河北省张家口市第一中学（实验班）2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

河北省张家口市第一中学（实验班）2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

张家口市第一中学2019-2020学年度第二学期期中考试 实验班数学试卷 一、选择题 ‎1.已知集合，，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据交集的概念，可得结果.‎ ‎【详解】由集合，‎ 所以 故选：C ‎【点睛】本题考查交集的概念，属基础题.‎ ‎2.命题“对任意,都有”的否定是（ ）‎ A. 对任意，都有 B. 不存在，使得 C. 存，使得 D. 存在，使得 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题，注意到要否定结论，由此判断出正确选项.‎ ‎【详解】原命题是全称命题，其否定是特称命题，是特称命题的是C,D两个选项.在C,D两个选项中，C选项没有否定结论，不符合题意.故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查全称命题的的识别，考查全称命题的否定是特称命题，属于基础题.‎ ‎3.复数的共轭复数是( )‎ A. B. ｉ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用复数的除法运算化简复数，然后求其共轭复数.从而求得正确结论.‎ ‎【详解】，故其共轭复数为.所以选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题.‎ ‎4.若不等式的解集为，那么不等式的解集为 (　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中所给的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到，由根与系数的关系求出的关系，再代入不等式，求解即可.‎ ‎【详解】因为不等式的解集为，所以和是方程的两根，且，所以,即，代入不等式整理得，因为，所以,‎ 所以，‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式的解法，已知一元二次不等式的解求参数，通常用到韦达定理来处理，难度不大.‎ ‎5.的展开式中的系数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：由题意首先确定展开式的通项公式，然后结合通项公式即可确定的系数.‎ 详解：展开式的通项公式为，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 据此可得：的系数为.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．‎ ‎6.二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制．二进制数据是用0和1两个数码来表示的数．它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则“借一当二”．当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用1来表示“开”，用0来表示“关”．如图所示，把十进制数化为二进制数,十进制数化为二进制数，把二进制数化为十进制数为，随机取出1个不小于，且不超过的二进制数，其数码中恰有4个1的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用古典概型的概率公式求解.‎ ‎【详解】二进制的后五位的排列总数为，‎ 二进制的后五位恰好有三个“‎1”‎的个数为，‎ 由古典概型的概率公式得.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎7.在平面直角坐标系中，，，点满足，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两点间的距离公式以及条件，可得出，即，再将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.‎ ‎【详解】，，化简得，则，‎ 由基本不等式得，‎ 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了两点间距离公式的应用，在利用基本不等式求最值时，要结合题中条件得出定值条件，并对代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎8.设，表示不超过的最大整数.如，，.若存在实数，使得，，...，同时成立，则正整数的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的定义，通过不等式不断夹逼的范围，直至求得满足题意的即可.‎ ‎【详解】因为，故可得；①‎ 因为，故可得；②‎ 因为，故可得；③‎ 因为，故可得；④‎ 若要使得上述结果都成立，则 ‎，‎ 又因为 则在中最大的值为：，‎ 在中最小的值为：，‎ 显然当时，存在满足题意；‎ 而当时，要满足题意，除了要满足上述①②③④成立外，‎ 还得满足，也即；⑤‎ 而由④可得，即； ⑥‎ 结合③和⑥可得，⑦‎ 显然没有同时满足⑤和⑦.‎ 故当时，不存在实数满足题意.‎ 故满足题意的正整数的最大值是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题综合考查学生的推理能力，涉及不等式的性质，运算新定义，以及集合的运算，属综合中档题.‎ ‎9.对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：根据随机抽样的原理可得，简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即p1＝p2＝p3.注意无论是哪种抽样，每个个体被抽到的概率均是相同的.‎ 考点：随机抽样 ‎10.已知符号函数，是上的增函数，，则（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用特殊值法，设出函数，以及的值，判断选项即可．‎ ‎【详解】解：由于本题是选择题，可以采用特殊值法，符号函数，‎ 是上增函数，，‎ 不妨令，，‎ 则，‎ ‎．所以不正确，正确，‎ ‎，不正确；正确；‎ 对于，令，，‎ 则，‎ ‎；‎ ‎，‎ ‎；所以不正确；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎11.已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可化为函数图象与的图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图求解即可．‎ ‎【详解】解：函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，‎ 而函数关于直线的对称图象为，‎ 的图象与的图象有且只有四个不同的交点，‎ 作函数的图象与的图象如下，‎ 易知直线恒过点，‎ 设直线与相切于点，‎ ‎，故，‎ 解得，，故；‎ 设直线与相切于点，‎ ‎，‎ 故，‎ 解得，；‎ 故，‎ 故，‎ 即；‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用，属于难题．‎ ‎12.某乡镇现在人均一年占有粮食千克，如果该乡镇人口平均每年增长，粮食总产量平均每年增长，那么年后若人均一年占有千克粮食，则关于的解析式为（ ）‎ A B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分别求得年后人口总量和粮食总量关于的表达式，即可求得.‎ ‎【详解】不妨设现在乡镇人口总数为，则现在乡镇粮食总量为，‎ 故经过年后，乡镇人口总数为，乡镇粮食总量为，‎ 故经过年后，人均占有粮食.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查指数型函数模型的建立，属基础题.‎ 二、填空题 ‎13.复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量的减法知，将复数与作差即可得出表示向量的复数.‎ ‎【详解】，所以，表示向量的复数为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查复数的几何意义，解题时要明确向量与复数之间的关系，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.有以下说法:‎ ‎①一年按365天计算,两名学生的生日相同的概率是;②买彩票中奖的概率为0.001,那么买1 000张彩票就一定能中奖;③乒乓球赛前,决定谁先发球,抽签方法是从1~10共10个数字中各抽取1个,再比较大小,这种抽签方法是公平的;④昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气预报降水概率是90%”是错误的.‎ 根据我们所学的概率知识,其中说法正确的序号是___.‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ 根据“概率的意义”求解,买彩票中奖的概率0.001,并不意味着买1 000张彩票一定能中奖,只有当买彩票的数量非常大时,我们可以看成大量买彩票的重复试验,中奖的次数为;‎ 昨天气象局的天气预报降水概率是90%,是指可能性非常大,并不一定会下雨.‎ 说法②④是错误的，而利用概率知识可知①③是正确的.‎ 故答案为①③．‎ ‎15.设函数满足则=__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：将分别代入已知条件中的不等式，结合绝对值不等式的性质可得可得 ‎，，解出即可得出．‎ 详解：由，得，由，得，则当时，有，又，从而可知，故答案为.‎ 点睛：本题考查了绝对值不等式的性质与解法、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎16.对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数， 是的导数，若方程=0有实数解，则称点(，)为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的“拐点”，从而知道函数的对称中心为，得到，进而知道，即可得出答案．‎ ‎【详解】依题意得，，令，得， ‎ 函数的对称中心为，则，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的计算及应用、函数的对称性、数学的转化与化归思想，属于难题．本题将求和问题转化为函数的对称问题解答是解题的关键．‎ 三、解答题 ‎17.已知全集，若集合 ，. ‎ ‎（1）若，求； ‎ ‎（2）若, 求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用集合的交集及补集的定义直接求解即可；‎ ‎（2）由可得，利用集合的包含关系求解即可.‎ ‎【详解】（1）当时，，所以， ‎ 因为，所以； ‎ ‎（2）由得，， ‎ 所以 ‎【点睛】本题主要考查了集合的运算及包含关系求参，属于基础题.‎ ‎18.已知，，若是的充分而不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求解绝对值不等式和含参一元二次不等式，结合命题对应的取值范围，根据充分不必要条件，求得集合之间的包含关系，再由集合的包含关系，求参数范围即可.‎ ‎【详解】因为，即，整理得：，解得；‎ 因为，整理得：，解得；‎ 又因为是的充分而不必要条件，故是的充分不必要条件，‎ 也即集合是集合的真子集.‎ 故(不能同时取等号)，解得，又因为，‎ 的取值范围为.‎ 故答案：.‎ ‎【点睛】本题考查由充分不必要条件求参数的范围，涉及绝对值不等式和含参一元二次不等式的求解，以及由集合关系求参数范围的问题，属于中档题.‎ ‎19.从偶函数的定义出发，证明函数是偶函数的充要条件是它的图象关于轴对称.‎ ‎【答案】证明见详解.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据是偶函数的定义，从充分性和必要性两个方面进行推导即可.‎ ‎【详解】不妨设的定义域为，‎ 先证，若函数是偶函数，则它图象关于轴对称.‎ 因为是偶函数，即对任意的恒成立，‎ 任取上的一点为，因为，‎ 故点均在的图象上，‎ 又该两点关于轴对称，且具有任意性，‎ 即对函数上的任意一点，其关于轴对称的点也一定在上，‎ 即的图象关于轴对称，即证；‎ 再证：若的图象关于轴对称，则是偶函数.‎ 因为的图象关于轴对称，‎ 故对图象上的任意一点，其关于轴的对称点一定也在上.‎ 故点满足的解析式，也即，‎ 又因为具有任意性，故对任意的恒成立.‎ 也即是偶函数.即证.‎ 综上所述：函数是偶函数的充要条件是它的图象关于轴对称.‎ ‎【点睛】本题考查充要条件的证明，涉及函数奇偶性，属综合基础题.‎ ‎20.《复仇者联盟4：终局之战》是安东尼·罗素和乔·罗素执导的美国科幻电影，改编自美国漫威漫画，自‎2019年4月24日上映以来票房火爆.某电影院为了解在该影院观看《复仇者联盟4》的观众的年龄构成情况，随机抽取了100名观众的年龄，并分成，，，，，，七组，得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求这100名观众年龄的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）、中位数；‎ ‎（2）该电影院拟采用抽奖活动来增加趣味性，观众可以选择是否参与抽奖活动（不参与抽奖活动按原价购票），活动方案如下：每张电影票价格提高10元，同时购买这样电影票的每位观众可获得3次抽奖机会，中奖1次则奖励现金元，中奖2次则奖励现金元，中奖三次则奖励现金元，其中且，已知观众每次中奖的概率均为.‎ ‎①以某观众三次抽奖所获得的奖金总额的数学期望为评判依据，若要使抽奖方案对电影院有利，则最高可定为多少；‎ ‎②据某时段内的统计，当时该电影院有600名观众选择参加抽奖活动，并且每增加1元，则参加抽奖活动的观众增加100人.设该时间段内观影的总人数不变，抽奖活动给电影院带来的利润的期望为，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）①最高定为17元，才能使抽奖方案对电影院有利，②时利润最大，为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率分布直方图求平均数以及中位数的方法求解即可；‎ ‎（2）①设观众三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量，可能的取值为0，，，，求出可能取值对应的概率，得出期望，使期望小于等于10，得出对电影院有利时的最大值；‎ ‎②由期望的值以及题设条件得出的表达式，根据二次函数的性质，得出的最大值.‎ ‎【详解】（1）平均数，‎ 前三组的频率之和为 前四组为 故中位数落在第4组 设中位数为，则 解得，即中位数为.‎ ‎（2）①设观众三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量，可能的取值为0，，，‎ 所以，‎ 令，解得 所以最高定为17元，才能使抽奖方案对电影院有利.‎ ‎②.‎ 为二次函数，其对称轴 时，，时，.‎ ‎，因此时利润最大，为 ‎【点睛】本题主要考查了由频率分布直方图估计平均数，中位数，计算数学期望等，属于中档题.‎ ‎21.已知，函数，‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）若在上为单调增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（3）证明：（）‎ ‎【答案】(1)1.‎ ‎(2).‎ ‎（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）先求的极值，有唯一的极小值，极小值为最小值．‎ ‎（2）在上恒成立，分离变量，在上恒成立，求解函数在上的最大值．‎ ‎（3）利用（2）问的结论进行放缩．‎ 详解：（1）函数的定义域为，.‎ 当，，当，，∴为极小值点，极小值.‎ ‎（2）∵.‎ ‎∴在上恒成立，即在上恒成立.‎ 又，所以，所以，所求实数的取值范围为.‎ ‎（3）由（2），取，设，‎ 则，即，于是 .‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎.‎ 所以 .‎ 点睛：（1）函数极值与最值的性质：有唯一的极小值，极小值为最小值．‎ ‎（2）对于任意性和存在性问题的处理，遵循以下规则：‎ ‎1、恒成立，等价于 ‎2、使得成立，等价于 ‎（3）利用导数证明不等式，再利用不等式对数列进行放缩，解决证明数列不等式很有效，本题还可以采用数学归纳法证明．‎ ‎22.记、分别为函数、的导函数.把同时满足和的叫做与的“Q点”.‎ ‎（1）求与的“Q点”；‎ ‎（2）若与存在“Q点”，求实数a的值.‎ ‎【答案】（1）2；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对与进行求导，由和，结合新定义，即可求出与的“”点；‎ ‎（2）对与分别求导，根据新定义列式，求出a的值.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 设为函数与的一个“”点.‎ 由且得，‎ 解得.‎ 所以函数与的“”点是2.‎ ‎（2）因为，‎ 设为函数与的一个“”点.‎ 由且得，‎ 由②得代入①得，所以.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查导数运算以及函数与方程问题，结合新定义，同时考查推理论证能力以及方程思想和数学运算素养.‎ ‎ ‎