【数学】2019届一轮复习人教A版演绎推理与合情推理学案

【数学】2019届一轮复习人教A版演绎推理与合情推理学案

一．高考命题知识点和类型 ‎1.归纳法 ‎2.类比法 ‎3.数学归纳法 ‎4．分析法 ‎5.综合法 ‎6.反证法 ‎7.三段论 ‎【知识要点】‎ ‎1．合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理．‎ 当前提为真时，结论可能为真的推理叫合情推理．数学中常见的合情推理有：归纳和类比推理．‎ ‎(1)根据某类事物的部分对象具有的某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．‎ ‎(2)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 (简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．‎ ‎2．演绎推理 ‎(1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．‎ ‎(2)演绎推理的一般模式——“三段论”‎ ‎①大前提——已知的一般性的原理；‎ ‎②小前提——所研究的特殊情况；‎ ‎③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．‎ ‎1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理 在数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论.证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.‎ ‎2.合情推理的过程 →→→ ‎3.演绎推理 演绎推理是从一般性的原理出发，‎ 推出某个特殊情况的结论的推理方法.是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.‎ ‎4.注意归纳和类比的结论的可靠性有待于证明.‎ ‎1．直接证明 ‎(1)从原命题的条件逐步推得命题成立的证明称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．‎ ‎(2)从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为综合法．‎ 推证过程如下：‎ →→→…→ ‎(3)从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的充分条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．‎ 推论过程如下：‎ →→→…→得到一个明显成立的条件．‎ P—表示条件，Q—表示要证的结论．‎ ‎2．间接证明——反证法 ‎(1)假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．‎ ‎(2)反证法的特点：先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，所得矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．‎ 推论过程如下：‎ →→→…→得到一个明显成立的条件．‎ P—表示条件，Q—表示要证的结论．‎ ‎2．间接证明——反证法 ‎(1)假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做_________．‎ ‎(2)反证法的特点：先假设原命题__________成立，再在正确的推理下得出矛盾，所得矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．‎ ‎2.关于反证法 使用反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式、事实矛盾等.‎ 反证法的步骤：(1)反设；(2)推出矛盾；(3)下结论.‎ 矛盾的主要类型：(1)与假设矛盾；(2)与数学公式、法则、公理、定理、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾；(4)自相矛盾.‎ ‎1.数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法.它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善.‎ ‎2.证明代数恒等式的关键是第二步，将式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需要的形式——凑结论.‎ ‎3.用数学归纳法证明不等式的关键是第二步，利用证明不等式的方法(如放缩)把式子化为n＝ ＋1成立时的式子.‎ ‎4.用数学归纳法证明几何问题时，要注意结合几何图形的性质，在求由“n＝ 到n＝ ＋‎1”‎增加的元素个数时，可以先用不完全归纳法找其变化规律.‎ ‎5.由有限个特殊事例进行归纳、猜想，而得出一般性结论，然后加以证明是 学研究的重要思想方法，研究与正整数有关的数学问题，此方法尤为重要，如猜想数列的通项an或前n项和Sn，解决与自然数有关的探索性、开放性问题等.这里猜想必须准确，证明必须正确.既用到合情推理，又用到演绎推理.猜想的准确与否可用证明来检验，否则不妨再分析，再猜想，再证明，猜想是证明的前提，证明可论证猜想的可靠性，二者相辅相成.‎ 二．命题类型演练和命题陷阱 ‎ 1.归纳法 例1已知数列满足， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】数列满足， ， ，‎ ‎，由此猜想，故选A.‎ 练习1.将正整数排成下表：‎ ‎1‎ ‎2 3 4‎ ‎5 6 7 8 9‎ ‎10 11 12 13 14 15 16 ‎ ‎……………‎ 则在表中数字2017出现在（ ）‎ A. 第44行第80列 B. 第45行第80列 C. 第44行第81列 D. 第45行第81列 ‎【答案】D ‎【解析】因为每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，所以由此归纳出第n行的最后一个数为n2．‎ 因为442=1936，452=2025，‎ 所以2017出现在第45行上．‎ 又由2017﹣1936=81，‎ 故2017出现在第81列，‎ 故选：D 练习2. 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： ， ，则按照以上规律，若具有 “穿墙术”，则n=‎ A. 35 B. 48 C. 63 D. 80‎ ‎【答案】C 练习3．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】最大的正方形面积为1，当n=1时，由勾股定理知正方形面积的和为2，依次类推，可得所有正方形面积的和为，选D.‎ 练习4.九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如： 及时，如图：‎ 记为每个序列中最后一列数之和，则为（ ）‎ A. 1089 B. 680 C. 840 D. 2520‎ ‎【答案】A ‎【解析】当时，序列如图：‎ 故练习5. 如图所示为计算机 学中的蛇形模型，则第20行从左到右第4个数字为__________．‎ ‎【答案】194‎ 练习6．观察下列等式：1＝＋＋；1＝＋＋＋；1＝＋＋＋＋；…，以此类推，1＝＋＋＋＋＋＋，其中n∈N*.则n＝________.‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】1＝＋(－)＋，1＝＋(－)＋(－)＋，‎ ‎1＝＋(－)＋(－)＋(－)＋，…，以此类推，‎ 故1＝＋(－)＋(－)＋(－)＋(－)＋(－)＋‎ ‎＝＋＋＋＋＋＋，故n＝12.‎ 故答案为：12‎ ‎【规律方法总结】：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ 练习7. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．‎ ‎（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】（1）．‎ ‎（2）三角恒等式：．‎ 证明如下：左边 ‎2.类比法 例2. 二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积）‎ ‎，三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积），应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度,则其思维测度W=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 练习1. 如图所示，由曲线y＝x2，直线x＝a，x＝a＋1(a>0)及x轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即.运用类比推理，若对∀n∈N*， 恒成立，则实数A＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，‎ 依据类比推理可得A1＝dx＝ln(n＋1)－lnn，A2＝dx＝ln(n＋2)－ln(n＋1)，…，An＝dx＝ln(2n)－ln(2n－1)，所以A＝A1＋A2＋…＋An＝ln(n＋1)－lnn＋ln(n＋2)－ln(n＋1)＋…＋ln(2n)－ln(2n－1)＝ln(2n)－lnn＝ln 2.‎ 练习2. 我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为(　　)‎ A. S2＝S＋S＋S B. ‎ C. S＝S1＋S2＋S3 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图，作OD⊥BC于点D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，从而S2＝(BC·AD)2＝BC2·AD2＝BC2·(OA2＋OD2)＝ (OB2＋OC2)·OA2＋BC2·OD2＝(OB·OA)2＋(OC·OA)2＋(BC·OD)2＝.‎ ‎ 练习3. 对于问题“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0”，给出如下一种解法：‎ 由ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c>0的解集为(－2,1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为(－2,1)．‎ 思考上述解法，若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为(　　)‎ A. (－3，－1)∪(1,2) B. (1,2)‎ C. (－1,2) D. (－3,2)‎ ‎【答案】A ‎【解析】由关于x的不等式的解集为，得的解集为(－3，－1)∪(1,2)，即关于x的不等式的解集为(－3，－1)∪(1,2)．‎ 练习3. ．已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，则 ‎.类比上述结论，对于等比数列{bn}(bn>0，n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到bm＋n等于(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】观察{an}的性质： ，则联想nb－ma对应等比数列{bn}中的，‎ 而{an}中除以(n－m)对应等比数列中开(n－m)次方，故bm＋n＝.‎ 练习4. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式.如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如用算筹表示就是，则用算筹表示为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B 故答案为：B。‎ 练习5. 的三边长分别为， 的面积为，内切圆半径为，则 ‎；类比这个结论可知: 四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为，四面体的体积为， ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎3.数学归纳法 例3. 1．下面四个判断中，正确的是（ ）‎ A. 式子，当时为1‎ B. 式子 ，当时为 C. 式子，当时为 D. 设，则 ‎【答案】C ‎【解析】对于A，当n=1时，f（ ）恒为1+ ，错误；‎ 对于B，当n=1时，f（ ）恒为1，错误；‎ 对于C，当n=1时，f（n）为，正确；‎ 对于D，f（ +1）=f（ ）+﹣，错误；‎ 故选：C．‎ 练习1. 用数学归纳法证明时，从“‎ 到”左边需增乘的代数式为( 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 练习2. 如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为an，则等于(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】每条边有n个点，所以3条边有3n个点，三角形的3个顶点重复计算了一次，所以减3个顶点，即an＝3n－3，那么，‎ 即 ，故选C.‎ ‎4．分析法 例4. 淮北一中艺术节对摄影类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：‎ 甲说：“是C或D作品获得一等奖”；‎ 乙说：“B作品获得一等奖”；‎ 丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；‎ 丁说：“是C作品获得一等奖”. ‎ 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ）.‎ A. A作品 B. B作品 C. C作品 D. D作品 ‎【答案】B 故选：B．‎ 练习1. 某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组.某次数学考试成绩公布情况如下:甲和三人中的第3小组那位不一样，丙比三人中第1小组的那位的成绩低，三人中第3小组的那位比乙分数高。若甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列，正确的是（ ）‎ A. 甲、乙、丙 B. 甲、丙、乙 C. 乙、甲、丙 D. 丙、甲、乙 ‎【答案】B ‎【解析】甲和三人中的第小组那位不一样，说明甲不在第小组；三人中第小组那位比乙分数高，说明乙不在第3组，说明丙在第3组，又第3组成绩低于第1组，大于乙，这时可得乙为第2组，甲为第1组，那么成绩从高到低为：甲、丙、乙，故选B.‎ 练习2．老师在四个不同的盒子里面放了4张不同的扑克牌，分别是红桃，梅花，方片以及黑桃，让明、小红、小张、小李四个人进行猜测：‎ 小明说：第1个盒子里面放的是梅花，第3个盒子里面放的是方片；‎ 小红说：第2个盒子里面饭的是梅花，第3个盒子里放的是黑桃；‎ 小张说：第4个盒子里面放的是黑桃，第2个盒子里面放的是方片；‎ 小李说：第4个盒子里面放的是红桃，第3个盒子里面放的是方片；‎ 老师说：“小明、小红、小张、小李，你们都只说对了一半．”则可以推测，第4个盒子里装的是（ ）‎ A. 红桃或黑桃 B. 红桃或梅花 C. 黑桃或方片 D. 黑桃或梅花 ‎【答案】A ‎【解析】因为四个人都只猜对了一半，故有一下两种可能：‎ ‎（1）当小明猜对第1个盒子里面放的是梅花A时，第3个盒子里面放的不是方片A，则小李猜对第4个盒子里面放的时红桃A，小张猜对第2个盒子里面放的是方片A，小红猜对第3个盒子里面放的是黑桃A；‎ ‎（2）若小明猜对的是第3个盒子里面放的是方片A，则第1个盒子里面放的不是梅花A,小红猜对第2个盒子里面放的是梅花A，小张猜对第4个盒子里面放的是黑桃A，小李猜对第3个盒子里面放的是方片A,则第一个盒子只能是红桃A,‎ 故选A.‎ ‎5.综合法 例5. 德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子.19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》， 在其年幼时，对1＋2＋3＋…＋100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也被称为高斯算法．现有函数f(x)＝，则f(1)＋f(2)＋…＋f(m＋2017)等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(m＋2017)＝＋＋…＋＋，‎ 又f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(m＋2017)＝＋＋…＋＋，‎ 两式相加可得f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(m＋2017)＝.‎ 故选：C 练习1. 若a，b是常数，a>0，b>0，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则，当且仅当＝时取等号．利用以上结论，可以得到函数f(x)＝ (00⇔直线与圆锥曲线C相交；‎ Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；‎ Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．‎ ‎(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．‎