx xy xy myxz += m 01222 22 =−+−+− mmyyxx bxy += b = ABCD 2 ABCD P 1=CP PAPD⋅ ( )g n n ( )9 9,10g = ( )10 5g = ( ) ( ) ( ) ( )61 2 3 2 1g g g g+ + +⋅⋅⋅+ − = 0 { }na 1 2a = 2 4 81, 1, 1a a a+ + + { }na nb 3 n n b a = 1 2 2 3 1 45... 32n nb b b b b b ++ + + = n 18.疫情过后，某商场开业一周累计生成 2 万张购物单，从中随机抽出 100 张，对每单消费金 额进行统计得到下表： 消费金额（单位：元） 购物单张数 25 25 30 ？ ？ 由于工作人员失误，后两栏数据已无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频 率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等（用频率估计概率），完成下 列问题： （1）估计该商场开业一周累计生成的购物单中，单笔消费额超过 800 元的购物单张数； （2）为鼓励顾客消费，拉动内需，该商场打算在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超 过 600 元者，可抽奖一次，中一等奖、二等奖、三等奖的顾客可以分别获得价值 元、 元、 元的奖品.已知中奖率为 100%，且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等差数 列，其中一等奖的中奖率为 .若今年国庆期间该商场的购物单数量预计比疫情后开业一周 的购物单数量增长 5%，试预测商场今年国庆期间采办奖品的开销. 19. （本小题满分 12 分） 20.如图，抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线 与抛物线交于 两点， 点 到 x 轴的距离等于 . （1）求抛物线方程； （2）过 与 垂直的直线和过 与 轴垂直的直线相交 于点 ， 与 轴交于点 ，求点 的纵坐标的取 ( ]0,200 ( ]200,400 ( ]400,600 ( ]600,800 ( ]800,1000 300 100 50 21 1 )0(22 >= ppyx F F l BA、 A 1−AF F AB B x M AM y N N N N 值范围. 21.设 , 已知函数 (Ⅰ) 讨论函数 的单调性； (Ⅰ) 设函数 在点 处的切线互相平行，证明： . （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一 题计分 选修 4-4：坐标系与参数方程 22. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），若以该直角 坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （其中 为常数）. （1）求曲线 和 的直角坐标方程； （2）若曲线 和 有且仅有一个公共点，求 的取值范围. 选修 4-5：不等式选讲 23. 已知函数 的定义域为 . （1）求实数 取值范围； （2）若实数 的最大值为 ， ，求证： . 8 72 ≤+ bcac )1,2( −−∈a      > ≤+++ = 02 02)2(2 1 3 1 )( 2 23 xxa xaxxax xf )(xf )(xf )3,2,1))((,( =ixfxQ iii 2321 <++ xxx xoy 1C    = += θ θθ 2sin cossin y x θ x 2C t=+ )4sin(2 πθρ t 1C 2C 1C 2C t mxxxf −−++= |4 3||1|)( R m m n ncba =++ 222 32 文科数学答案 一．选择题 二．填空题. 13. 14. 15. 16. 三．解答题. 17. 【解析】：(1)设等差数列 的公差为 ，由 ， 得 解得 或 （舍）， 故 (2)由（1）知 ， 依题有 解得 18.解：（1） ， 中位数为 ，又 设消费在区间 内的概率为 ，则消费在区间 内的概率为 由中位数与平均数恰好相等可知: 解得 ， 故单笔消费超过 800 元的购物单张数为： （张）.................... 6 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A C A B C D A D C D D 5 2 2± 525+ 64 1 13653 − 或填 { }na d 2 4 81, 1, 1a a a+ + + 2(3 3 ) (3 )(3 7 ),d d d+ = + + 3d = 0d = 1 ( 1) 2 3( 1) 3 1.na a n d n n= + − = + − = − 3 3 1nb n = − 1 9 1 13( ).(3 1)(3 2) 3 1 3 2n nb b n n n n+ = = −− + − + 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9... 3( + + ) 3( ) ,2 5 5 8 3 1 3 2 2 3 2 6 4n n nb b b b b b n n n n++ + + = − − − = − =− + + + 9 45 ,6 4 32 n n =+ 10.n = 2 1 100 2525 =+  ∴ 400 8.0100 302525 =++  ∴ ]1000,800( p ]800,600( p−2.0 400900)2.0(7003.050025.030025.0100 =×+−×+×+×+× pp 05.0=p 100005.020000 =× （2）设等差数列的公差为 ，则 ，解得 故一等奖、二等奖、三等奖的中奖率分别为 今年的购物具有抽奖资格的单数约为 ， 故一等奖、二等奖、三等奖中奖单数可估计为 采购奖品的开销可估计为 （元） ............. 12 分 20. 解 ： （ 1 ） 由 抛 物 线 定 义 可 知 ， 即 .................... 4 分 （2）设 ，直线 的方程为： 由 得 ， ， .................... 5 分 所 在 的 直 线 方 程 是 ； ， .................... 6 分 )0( >dd 1)221 1()21 1(21 1 =++++ dd 7 2=d 21 13,3 1,21 1 42002.005.120000 =×× 2600,1400,200 3300005026001001400300200 =×+×+× 12 =p yxp 4,2 2 == )4,(),4,( 2 2 2 2 1 1 xxBxxA l 1+= kxy  += = 1 42 kxy yx 0442 =−− kxx 4,4 2121 −=⋅=+ xxkxx 4 21 21 21 xx xx yyk +=− −= MF 11 +−= xky ）11,( 22 +−∴ xkxM 设 ， 三 点 共 线 ， 可 知 .................... 8 分 得 ................... . 10 分 .................... 12 分 21. 解：（1）当 时， 令 ，则 当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单 调递减；....... 2 分 当 时 ， ， 所 以 在 上 单 调 递 减 .................... 3 分 又因为 在 上连续，故 在 上单调递增，在 上单调递 减. .................... 5 分 （2）由 图 可 知 ， 不 妨 ， 则 .................... 6 分 又 ， 所 以 .................... 9 分 则 ，化简得 令 ， .................... 11 分 因 为 ， 则 ， ， 即 .................... 12 分 ),0( nN ANM 、、 12 2 1 2 1 2 1 4 114 xx xxk x nx − −− = − 4 824 2 2 1 2 1 2 1 −+=−= xx xn 20 ><∴ nn 或 0≤x ))(2(2)2()( 2 axxaxaxxf ++=+++=′ 0)( =′ xf 2−=x )2,( −−∞∈x 0)( >′ xf )(xf )0,2(−∈x 0)( <′ xf )(xf 0>x 0)( <=′ axxf )(xf ),0( +∞ )(xf R )(xf )2,( −−∞ ),2( +∞− 321 0 xxx <<< )2(21 +−=+ axx 3)2 2( axaf <+−′ a ax 4 )2(2 2 3 +−< a aaxxx 4 )2(2)2( 2 321 +−++−<++ 11 4 5 321 −−−≤++ aaxxx at −= 11 4 5)( −+= tttg )1,2( −−∈a )2,1(∈t 2)2()( max =< gtg 2321 <++ xxx 22. 解：（1）由 ，可知曲线 的直角坐标方程为 即 ，其中 . 曲 线 的 直 角 坐 标 方 程 为 .................... 5 分 （ 2 ） 由 可 知 ， 由 图 像 可 知 .................... 10 分 23.解：(Ⅰ) 恒成立 ， 又 .................... 5 分 (2)由（1）知 ，所以 ， 又 ， 所以 ． ................. ... 10 分 4 7 bcaccbcacba 42)(232 2222222 +≥+++=++ 8 72 ≤+ bcac θθθ 2sin1)cos(sin 2 +=+ 1C 12 += yx 12 −= xy ]2,2[)4sin(2cossin −∈+=+= πθθθx 1C 0=−+ tyx    =−+ −= 0 12 tyx xy 12 −+= xxt  −+−∈ 4 5]21,21( t 0|4 3||1| ≥−−++ mxx ∴ |4 3||1| xxm −++≤ 4 7|4 31||4 3||1| =−++≥−++ xxxx 4 7≤∴m =n 4 732 222 =++ cba