2016年高考真题——数学（江苏卷） 解析版

2016年高考真题——数学（江苏卷） 解析版

2016 年江苏卷数学高考试题解析 一、填空题：本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案写在答题卡相应位置上。 1.已知集合 则 ________▲________. 【答案】 【解析】 试题分析： 考点：集合运算 【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难点系数较小.一要注 意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确江苏高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对 集合运算有关概念及法则的理解. 2. 复数 其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是________▲________. 【答案】5 【解析】[来源:学科网 ZXXK] 试题分析： ，故 z 的实部是 5 考点：复数概念 【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实 掌握其运算技巧和常规思路，如 . 其次要熟悉复数 相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、共轭为 3. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 的焦距是________▲________. 【答案】 考点：双曲线性质 【名师点睛】本题重点考查双曲线基本性质，而双曲线性质是与双曲线标准方程息息相关，明确双曲线标 { 1,2,3,6}, { | 2 3},A B x x      =A B  1,2 { 1,2,3,6} { | 2 3} { 1,2}A B x x        (1 2i)(3 i),z    (1 2 )(3 ) 5 5z i i i     ( )( ) ( ) ( ) ,( , , . )      a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ( , ) a bi a b R a b 2 2a b .a bi 2 2 17 3 x y  2 10 准方程中量所对应关系是解题关键： 揭示焦点在 x 轴，实轴长为 ，虚轴长为 ， 焦距为 ，渐近线方程为 ，离心率为 4. 已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲_______ _. 【答案】0.1 【解析】 试题分析：这组数据的平均数为 ， ．故答案应填：0.1， 考点：方差 【名师点睛】本题考查的是总体特征数的估计，重点考查了方差的计算，本题有一定的计算量，属于简单 题.认真梳理统计学的基础理论，特别是系统抽样和分层抽样、频率分布直方图、方差等，针对训练近几年 的江苏高考类似考题，直观了解本考点的考查方式，强化相关计 算能力. 5. 函数 y= 的定义域是 ▲ . 【答案】 考点：函数定义域 【名师点睛】函数定义域的考查，一般是多知识点综合考查，先列，后解是常规思路.列式主要从分母不为 零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发，而解则与一元二次不等式、指对数不等式、三 角不等式联系在一起. 6. 如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是 ▲ . 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b    2a 2b 2 22 2c a b  by xa  2 2c a b a a  1 (4.7 4.8 5.1 5.4 5.5) 5.15      2 2 2 2 2 21 (4.7 5.1) (4.8 5.1) (5.1 5.1) (5.4 5.1) (5.5 5.1) 0.15S               23 2x x- -  3,1 【答案】9 【解析】 试题分析：第一次循环： ，第二次循环： ，此时 循环结束 ，故答案应填： 9 考点：循环结构流程图 【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包 括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规 律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 7. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次， 则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 ▲ . 【答案】 考点：古典概型概率 【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.江苏对古典概型概 率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因 此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树 形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件. 8. 已知 是等差数列， 是其前 项和.若 ，则 的值是 ▲ . 【答案】 【解析】由 得 ，因此 考点：等差数列性质 【名师点睛】本题考查等差数列基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列出关于首项及公差的 两个独立条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如 及等差数列广义通项公式 9. 定义在区间 上的函数 的图象与 的图象的交点个数是 ▲ . 【答案】7 【解析】由 ，因为 ，所以 共 5, 7a b  9, 5a b  a b 9a  5.6 { }na {S }n n 2 1 2 53,S =10a a   9a 20. 5 10S  3 2a  2 92 2 (2 d) 3 3, 2 3 6 20.d d a           *1( ) ( ) ,( 1 , )2 2 n m t n n a a n a aS m t n m t n N      、 、 ( ) .n ma a n m d   [0,3 ] sin 2y x cosy x 1sin 2 cos cos 0 sin 2x x x x   或 [0,3 ]x  3 5 5 13 17, , , , , , ,2 2 2 6 6 6 6x        7 个 考点：三角函数图像 【名师点睛】求函数图像交点个数，可选用两个角度：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程， 此方法立足于易于求解，二是数形结合，分别画出函数图像，数交点个数，此法直观，但对画图要求较高， 必须准确，尤其明确增长幅度. 10. 如图，在平面直角坐标系 中， 是椭圆 的右焦点，直线 与椭圆交 于 两点，且 ,则该椭圆的离心率是 ▲ . 【答案】 考点：椭圆离心率 【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出 ，这注重考查 椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求 的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于 的一 个齐次等量关系，通过解方程得到离心率的值. 11. 设 是定义在 上且周期为 2 的函数，在区间 上， 其中 若 ，则 的值是 ▲ . 【答案】 【解析】 ， 因此 考点：分段函数，周期性质 xOy F 2 2 2 2 1( )x y a ba b  ＞ ＞0 2 by  ,B C 90BFC   6 3 ,a c ,a c ,a c ( )f x R [ 1,1) , 1 0, ( ) 2 ,0 1,5 x a x f x x x          .aR 5 9( ) ( )2 2f f  (5 )f a 2 5 5 1 9 1 1 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 5 5f f f f a a            3 2(5 ) (3) (1) ( 1) 1 5 5f a f f f         【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数 周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所 对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值. 12. 已知实数 满足 ，则 的取值范围是 ▲ . 【答案】 考点：线性规划 【名师点睛】线 性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线， 其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离 等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 13. 如 图 ， 在 中 ， 是 的 中 点 ， 是 上 的 两 个 三 等 分 点 ， ， ，则 的值是 ▲ . 【答案】 【解析】因为 , , 因此 ， 考点：向量数量积 【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是 ,x y 2 4 0 2 2 0 3 3 0 x y x y x y            2 2x y 4[ ,13]5 ABC D BC ,E F ,A D 4BC CA   1BF CF    BE CE  7 8 2 2 2 2 4 36 44 4 AO BC FO BCBA CA           2 2 4 14 FO BCBF CF        2 25 13,BC8 2FO    2 2 2 2 4 16 7 4 4 8 EO BC FO BCBE CE           利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线向量问题，利用向量加 法与减法的平行四边形法 则，可以得到一个很实用的结论： 14. 在锐角三角形 中，若 ，则 的最小值是 ▲ . 【答案】8. 考点：三角恒等变换，切的性质应用 【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口， 斜三角形 中恒有 ，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量 关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识 二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.） 15. （本小题满分 14 分） 在 中，AC=6， （1）求 AB 的长； （2）求 的值. 【答案】（1） (2) 【解析】 试题分析：（1）利用同角三角函数关系求 再利用正弦定理求 (2) 利用诱导公式及两角和余弦公式分别求 ，最后根据两 角差余弦公式求 ，注意开方时正负取舍. 试题解析：解（1）因为 所以 2 2 4 4 AO BCBA CA      ABC sin 2sin sinA B C tan tan tanA B C ABC tan tan tan tan tan tanA B C A B C   ABC△ 4 πcos .5 4B C= =， πcos( 6A- ) 5 2 7 2 6 20  3sin 5B ，= 26sin 2 5 2.3sin 5 AC CAB B    7 2 2sin sin( ) ,cos cos( )10 10A B C A B C        7 2 6cos(A )6 20    4cos ,0 ,5B B    2 24 3sin 1 cos 1 ( ) ,5 5B B     由正弦定理知 ，所以 考点：同角三角函数关系，正余弦定理，两角和与差公式 【名师点 睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表 示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、 配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的 保证. 16. (本小题满分 14 分) 如 图 ， 在 直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 中 ， D ， E 分 别 为 AB ， BC 的 中 点 ， 点 F 在 侧 棱 B1B 上 ， 且 ， . 求证：（1）直线 DE∥平面 A1C1F； （2）平面 B1DE⊥平面 A1C1F. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 sin sin AC AB B C 26sin 2 5 2.3sin 5 AC CAB B    1 1B D A F 1 1 1 1AC A B 考点：直线与直线、平面与平面位置关系 【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. (4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直. 17. （本小题满分 14 分） 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥 ，下部分的形状 是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高 的四倍. （1）若 则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱柱的侧棱长为 6m,则当 为多少时，仓库的容积最大？ 【答案】（1）312（2） 1 1 1 1P A B C D 1 1 1 1ABCD A B C D 1PO 16 ,PO 2 ,AB m m  1PO 1 2 3PO  考点：函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积 【名师点睛】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点方面进行强化，注重培养将文 字语言转化为数学语言能力，强化构建数学模型的几种方法.而江苏应用题，往往需结合导数知识解决相应 数学最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握. 18. （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 中，已知以 为圆心的圆 及其上一点 （1）设圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 上，求圆 的标准方程； （2）设平行于 的直线 与圆 相交于 两点，且 ,求直线 的方程； （3）设点 满足：存在圆 上的两点 和 ,使得 ,求实数 的取值范围。 xOy M 2 2: 12 14 60 0M x y x y     (2,4)A N x M N 6x  N OA l M ,B C BC OA l ( ,0)T t M P Q ,TA TP TQ    t 【答案】（1） （2） （3） (2)因为直线 l||OA，所以直线 l 的斜率为 .[来源:学科网 ZXXK] 设直线 l 的方程为 y=2x+m，即 2x-y+m=0， 则圆心 M 到直线 l 的距离 因为 而 所以 ，解得 m=5 或 m=-15. 学科&网 2 2( 6) ( 1) 1x y    : 2 5 2 15l y x y x   或 2 2 21 2 2 21t    4 0 22 0   2 6 7 5 . 5 5 m md      2 22 4 2 5,BC OA    2 2 2 ,2 BCMC d        2525 55 m   故直线 l 的方程为 2x-y+5=0 或 2x-y-15=0. 考点：直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算 【名师点睛】直线与圆中三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离 公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题， 也可先确定主元，如本题以 为主元，揭示 在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系， 这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆位置关系. 19. （本小题满分 16 分） 已知函数 . 设 . （1）求方程 的根; （2）若对任意 ,不等式 恒成立，求实数 的最大值； （3）若 ，函数 有且只有 1 个零点，求 的值。 【答案】（1）①0 ②4（2）1 P P ( ) ( 0, 0, 1, 1)x xf x a b a b a b      12, 2a b  ( ) 2f x  x R (2 ) f( ) 6f x m x  m 0 1, 1a b  ＞     2g x f x  ab 【解析】 考点：指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点[来源:学科网] 【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数 范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象 的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利 用零 点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数. 20. （本小题满分 16 分） 记 . 对 数 列 和 的 子 集 T ， 若 , 定 义 ; 若 1,2, 100U  … ，   * na n N U T   0TS  ，定义 . 例如： 时 ， . 现设 是公比为 3 的等比数列 ，且当 时， . （1）求数列 的通项公式； （2）对任意正整数 ，若 ，求证： ； （3）设 ,求证： . 【答案】（1） （2）详见解析（3）详见解析 【解析】 （2）因为 ， ， 所以 . 因此， .  1 2, , kT t t t … ， 1 2 + kT t t tS a a a  …  = 1,3,66T 1 3 66+TS a a a    * na n N  = 2,4T =30TS  na  1 100k k   1,2, kT  … ， 1T kS a  , , C DC U D U S S   2C C D DS S S  13n na  {1,2, , }T k  1 *3 0,n na n N   1 1 2 11 3 3 (3 1) 32 k k k r kS a a a             1r kS a  考点：等比数列的通项公式、求和 【名师点睛】本题三个难点，一是数列新定义，利用新定义确定等比数列首项，再代入等比数列通项公式 求解，二是利用放缩法求证不等式，放缩目的，是将非特殊数列转化为特殊数列，从而可利用特殊数列性 质，以算代征，三是结论含义的应用，实质又是一个新定义，只不过是新定义的性质应用. 21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做， 则按作答的前两小题评分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．【选修 4—1 几何证明选讲】（本小题满分 10 分） 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D 为垂足，E 是 BC 的中点，求证：∠EDC=∠ABD. 【答案】详见解析 考点：相似三角形 【名师点睛】1.相似三角形的证明方法：(1)先找两对内角对应相等；(2)若只有一个角对应相等，再判定这 个角的两邻 边是否对应成比例；(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例． 2．利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度数的相关运算时，要善于联想变换比例式，通过添 加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应用．学科&网 B.【选修 4—2：矩阵与变换】（本小题满分 10 分） 已知矩阵 矩阵 B 的逆矩阵 ，求矩阵 AB. 【答案】 【解析】 试题分析：先求逆矩阵的逆： ，再根据矩阵运算求矩阵 AB. 试题解析：解：设 ，则 ， 1 2 ,0 2A      1 11= 2 0 2 B        51 4 0 1          0 1B       2 1 4 1 a bB c d      1 1 1 01 2 0 10 2 a bB B c d                  考点：逆矩阵，矩阵乘法 【名师点睛】矩阵乘法及逆矩阵需明确运算法则，实质是考查一种运算法则： ， ， 类似求矩阵特征值 及特征向量也是如此. C.【选修 4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数），椭圆 C 的 参数方程为 （ 为参数）.设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长. 【答案】 1 | A | | A | ,(| | 0) | A | | A | d b a bA A A ad bcc d c a                     a b e f ae bg af bh c d g h ce dg cf dh                   11 2 3 2 x t y t      cos , 2sin x y       16 7 考点：直线与椭圆参数方程 【名师点睛】1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中 x 及 y 的取 值范围的影响． D. 【选修 4—5：不等式选讲】（本小题满分 10 分） 设 a＞0，|x-1|＜ ，|y-2|＜ ，求证：|2x+y-4|＜a. 【答案】详见解析 试题分析：利用含绝对值的三角不等式|a＋b|≤|a|＋|b|进行放缩证明 试题解析：证明：因为 所以 考点：含绝对值的不等式证明[来源:学。科。网 Z。X。X。K] 【名师点睛】利用绝对值三角不等式求最值时，可借助绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋ |b|，通过适当的添、拆项来放缩求解，但一定要注意取等号的条件．将绝对值不等式与函数以及不等式恒 成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分. 请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分 10 分） 3 a 3 a | 1| ,| 2|3 3 a ax y    | 2 4| | 2( 1) ( 2) | 2| 1| | 2| 2 .3 3 a ax y x y x y a              如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 ，抛物线 （1）若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程； （2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q. ①求证：线段 PQ 的中点坐标为 ； ②求 p 的取值范围. 【答案】（1） （2）①详见解析，② （2）设 ，线段 PQ 的中点 因为点 P 和 Q 关于直线 对称，所以直线 垂直平分线段 PQ, 于是直线 PQ 的斜率为 ，则可设其方程为 ①由 消去 得 因 为 P 和 Q 是抛物线 C 上的相异两点，所以 从而 ，化简得 . : 2 0l x y   2: y 2 ( 0)C px p  (2 , ).p p  xy 82  )3 4,0( 1 1 2 2(x ,y ), (x ,y )P Q 0 0(x ,y )M l l 1 .y x b   2 2y px y x b       x 2 2 2 0(*)y py pb   1 2 ,y y 2(2 ) 4( 2 ) 0p pb     2 0p b  方程（*）的两根为 ，从而 因为 在直线 上，所以 因此，线段 PQ 的中点坐标为 ②因为 在直线 上 所以 ，即 由①知 ，于是 ，所以 因此 的取值范围为 学科&网 考点：直线与抛物线位置关系 【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 23. （本小题满分 10 分） （ 1）求 的值； （2）设 m，n N*，n≥m，求证： （m+1） +（m+2） +（m+3） +…+n +（n+1） =（m+1） . 【答案】（1）0（2）详见解析 2 1,2 2y p p pb    1 2 0 .2 y yy p   0 0(x ,y )M l 0 2 .x p  (2 , ).p p  M(2 , ).p p  y x b   (2 ) bp p     2 2 .b p  2 0p b  2(2 2 ) 0p p   4.3p  p 4(0, ).3 3 4 6 7–47C C  Cm m +1Cm m +2Cm m –1Cm n Cm n +2 +2Cm n 考点：组合数及其性质 【名师点睛】本题从性质上考查组合数性质，从方法上考查利用数学归纳法解决与自然数有关命题，从思 想上考查运用算两次解决二项式有关模型. 组合数性质不仅有课本上介绍的 、 ， 更有 ，现在又有 ，这些性质不需记忆，但需会推导， 更需会应用. 1 1 1 m m m k k kC C C    =m k m k kC C  1 1 k k n nkC nC   1 1( 1) (m 1) ,( , 1, , )m m k kk C C k m m n      