数学卷·2018届湖南省衡阳八中学高二上学期第四次月考数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届湖南省衡阳八中学高二上学期第四次月考数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年湖南省衡阳八中学高二（上）第四次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．命题“若x=2，则x2﹣3x+2=0”的逆否命题是（　　）‎ A．若x≠2，则x2﹣3x+2≠0 B．若x2﹣3x+2=0，则x=2‎ C．若x2﹣3x+2≠0，则x≠2 D．若x≠2，则x2﹣3x+2=0‎ ‎2．在复平面内，复数z=对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是（　　）‎ ‎①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；‎ ‎②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；‎ ‎③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．‎ A．① B．② C．①②③ D．③‎ ‎4．用反证法证明命题“若sinθ+cosθ•=1，则sinθ≥0且cosθ≥0”时，下列假设的结论正确的是（　　）‎ A．sinθ≥0或cosθ≥0 B．sinθ＜0或cosθ＜0‎ C．sinθ＜0且cosθ＜0 D．sinθ＞0且cosθ＞0‎ ‎5．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若复数z满足（1+i）z=1﹣i（i为虚数单位），则|z|=（　　）‎ A． B． C．2 D．1‎ ‎7．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（　　）‎ A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e ‎8．已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[e，4] B．[1，4] C．（4，+∞） D．（﹣∞，1]‎ ‎9．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有g（x）=f（x）﹣x2，且f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，2] B．[2，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）‎ ‎10．已知抛物线C：y2=4x的交点为F，直线y=x﹣1与C相交于A，B两点，与双曲线E：﹣=2（a＞0，b＞0）的渐近线相交于M，N两点，若线段AB与MN的中点相同，则双曲线E离心率为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎11．已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． +1 D．﹣1‎ ‎12．设A，B是函数f（x）定义域集合的两个子集，如果对任意xl∈A，都存在x2∈B，使得f（x1）f（x2）=l，则称函数f（x）为定义在集合A，B上的“倒函数”，若函数f（x）=x2﹣ax3（a＞0），x∈R为定义在A=（2，+∞），B=（1，+∞）两个集合上的“倒函数”，则实数a取值范围是（　　）‎ A．（0，]∪[，+∞） B．（0， C．[，+∞） D．[‎ ‎　‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．若复数z=（m2﹣m）+mi是纯虚数，则实数m的值为　　．‎ ‎14．从等腰直角△ABC的底边BC上任取一点D，则△ABD为锐角三角形的概率为　　．‎ ‎15．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2‎ 的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为原点，若，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎16．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣4在x=2处取得极值，若m，n∈[﹣1，1]，则f（m）+f′（n）的最小值是　　．‎ ‎　‎ 三.解答题（共6题，共70分）‎ ‎17．复数z=（1﹣i）a2﹣3a+2+i（a∈R），‎ ‎（1）若z=，求|z|；‎ ‎（2）若在复平面内复数z对应的点在第一象限，求a的范围．‎ ‎18．已知关于x的方程+=1，其中a，b为实数．‎ ‎（1）若x=1﹣i是该方程的根，求a，b的值；‎ ‎（2）当＞且a＞0时，证明：该方程没有实数根．‎ ‎19．已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[50，100]之内）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60]，[60，70]，[70，80]，[80，90]，[90，100]的分组作出频率分布直方图（图1），并作出样本分数的茎叶图（图2）（茎叶图中仅列出了得分在[50，60]，[90，100]的数据）．‎ ‎（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；‎ ‎（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[90，100]内的概率．‎ ‎20．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x=交于点M，双曲线C的离心率e=，F是其右焦点，且|MF|=1．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点A（0，1）的直线l与双曲线C的右支交于不同两点P、Q，且P在A、Q之间，若=λ且，求直线l斜率k的取值范围．‎ ‎21．已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=ex（其中e是自然对数的底数）．‎ ‎（1）若a=﹣1，求函数y=f（x）•g（x）在[﹣1，2]上的最大值；‎ ‎（2）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围；‎ ‎（3）若对任意的x1、x2∈[0，2]，x1≠x2，不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|都成立，求实数a的取值范围．‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点C满足条件：△ABC的周长为，记动点C的轨迹为曲线W．‎ ‎（1）求W的方程；‎ ‎（2）曲线W上是否存在这样的点P：它到直线x=﹣1的距离恰好等于它到点B的距离？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖南省衡阳八中学高二（上）第四次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．命题“若x=2，则x2﹣3x+2=0”的逆否命题是（　　）‎ A．若x≠2，则x2﹣3x+2≠0 B．若x2﹣3x+2=0，则x=2‎ C．若x2﹣3x+2≠0，则x≠2 D．若x≠2，则x2﹣3x+2=0‎ ‎【考点】四种命题间的逆否关系．‎ ‎【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，写出它的逆否命题即可．‎ ‎【解答】解：命题“若x=2，则x2﹣3x+2=0”的逆否命题是 ‎“若x2﹣3x+2≠0，则x≠2”．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．在复平面内，复数z=对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．‎ ‎【解答】解：∵z==，‎ ‎∴复数z=对应的点的坐标为（），位于第四象限．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是（　　）‎ ‎①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；‎ ‎②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；‎ ‎③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．‎ A．① B．② C．①②③ D．③‎ ‎【考点】类比推理．‎ ‎【分析】正四面体中，各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；①正确；‎ ‎②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等，②正确；‎ ‎③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等，③正确．‎ ‎【解答】解：正四面体中，各棱长相等，各侧面是全等的等边三角形，因此，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；①正确；‎ 对于②，∵正四面体中，各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角中，它们有共同的高，底面三角形的中心到对棱的距离相等，‎ ‎∴相邻两个面所成的二面角都相等，②正确；‎ 对于③，∵各个面都是全等的正三角形，‎ ‎∴各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等，③正确．‎ ‎∴①②③都是合理、恰当的．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．用反证法证明命题“若sinθ+cosθ•=1，则sinθ≥0且cosθ≥0”时，下列假设的结论正确的是（　　）‎ A．sinθ≥0或cosθ≥0 B．sinθ＜0或cosθ＜0‎ C．sinθ＜0且cosθ＜0 D．sinθ＞0且cosθ＞0‎ ‎【考点】反证法与放缩法．‎ ‎【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设要证命题的否定成立．根据要证命题的否定，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：用反证法证明，应先假设要证命题的否定成立．‎ 而要证命题的否定为：sinθ＜0或cosθ＜0，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．‎ ‎【分析】每1粒发芽的概率为，播下3粒种子相当于做了3次试验，由题意知独立重复实验服从二项分布，即X～B（3，），根据二项分布的概率求法，做出结果．‎ ‎【解答】解：∵每1粒发芽的概率为定值，播下3粒种子相当于做了3次试验，‎ 由题意知独立重复实验服从二项分布 即X～B（3，）‎ ‎∴P（X=2）==‎ 故选B ‎　‎ ‎6．若复数z满足（1+i）z=1﹣i（i为虚数单位），则|z|=（　　）‎ A． B． C．2 D．1‎ ‎【考点】复数求模．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵（1+i）z=1﹣i（i为虚数单位），‎ ‎∴（1﹣i）（1+i）z=（1﹣i）（1﹣i），‎ ‎∴2z=﹣2i，即z=﹣i．‎ 则|z|=1．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（　　）‎ A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e ‎【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．‎ ‎【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）‎ ‎∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，‎ 解得f′（1）=﹣1，‎ 故选B；‎ ‎　‎ ‎8．已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[e，4] B．[1，4] C．（4，+∞） D．（﹣∞，1]‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】命题“p∧q”是真命题，即命题p是真命题，且命题q是真命题．命题q是真命题，即方程有解；命题p是真命题，分离参数，求ex的最大值即可．‎ ‎【解答】解：命题“p∧q”是真命题，即命题p是真命题，且命题q是真命题，‎ 命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”为真，∴a≥e1=e；‎ 由命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，‎ 即方程有解，∴△≥0，‎ ‎16﹣4a≥0．‎ 所以a≤4‎ 则实数a的取值范围是[e，4]‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有g（x）=f（x）﹣x2，且f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，2] B．[2，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，结合函数的单调性解不等式即可．‎ ‎【解答】解：g（x）=f（x）﹣x2，‎ ‎∴g′（x）=f′（x）﹣x＜0，‎ ‎∴g（x）在R递减，‎ ‎∴f（4﹣m）﹣f（m）‎ ‎=g（4﹣m）+（4﹣m）2﹣g（m）﹣m2‎ ‎=g（4﹣m）﹣g（m）+8﹣4m ‎≥8﹣4m，‎ ‎∴g（4﹣m）≥g（m），‎ ‎∴4﹣m≤m，‎ 解得：m≥2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．已知抛物线C：y2=4x的交点为F，直线y=x﹣1与C相交于A，B两点，与双曲线E：﹣=2（a＞0，b＞0）的渐近线相交于M，N两点，若线段AB与MN的中点相同，则双曲线E离心率为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】将直线方程代入抛物线方程，由韦达定理及中点坐标公式求得AB的中点D，将直线方程代入渐近线方程，求得M和N点坐标，则=3，即可求得a=b，e===．‎ ‎【解答】解：由题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点D，‎ ‎，整理得：x2﹣6x+1=0，‎ 由韦达定理可知：x1+x2=6，‎ xD==3，则yD=xD﹣1=3，‎ ‎∴线段AB的中点坐标为D（3，2）．‎ 直线y=x﹣1与双曲线的渐近线y=x联立，可得M（，），‎ 与双曲线的渐近线y=﹣x联立，可得N（，﹣），‎ ‎∴线段MN的中点坐标为（，），‎ ‎∵线段AB与MN的中点相同，‎ ‎∴=3，‎ ‎∴a=b，‎ 则e===‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． +1 D．﹣1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PB|，可得=，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：过P作准线的垂线，垂足为N，‎ 则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，‎ ‎∵|PA|=m|PB|，‎ ‎∴|PA|=m|PN|‎ ‎∴=‎ 设PA的倾斜角为α，则sinα=，‎ 当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，‎ 设直线PM的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），‎ 即x2﹣4kx+4=0，‎ ‎∴△=16k2﹣16=0，‎ ‎∴k=±1，‎ ‎∴P（2，1），‎ ‎∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1）‎ ‎∴双曲线的离心率为=+1．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．设A，B是函数f（x）定义域集合的两个子集，如果对任意xl∈A，都存在x2∈B，使得f（x1）f（x2）=l，则称函数f（x）为定义在集合A，B上的“倒函数”，若函数f（x）=x2﹣ax3（a＞0），x∈R为定义在A=（2，+∞），B=（1，+∞）两个集合上的“倒函数”，则实数a取值范围是（　　）‎ A．（0，]∪[，+∞） B．（0， C．[，+∞） D．[‎ ‎【考点】函数解析式的求解及常用方法．‎ ‎【分析】先将f（x）的单调性分析出，找到极大极小值，由此找到f（x1）和f（x2）的值域，等价转换为两集合的包含关系，再分类讨论即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x2﹣ax3（a＞0），‎ ‎∴f′（x）=2x﹣2ax2，‎ 则由f′（x）＞0得到函数f（x）的增区间为（0，） 减区间为（﹣∞，0）、（，+∞），‎ 则f（x）极小值=f（0）=0，f（x）极大值=f（）=，‎ 由此可知f（x）的图象，‎ 设集合M={f（x）|x∈（2，+∞）}，N={|x∈（1，+∞）}，‎ 则对任意x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞）‎ 使得f（x1）f（x2）=l，‎ 等价于M⊆N，显然0∉N．‎ ‎①当＞2，即0＜a＜时，0∈M，不满足M⊆N；‎ ‎②当1≤≤2，即≤a≤时，f（x）≤0，M=（﹣∞，f（2））⊆（﹣∞，0），‎ 由于f（1）=≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值范围包含在（﹣∞，0）内满足M⊆N；‎ ‎③当＜1，即a＞，有f（1）＜0，f（x）在（1，+∞）上单减，‎ ‎∴B=（，0），A=（0，f（2））不满足M⊆N，‎ 综上可知a∈[，]，‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．若复数z=（m2﹣m）+mi是纯虚数，则实数m的值为　1　．‎ ‎【考点】复数的基本概念．‎ ‎【分析】根据复数的概念进行求解即可．‎ ‎【解答】解：若复数z=（m2﹣m）+mi是纯虚数，‎ 则，‎ 即，‎ 即m=1，‎ 故答案为：1‎ ‎　‎ ‎14．从等腰直角△ABC的底边BC上任取一点D，则△ABD为锐角三角形的概率为　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】根据△ABD为锐角三角形，确定D的位置，然后根据几何概型的概率公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，E为BC的中点，‎ ‎∴B=45°，当D位于E时，△ABD为直角三角形，‎ ‎∴当D位于线段EC上时，△ABD为锐角三角形，‎ ‎∴根据几何概型的概率公式可得△ABD为锐角三角形的概率为，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎15．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为原点，若 ‎，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题设知|EF|=b，|PF|=2b，|PF′|=2a，过F点作x轴的垂线l，过P点作PD⊥l，则l为抛物线的准线，‎ 据此可求出P点的横坐标，后在Rt△PDF中根据勾股定理建立等式，由此能求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：∵|OF|=c，|OE|=a，OE⊥EF ‎∴|EF|=b，‎ ‎∵，‎ ‎∴E为PF的中点，|PF|=2b，‎ 又∵O为FF′的中点，‎ ‎∴PF′∥EO，‎ ‎∴|PF′|=2a，‎ ‎∵抛物线方程为y2=4cx，‎ ‎∴抛物线的焦点坐标为（c，0），‎ 即抛物线和双曲线右支焦点相同，‎ 过F点作x轴的垂线l，过P点作PD⊥l，则l为抛物线的准线，‎ ‎∴PD=PF′=2a，‎ ‎∴P点横坐标为2a﹣c，设P（x，y），‎ 在Rt△PDF中，PD2+DF2=PF2，即4a2+y2=4b2，4a2+4c（2a﹣c）=4（c2﹣b2），‎ 解得e=‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣4在x=2处取得极值，若m，n∈[﹣1，1]，则f（m）+f′（n）的最小值是　﹣13　．‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件．‎ ‎【分析】令导函数当x=2时为0，列出方程求出a值；求出二次函数f′（n）的最小值，利用导数求出f（m）的最小值，它们的和即为f（m）+‎ f′（n）的最小值．‎ ‎【解答】解：求导数可得f′（x）=﹣3x2+2ax ‎∵函数f（x）=﹣x3+ax2﹣4在x=2处取得极值，‎ ‎∴﹣12+4a=0，解得a=3‎ ‎∴f′（x）=﹣3x2+6x ‎∴n∈[﹣1，1]时，f′（n）=﹣3n2+6n，当n=﹣1时，f′（n）最小，最小为﹣9‎ 当m∈[﹣1，1]时，f（m）=﹣m3+3m2﹣4‎ f′（m）=﹣3m2+6m 令f′（m）=0得m=0，m=2‎ 所以m=0时，f（m）最小为﹣4‎ 故f（m）+f′（n）的最小值为﹣9+（﹣4）=﹣13．‎ 故答案为：﹣13．‎ ‎　‎ 三.解答题（共6题，共70分）‎ ‎17．复数z=（1﹣i）a2﹣3a+2+i（a∈R），‎ ‎（1）若z=，求|z|；‎ ‎（2）若在复平面内复数z对应的点在第一象限，求a的范围．‎ ‎【考点】复数求模；复数的基本概念．‎ ‎【分析】（1）根据z=，确定方程即可求|z|；‎ ‎（2）利用复数的几何意义，即可得到结论．‎ ‎【解答】解 z=（1﹣i）a2﹣3a+2+i=a2﹣3a+2+（1﹣a2）i，‎ ‎（1）由知，1﹣a2=0，故a=±1．‎ 当a=1时，z=0；‎ 当a=﹣1时，z=6．‎ ‎（2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，‎ 即，‎ 即，‎ 所以﹣1＜a＜1．‎ ‎　‎ ‎18．已知关于x的方程+=1，其中a，b为实数．‎ ‎（1）若x=1﹣i是该方程的根，求a，b的值；‎ ‎（2）当＞且a＞0时，证明：该方程没有实数根．‎ ‎【考点】反证法与放缩法；函数的零点与方程根的关系；复数代数形式的混合运算．‎ ‎【分析】（1）把x=1﹣i代入方程，利用复数相等的充要条件列出方程组，即可求a，b的值；‎ ‎（2）化简原方程为二次函数的形式，利用反证法，假设方程有实数根，通过韦达定理，结合＞且a＞0，推出矛盾结论，即可证明：该方程没有实数根．‎ ‎【解答】解：（1）将代入，化简得 所以所以a=b=2…‎ ‎（2）证明：原方程化为x2﹣ax+ab=0‎ 假设原方程有实数解，那么△=（﹣a）2﹣4ab≥0即a2≥4ab 因为a＞0，所以，这与题设矛盾 所以假设错误，原方程有实数根正确．…‎ ‎　‎ ‎19．已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[50，100]之内）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60]，[60，70]，[70，80]，[80，90]，[90，100]的分组作出频率分布直方图（图1），并作出样本分数的茎叶图（图2）（茎叶图中仅列出了得分在[50，60]，[90，100]的数据）．‎ ‎（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；‎ ‎（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[90，100]内的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由样本容量和频数频率的关系易得答案；‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2，列举法易得．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，‎ ‎，…‎ x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030．‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90]内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2，‎ 抽取2名学生的所有情况有21种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4‎ ‎），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．‎ 其中2名同学的分数恰有一人在[90，100]内的情况有10种，‎ ‎∴所抽取的2名学生中恰有一人得分在[90，100]内的概率．‎ ‎　‎ ‎20．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x=交于点M，双曲线C的离心率e=，F是其右焦点，且|MF|=1．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点A（0，1）的直线l与双曲线C的右支交于不同两点P、Q，且P在A、Q之间，若=λ且，求直线l斜率k的取值范围．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】（I）设双曲线的一条渐近线方程为y=x，求得M的坐标，运用两点的距离公式和离心率公式，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程；‎ ‎（II）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，代入双曲线的方程，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），运用判别式大于0，两根之和大于0，两根之积大于0，解不等式可得＜k2＜1且k＜0 ①再由向量的关系的坐标表示，化简整理，即可得到≤k2＜1②，可得k的范围．‎ ‎【解答】解：（I）设双曲线的一条渐近线方程为y=x，‎ 令x=，可得y=，‎ 即M（，），F（c，0），‎ 由|MF|=1，可得 ‎（﹣c）2+（）2=1，‎ 由离心率e==，‎ 且a2+b2=c2，‎ 解得a=，b=1，‎ 则双曲线的方程为﹣y2=1；‎ ‎（II）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，‎ 设点P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 由得：（1﹣2k2）x2﹣4kx﹣4=0，‎ 由l与双曲线C的右支交于不同的两点P、Q，‎ ‎∴，‎ ‎∴＜k2＜1且k＜0 ①‎ 若=λ且，P在A、Q之间，则x1=λx2，≤λ＜1，‎ 则，即有==2+，‎ 设f（λ）==λ++2在[，1）上为减函数，（可由f′（λ）=1﹣＜0）‎ 则4＜f（λ）≤，即4＜2+≤，‎ 解得≤k2＜1②‎ 由①②可得﹣1＜k≤﹣．‎ 则k的取值范围是（﹣1，﹣]．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=ex（其中e是自然对数的底数）．‎ ‎（1）若a=﹣1，求函数y=f（x）•g（x）在[﹣1，2]上的最大值；‎ ‎（2）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围；‎ ‎（3）若对任意的x1、x2∈[0，2]，x1≠x2，不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|都成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】（1）若a=﹣1，则y=f（x）•g（x）=（x2﹣x+1）•ex，利用导数法可得函数y=（x2﹣x+1）•ex在区间[﹣1，0]上单调递减，在区间[0，2]上单调递增，结合又，可得函数y=f（x）•g（x）在[﹣1，2]上的最大值；‎ ‎（2）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，即有且只有一个根，令，可得，进而可得当时，k=h（x）有且只有一个根．‎ ‎（3）设x1＜x2，因为g（x）=ex在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，当a≥﹣（ex+2x）恒成立时，a≥﹣1；当a≤ex﹣2x恒成立时，a≤2﹣2ln2，综合讨论结果，可得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）若a=﹣1，则y=f（x）•g（x）=（x2﹣x+1）•ex，‎ ‎∴y'=（x2+x）•ex=x（x+1）ex，‎ ‎∵x∈[﹣1，0]时，y'＜0，x∈[0，2]时，y'＞0，‎ ‎∴函数y=（x2﹣x+1）•ex在区间[﹣1，0]上单调递减，在区间[0，2]上单调递增，‎ 又，‎ 故函数的最大值为3e2．‎ ‎（2）由题意得：有且只有一个根，‎ 令，则 故h（x）在（﹣∞，1）上单调递减，（1，2）上单调递增，（2，+∞）上单调递减，‎ 所以，‎ 因为h（x）在（2，+∞）单调递减，且函数值恒为正，又当x→﹣∞时，h（x）→+∞，‎ 所以当时，k=h（x）有且只有一个根．‎ ‎（3）设x1＜x2，因为g（x）=ex在[0，2]单调递增，‎ 故原不等式等价于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，‎ 所以g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，‎ 即，在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，‎ 则函数F（x）=g（x）﹣f（x）和G（x）=f（x）+g（x）都在[0，2]单调递增，‎ 则有，在[0，2]恒成立，‎ 当a≥﹣（ex+2x）恒成立时，因为﹣（ex+2x）在[0，2]单调递减，‎ 所以﹣（ex+2x）的最大值为﹣1，所以a≥﹣1；‎ 当a≤ex﹣2x恒成立时，因为ex﹣2x在[0，ln2]单调递减，在[ln2，2]单调递增，‎ 所以ex﹣2x的最小值为2﹣2ln2，所以a≤2﹣2ln2，‎ 综上：﹣1≤a≤2﹣2ln2．‎ ‎　‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点C满足条件：△ABC的周长为，记动点C的轨迹为曲线W．‎ ‎（1）求W的方程；‎ ‎（2）曲线W上是否存在这样的点P：它到直线x=﹣1的距离恰好等于它到点B的距离？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）根据△ABC的周长为，|AB|=2，利用椭圆的定义可得动点C的轨迹，从而可得W的方程；‎ ‎（2）假设存在点P满足题意，则点P为抛物线y2=4x与曲线W：的交点，联立方程，求得交点即可．‎ ‎【解答】解：（1）设C（x，y），∵，‎ ‎∴…‎ ‎∴由椭圆的定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为的椭圆（除去与x轴的两个交点）．‎ ‎∴，∴b2=a2﹣c2=1…‎ ‎∴W的方程：…‎ ‎（2）假设存在点P满足题意，则点P为抛物线y2=4x与曲线W：的交点，‎ 由，消去y得：x2+8x﹣2=0…‎ 解得（舍去） …‎ 由代入抛物线的方程得…‎ 所以存在两个点和满足题意．…‎