山西省长治市2020届高三上学期九月份统一联考数学（文）试题

山西省长治市2020届高三上学期九月份统一联考数学（文）试题

长治市2019年高三年级九月份统一联考 数学试题（文科）‎ 注意事项：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。‎ ‎2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。‎ ‎3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎4.本试题满分150分，考试时间120分钟。‎ ‎5.考试范围：高考全部内容。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1.已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵集合 ‎∴‎ ‎∵集合 ‎∴，‎ 故选A ‎2.已知为虚数单位，若，则（ ）‎ A. 1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法运算得到，再由复数相等的概念得到参数值，进而得到结果.‎ ‎【详解】为虚数单位，若，‎ 根据复数相等得到.‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】这个题目考查了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数与相等的充要条件是且．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．‎ ‎3.已知，，，则的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等中间值区分各个数值的大小。‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，故，‎ 所以。‎ 故选A。‎ ‎【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较。‎ ‎4.函数（且）的图象可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.‎ 考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.‎ ‎5.设函数，在区间上随机取一个数，则的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由,得,即,根据几何概型的概率公式可得从区间内随机选取一个实数,的概率为,故选D.‎ ‎6.已知向量，，，若，则实数 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量垂直的坐标表示求解即可 ‎【详解】因为，，‎ 所以，‎ 又，所以，‎ 即，解得.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量数量积坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型.‎ ‎7.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的，分别为14，18，则输出的为（ ）‎ A. 4 B. 2 C. 0 D. 14‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据循环结构的特点，先判断、再根据框图中的程序依次执行，分别计算出的值，即可得到结论．‎ ‎【详解】依次运行框图中的程序：‎ ‎①由于，满足，故；‎ ‎②由于，满足，故；‎ ‎③由于，满足，故；‎ ‎④由于，满足，故；‎ ‎⑤由于，满足，故．‎ 此时，‎ 故输出．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】程序框图的填充和判断算法的功能是算法问题在高考中的主要考查形式，和函数、数列的结合是算法问题的常见载体，解决问题的关键是搞清算法的实质，模拟运行算法以得到结果，考查理解和运用能力．‎ ‎8.已知点A,B,C在圆上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则的最大值为（ ）‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意，AC为直径，所以,当且仅当点B为（-1，0）时，取得最大值7，故选B.‎ 考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质 ‎【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想. 由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.‎ ‎9.设函数,定义,其中,则（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，，‎ ‎，因为,所以 ‎．两式相加可得:,．故选C．‎ 考点：1．数列求和；2．函数的性质．‎ ‎10.如图所示，有一条长度为1的线段，其端点，在边长为3的正方形的四边上滑动，当点绕着正方形的四边滑动一周时，的中点所形成轨迹的长度为（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当，分别在两条边上时，形成半径为的圆，当，在同一边上时，形成长度为2的线段，计算得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：‎ 当，分别在两条边上时：‎ ‎，到顶点的距离为，故形成以顶点为圆点，半径为的圆.‎ 当，在同一边上时：‎ 易知形成长度为2的线段.‎ 轨迹长度为 ‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查了轨迹长度，根据条件得到形成半径为的圆是解题的关键.‎ ‎11.已知是球的球面上的两点，为球面上的动点.若三棱锥的体积最大值为，则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设球的半径为R，当平面时三棱锥的体积最大，，球的表面积为，选A.‎ ‎12.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，，有，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：向右平移个单位后，得到，又∵，∴不妨 ‎，，∴，又∵，‎ ‎∴，故选D.‎ 考点：三角函数的图象和性质.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三 角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）‎ ‎13.在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.‎ ‎【详解】设点，则.又，‎ 当时，，‎ 点A在曲线上的切线为，‎ 即，‎ 代入点，得，‎ 即，‎ 考查函数，当时，，当时，，‎ 且，当时，单调递增，‎ 注意到，故存在唯一的实数根，此时，‎ 故点的坐标为.‎ ‎【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：‎ 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．‎ 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．‎ ‎14.已知直线经过点，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线经过点得到，再利用均值不等式得到答案.‎ ‎【详解】直线经过点，代入得到 当时等号成立 故答案为 ‎【点睛】本题考查了均值不等式，属于常考题型，需要同学们熟练掌握.‎ ‎15.在中，，。若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 结合余弦定理求，即 ‎，解得，然后结合椭圆的定义和焦距求离心率。‎ ‎16.已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，给出以下四个命题：‎ ‎①函数是周期函数；‎ ‎②函数的图象关于点对称；‎ ‎③函数为上的偶函数；‎ ‎④函数为上的单调函数.其中真命题的序号为______.‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断每个选项的正误得到答案.‎ ‎【详解】即，周期为3，①正确 函数奇函数得到故函数关于点对称，②正确 得到，又故 即 故③正确 由①知为周期函数，故不可能单调，故④错误 故答案为①②③‎ ‎【点睛】本题考查了函数周期性，对称性，奇偶性，单调性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.已知数列的前项和为，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）本题考察的是求数列的通项公式，根据所给条件先求出首项，然后仿写 ‎，作差即可得到的通项公式 ‎（2）根据（1）求出的通项公式，观察是由一个等差数列乘以一个等比数列得到，要求其前项和，需采用错位相减法，即可求出前项和．‎ 试题解析：（1）当时，，‎ 当时，‎ 即：，数列为以2为公比的等比数列 ‎（2）‎ 两式相减，得 考点：求数列的通项和前项和 ‎18.如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点。‎ ‎（1）证明：平面;‎ ‎（2）设，，三棱锥的体积 ，求A到平面PBC的距离。‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2） 到平面的距离为 ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）连结BD、AC相交于O，连结OE，则PB∥OE，由此能证明PB∥平面ACE．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A到平面PBD的距离 试题解析：(1）设BD交AC于点O，连结EO。 ‎ 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点。‎ 又E为PD的中点，所以EO∥PB ‎ 又EO平面AEC，PB平面AEC 所以PB∥平面AEC。 ‎ ‎（2）‎ 由，可得.‎ 作交于。‎ 由题设易知，所以 故，‎ 又所以到平面的距离为 法2：等体积法 由，可得.‎ 由题设易知,得BC 假设到平面的距离为d，‎ 又因为PB=‎ 所以 又因为(或)，‎ ‎，‎ 所以 考点：线面平行的判定及点到面的距离 ‎19.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.‎ ‎（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；‎ ‎（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.‎ 附注：‎ 参考数据：，，‎ ‎，≈2.646.‎ 参考公式：相关系数 ‎ 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）根据相关系数的公式求出相关数据后，代入公式即可求得的值，最后根据值的大小回答即可；（Ⅱ）准确求得相关数据，利用最小二乘法建立y关于t的回归方程，然后预测．‎ 试题解析：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得 ‎，，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.‎ ‎（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，‎ ‎.‎ 所以，关于的回归方程为：.‎ 将2016年对应的代入回归方程得：.‎ 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. ‎ ‎【考点】线性相关系数与线性回归方程的求法与应用．‎ ‎【方法点拨】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据 的大小进行判断．求线性回归方程时要严格按照公式求解，并一定要注意计算的准确性．‎ ‎20.已知抛物线，其焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，，与交于点.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求面积的最小值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 最小值4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)根据抛物线的性质即可得到结果；(Ⅱ)由直线垂直可构造出斜率关系，得到，通过直线与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得；联立两切线方程，可用表示出，代入点到直线距离公式，从而得到关于面积的函数关系式，求得所求最值.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由题意知，抛物线焦点为：，准线方程为：‎ 焦点到准线的距离为，即. ‎ ‎(Ⅱ)抛物线的方程为，即，所以 ‎ 设，，‎ ‎ ‎ 由于，所以，即 ‎ 设直线方程为，与抛物线方程联立，得 所以 ‎，，所以 即 联立方程得：，即： ‎ 点到直线的距离 所以 当时，面积取得最小值 ‎【点睛】本题考查抛物线的性质的应用、抛物线中三角形面积最值的求解，关键是能够将所求面积表示为关于斜率的函数关系式，从而利用函数最值的求解方法求出最值.‎ ‎21.已知是函数的极值点.‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）求证：函数存在唯一的极小值点，且.‎ ‎（参考数据：）‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)根据求得；通过导数验证函数的单调性，可知时极值点为，满足题意；(Ⅱ)根据(Ⅰ)可知极小值点位于，此时的零点，且此时为极小值点，代入得到关于的二次函数，求解二次函数值域即可证得结论.‎ ‎【详解】(Ⅰ)因为，且极值点 所以，所以 此时 ‎ 设 ，则 则当时，，为减函数 又 当时，，则为增函数 当 时，，则为减函数 此时为的极大值点，符合题意 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，时，不存在极小值点 当时，，为增函数，且 ，‎ 所以存在 结合(Ⅰ)可知当时，，为减函数； 时，，为增函数，所以函数存在唯一的极小值点 又 ，所以 且满足 .‎ 所以 由二次函数图象可知：‎ 又，‎ ‎【点睛】本题考查利用函数极值与导数关系的综合应用问题，解决本题的关键是能够利用零点存在定理确定零点所处的范围，从而可将证明问题转化为在某一区间内二次函数值域问题的求解.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）经过点作直线交曲线于两点（在上方），且满足，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）;（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析: （1）运用同角的三角函数关系消去参数即可;(2)把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中,根据的几何意义解出倾斜角,从而得到直线方程.‎ 试题解析:（1）由题意：曲线的直角坐标方程为：.‎ ‎（2）设直线的参数方程为（为参数）代入曲线的方程有：‎ ‎，设点对应的参数分别为，则，‎ 则，，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线的方程为：.‎ ‎23.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.‎ ‎(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) {x|x≥4或x≤1}；(2) [－3，0].‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围 试题解析：（1）当a＝－3时，f（x）＝‎ 当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；‎ 当2＜x＜3时，f（x）≥3无解；‎ 当x≥3时，由f（x）≥3得2x－5≥3，解得x≥4.‎ 所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}． 6分 ‎（2）f（x）≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|.‎ 当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|（4－x）－（2－x）≥|x＋a|‎ ‎－2－a≤x≤2－a，‎ 由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，‎ 故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．‎ 考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数 ‎ ‎