2018届二轮复习选修部分教案（全国通用）

2018届二轮复习选修部分教案（全国通用）

春季课程: 选修部分 适用学科 高中数学 适用年级 高中三年级 适用区域 通用 课时时长（分钟） 120 知识点 几何证明选讲,坐标系与参数方程,不等式选讲 教学目标 理解相似三角形的定义与性质, 会证明和应用以下定理. 能进行极坐标和直角坐标的互 化. 能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程. 理解绝对值的几何意义，并了 解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件 教学重点 理解相似三角形的定义与性质, 会证明和应用以下定理. 能进行极坐标和直角坐标的互 化. 能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程. 理解绝对值的几何意义，并了 解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件 教学难点 几何证明选讲中的证明.不等式中的分类讨论. 坐标系与参数方程中的数形结合思想的 渗透. 教学过程 一、考纲解读 本部分内容为选考.故在复习过程中，可以针对某一模块集中突破: 几何证明选讲,重点考查相似,圆的相关性质及应用 坐标系与参数方程重点考查极坐标方程,参数方程与直角坐标方程的转化 不等式选讲重点考查绝对值不等式,均值不等式以及不等式的证明 二、复习预习 1．几何证明选讲 　　（1）相似三角形（2）会证明和应用以下定理：①直角三角形射影定理；②圆周角定理；③圆的切线 判定定理与性质定理；④相交弦定理；⑤圆内接四边形的性质定理与判定定理；⑥切割线定理. 2.坐标系与参数方程 　　① 了解坐标系的作用② 了解极坐标的基本概念③极坐标方程.④参数方程⑤ 能选择适当的参数写出 直线、圆和椭圆的参数方程. 3．不等式选讲 　　①理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件： 　　②会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：　　|ax+b|≤c；|ax+b|≥c；|x-a|+|x-b|≥c. 　　③通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法. 三、知识讲解 考点 1 几何证明选讲 　　（1）理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理. 　　（2）会证明和应用以下定理：①直角三角形射影定理；②圆周角定理；③圆的切线判定定理与性质定 理；④相交弦定理；⑤圆内接四边形的性质定理与判定定理；⑥切割线定理. 考点 2 坐标系与参数方程 　　（1）坐标系 　　① 了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 　　② 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化. 　　③ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程. 　　④了解参数方程，了解参数的意义. 　　⑤ 能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程. 考点 3 不等式选讲 　　① 理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件： 　　|a+b|≤|a|+|b| 　　(a,b∈R); 　　|a-b|≤|a-c|+|c-b|　　(a,b∈R). 　　②会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： 　　|ax+b|≤c；|ax+b|≥c；|x-a|+|x-b|≥c. 　　③ 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法. 四、例题精析 例 1 [2014 北京卷] 曲线 （ 为参数）的对称中心（ ） 在直线 上 在直线 上 在直线 上 在直线 上 【规范解答】参数方程 所表示的曲线为圆心在 ，半径为 1 的圆．其对称中心为圆心 ．逐个代入选项可知， 在直线 上，即选项 B． 【总结与反思】　本题考查参数方程与直角坐标方程的转化,以及圆的标准方程. 1 cos 2 sin x y θ θ = − +  = + θ .A 2y x= .B 2y x= − .C 1y x= − .D 1y x= + 1 cos 2 sin x y θ θ = − +  = + ( 1 2)− ， ( 1 2)− ， ( 1 2)− ， 2y x= − 例 2 [2014 江西卷] （不等式选做题）对任意 , 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【规范解答】 选 B 【总结与反思】　考查绝对值的三角不等式求最值 例 3 [2014 安徽卷] 以平面直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标 系中取相同的长度单位，已知直线 的参数方程是 （t 为参数），圆 C 的极坐标方程是 则直线 被圆 C 截得的弦长( ) A. B. C. D. 【规范解答】选（D）：直线与圆都化成普通方程，直线 ，圆 . 圆心 到直线 的距离为 ，弦长为 【总结与反思】　此题考察极坐标与参数方程的简单知识，交汇点在直线方程与圆的方程及其位置关系上， 考查等价转化思想的运用. 例 4 已知定义在 R 上的函数 的最小值为 . （1）求 的值； （2）若 为正实数，且 ，求证： . 【规范解答】(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2 时，等号成立， 所以 f(x)的最小值等于 3，即 a＝3. (2) 由(1)知 p＋q＋r＝3，又 p，q，r 是正实数， 所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9， 即 p2＋q2＋r2≥3. 【总结与反思】　第一问比较常规.使用三角不等式求最值比较迅速.也可以分类讨论.第二问考查柯西不等 式,也可以将 平方后用均值不等式处理. x l θρ cos4= l 14 142 2 22 ,x y R∈ 1 1 1x x y y− + + − + + 1 2 3 4 ( )| 1| | | | 1| | 1 | 1 | | 1 1 | 1 2 3x x y y x x y y− + + − + + ≥ − − + − − + = + =    −= += 3 1 ty tx 04: =−− yxl 4)2(: 22 =+− yxC C l 2=d 222 22 =− dr ( ) 21 −++= xxxf a a rqp ，， arqp =++ 3222 ≥++ rqp arqp =++ 例 5[2014 全国 1 卷] 选修 4—1：几何证明选讲 如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E，且 CB=CE .(Ⅰ)证明：∠D=∠E； （Ⅱ）设 AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为 M，且 MB=MC，证明：△ADE 为等边三角形. 【规范解答】(Ⅰ) 由题设知得 A、B、C、D 四点共圆，所以 D= CBE， 由已知得， CBE= E ,所以 D= E （Ⅱ）设 BCN 中点为 N，连接 MN,则由 MB=MC知 MN⊥BC 所以 O 在 MN 上，又 AD 不是 O 的直径，M 为 AD 中点，故 OM⊥AD， 即 MN⊥AD 所以 AD//BC,故 A= CBE， 又 CBE= E，故 A= E 由（1）知 D= E 所以△ADE 为等边三角形 【总结与反思】　本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．第一问利 用四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由 CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E； 第二问设 BC 的中点为 N，连接 MN，证明 AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE 为 等边三角形． 例 6[2014 全国 1 卷] 选修 4—4：坐标系与参数方程 已知曲线 ： ，直线 ： （ 为参数）. (Ⅰ)写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程；（Ⅱ）过曲线 上任一点 作与 夹角为 的直线，交 于点 ，求 的最大值与最小值. 【规范解答】.(Ⅰ) 曲线 C 的参数方程为： （ 为参数）， 直线 l 的普通方程为： ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ C 2 2 14 9 x y+ = l 2 2 2 x t y t = +  = − t C l C P l o30 l A | |PA 2cos 3sin x y θ θ =  = θ 2 6 0x y+ − = （Ⅱ）在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ,3sin )到 l 的距离为 ， 则 ，其中 为锐角．且 . 当 时， 取得最大值，最大值为 ； 当 时， 取得最小值，最小值为 . 【总结与反思】　本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，直线与圆锥曲线的关 系，体现了数学转化思想方法，是中档题．第一问联想三角函数的平方关系可取 x=2cosθ、y=3sinθ 得曲线 C 的参数方程，直接消掉参数 t 得直线 l 的普通方程；第二问设曲线 C 上任意一点 P（2cosθ，3sinθ）．由点到 直线的距离公式得到 P 到直线 l 的距离，除以 sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最 大值与最小值。 例 7[2014 全国 1 卷] 选修 4—5：不等式选讲 若 ，且 . (Ⅰ) 求 的最小值； （Ⅱ）是否存在 ，使得 ？并说明理由. 【规范解答】(Ⅰ) 由 ，得 ，且当 时等号成立， 故 ，且当 时等号成立，∴ 的最小值为 . （Ⅱ）由 ，得 ，又由(Ⅰ)知 ，二者矛盾， 所以不存在 ，使得 成立. 【总结与反思】　本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础 题。第一问由条件利用基本不等式求得 ，再利用基本不等式求得 的最小值．第二问根据基本 不等式求的 与 相矛盾，从而可得不存在 ，使得 ．其实上这里也可以这样 做： ，而 ，所以不存在 ，使得 。利用基本不 等式求最值以及考查反证法探究不等式成立与否，是比较新颖的，打破了把重心放在求解绝对值不等式的传 统模式，特别是第二问的探究，若考生处理不等式的能力欠缺，可能会一筹莫展。 θ θ 5 4cos 3sin 65d θ θ= + − ( )0 2 5| | 5sin 6sin30 5 dPA θ α= = + − α 4tan 3 α = ( )sin 1θ α+ = − | |PA 22 5 5 ( )sin 1θ α+ = | |PA 2 5 5 0, 0a b> > 1 1 aba b + = 3 3a b+ ,a b 2 3 6a b+ = 1 1 2ab a b ab = + ≥ 2ab ≥ 2a b= = 3 3 3 33 4 2a b a b+ ≥ = 2a b= = 3 3a b+ 4 2 6 2 3 2 6a b ab= + ≥ 3 2ab ≤ 2ab ≥ ,a b 2 3 6a b+ = 2ab ≥ 3 3a b+ 832 >+ ba 2ab ≥ ,a b 2 3 6a b+ = 2≥ab 346232 ≥≥+∴ abba 346 < ,a b 2 3 6a b+ = 例 8[2014 全国 2 卷] （本小题满分 10）选修 4—1：几何证明选讲 如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与⊙O 相交于点 B，C，PC＝2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点 E． 证明：（Ⅰ）BE＝EC； （Ⅱ）AD·DE＝2PB2 【规范解答】（Ⅰ）∵ PC＝2PA，PD＝DC ∴ PA＝PD， △PAD 为等腰三角形 ∴ 连接 AB，则∠PAB＝∠DEB＝β，∠BCE＝∠BAE＝α， ∵ ∠PAB＋∠BCE＝∠PAB＋∠BAD＝∠PAD＝∠PDA＝∠DEB＋∠DBE ∴ β＋α＝β＋∠DBE，即 α＝∠DBE，即∠BCE＝∠DBE ∴ BE＝EC （Ⅱ）∵ AD·DE＝BD·DC，PA 2＝PB·PC，PD＝DC＝PA ∴ BD·DC＝（PA－PB）·PA＝PB·PC－PB·PA＝PB·（PC－ PA） PB·PA＝PB·2PB＝2PB 2 【总结与反思】⑴ 本题涉及直线与圆切割关系、切割弦定理，圆内接四边形，三角形相似等知识点. ⑵ 本类试题主要是以圆的应用为模型，考查了三角形的边角关系，内容稳定、形式稳定、位置稳定， 难度稳定，为容易题． 例 9[2014 全国 2 卷] 选修 4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 ＝2cos ， ∈［0， ］．（Ⅰ）求 C 的参数方程；（Ⅱ）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l：y＝ x＋2 垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定 D 的坐标． 【规范解答】（Ⅰ）设点 M（x，y）是 C 上任意一点，则由 ＝2cos 可得：x2＋y2＝2x， 即（x－1）2＋y2＝1（0≤y≤1）， ∴ C 的参数方程为 ，α 是参数，0≤α≤π （Ⅱ） 法 1 设 D 点坐标为（1＋cosα，sinα）， 则由切线与直线 l：y＝ x＋2 垂直得： ＝ ， 又因 sin2α＋cos2α＝1，解得 sinα＝ ，cosα＝ ． ∴ D 的坐标为（ ， ） ρ θ θ 2 π 3 ρ θ    = += α α sin cos1 y x 3 α α cos sin 3 2 3 2 1 2 3 2 3 法 2 ＝ ，α＝ ∴ D 的坐标为（ ， ） 【总结与反思】　⑴ 本题涉及坐标系与参数方程，极坐标的概念、参数方程中参数的意义等多个知识点； ⑵ 试题的设计符合课程标准对坐标系与参数方程选讲内容的教学要求，考查了学生的运算求解能 力． 例 10[2014 全国 2 卷] 选修 4－5：不等式选讲 设函数 f（x）＝│x＋ │＋│x－a│（a＞0），（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若 f（3）＜5， 求 a 的取值范围． 【规范解答】 解法 1 （Ⅰ） 由绝对值不等式的几何意义可知：f（x）min＝ a＋ ≥2，当且仅当 a＝1 时取等号， 所以 f（x）≥2． （Ⅱ）因为 f（3）＜5，所以│ ＋3│＋│a－3│＜5 ＋3＋│a－3│＜5 │a－3│＜2－ －2＜a－3＜2－ ，解得： ＜a＜ 解法 2 （Ⅰ） 由 a＞0，有 f（x）＝│x＋ │＋│x－a│≥│x＋ －（x－a）│＝ a＋ ≥2， 当且仅当 a＝1 时取等号，所以 f（x）≥2． （Ⅱ） f（3）＝│3＋ │＋│3－a│ 当 a＞3 时，f（3）＝a＋ ，由 f（3）＜5 得 3＜a＜ 　　　　 当 0＜a≤3 时，f（3）＝6－a＋ ，由 f（3）＜5 得 ＜＜a≤3 综上，a 的取值范围是 ＜a＜ 【总结与反思】　⑴ 本题涉及不等式性质，绝对值不等式等知识点； ⑵ 解法１应用绝对值不等式的几何意义，解法 2 应用绝对值不等式求得； ⑶ 本题涉及不等式思想等数学思想； ⑷ 与前些年高考相比，难度稳定，形式稳定． α α cos sin 3 3 π 2 3 2 3 a 1 a 1 a 1 ⇔ a 1 ⇔ a 1 ⇔ a 1 a 1 2 51+ 2 215 + a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 2 215 + a 1 2 51+ 2 51+ 2 215 + 课程小结 1．几何证明选讲 　　（1）相似三角形（2）会证明和应用以下定理：①直角三角形射影定理；②圆周角定理；③圆的切线 判定定理与性质定理；④相交弦定理；⑤圆内接四边形的性质定理与判定定理；⑥切割线定理. 2.坐标系与参数方程 　　① 了解坐标系的作用② 了解极坐标的基本概念③极坐标方程.④参数方程⑤ 能选择适当的参数写出 直线、圆和椭圆的参数方程. 3．不等式选讲 　　① 理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件： 　　②会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：　　|ax+b|≤c；|ax+b|≥c；|x-a|+|x-b|≥c. 　　③ 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.