【数学】2018届一轮复习苏教版9-1直线的方程教案（江苏专用）

【数学】2018届一轮复习苏教版9-1直线的方程教案（江苏专用）

‎9.1 直线的方程 ‎1.直线的倾斜角 ‎(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.‎ ‎(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0°，180°).‎ ‎2.斜率公式 ‎(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan_α.‎ ‎(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝.‎ ‎3.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y1＝k(x－x1)‎ 不含直线x＝x1‎ 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2)‎ 截距式 ＋＝1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)‎ 平面直角坐标系内的直线都适用 ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.(　√　)‎ ‎(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.(　×　)‎ ‎(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(　×　)‎ ‎(4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　×　)‎ ‎(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(　×　)‎ ‎(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(　√　)‎ ‎1.(2016·常州模拟)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为________.‎ 答案　－ 解析　设P(m,1)，Q(7，n)，‎ 由题意知　解得 所以P(－5,1)，Q(7，－3)，所以k＝＝－.‎ ‎2.直线x－y＋a＝0的倾斜角为________.‎ 答案　60°‎ 解析　化直线方程为y＝x＋a，∴k＝tan α＝.‎ ‎∵0°≤α<180°，∴α＝60°.‎ ‎3.如图所示，直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为__________.‎ 答案　(－∞，－]∪[5，＋∞)‎ 解析　设PA与PB的倾斜角分别为α、β，直线PA的斜率k1＝5，‎ 直线PB的斜率k2＝－.‎ 当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增到90°，斜率的变化范围为[5，＋∞)；‎ 当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角为90°增至β，斜率的变化范围为(－∞，－]，‎ 故直线l的斜率的取值范围是(－∞，－]∪[5，＋∞).‎ ‎4.(教材改编)直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝______.‎ 答案　1或－2‎ 解析　令x＝0，得直线l在y轴上的截距为2＋a；‎ 令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋.‎ 依题意2＋a＝1＋，解得a＝1或a＝－2.‎ ‎5.过点A(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________.‎ 答案　3x＋2y＝0或x－y－5＝0‎ 解析　①当直线过原点时，直线方程为y＝－x，即3x＋2y＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为－＝1，即x－y＝a，将点A(2，－3)代入，得a＝5，即直线方程为x－y－5＝0.故所求直线的方程为3x＋2y＝0或x－y－5＝0.‎ 题型一　直线的倾斜角与斜率 例1　(1)(2016·镇江模拟)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________.‎ ‎(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为__________________.‎ 答案　(1)[0，]∪[，π)‎ ‎(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)‎ 解析　(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.‎ 因为sin α∈[－1,1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，‎ 所以0≤θ≤或≤θ<π.‎ ‎(2)如图，∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，‎ ‎∴k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞).‎ 引申探究 ‎1.若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.‎ 解　∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，)，‎ ‎∴kAP＝＝，kBP＝＝.‎ 如图可知，直线l斜率的取值范围为.‎ ‎2.若将本例(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围.‎ 解　如图，直线PA的倾斜角为45°，‎ 直线PB的倾斜角为135°，‎ 由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°).‎ 思维升华　直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0).‎ ‎　(2016·淮安模拟)若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是________________.‎ 答案　(，)‎ 解析　∵直线l恒过定点(0，－).‎ 作出两直线的图象，如图所示，‎ 从图中看出，直线l的倾斜角的取值范围应为(，).‎ 题型二　求直线的方程 例2　根据所给条件求直线的方程：‎ ‎(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；‎ ‎(2)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；‎ ‎(3)直线过点(5,10)，且直线到原点的距离为5.‎ 解　(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.‎ 设倾斜角为α，则sin α＝(0<α<π)，‎ 从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.‎ 故所求直线方程为y＝±(x＋4).‎ 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.‎ ‎(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a.‎ 若a＝0，即l过点(0,0)及(4,1)，‎ ‎∴l的方程为y＝x，即x－4y＝0.‎ 若a≠0，则设l的方程为＋＝1，‎ ‎∵l过点(4,1)，∴＋＝1，‎ ‎∴a＝5，‎ ‎∴l的方程为x＋y－5＝0.‎ 综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.‎ ‎(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；‎ 当斜率存在时，设其为k，‎ 则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，‎ 即kx－y＋(10－5k)＝0.‎ 由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.‎ 故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.‎ 综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.‎ 思维升华　在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.‎ ‎　求适合下列条件的直线方程：‎ ‎(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；‎ ‎(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－倍；‎ ‎(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且AB＝5.‎ 解　(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，‎ 若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，‎ ‎∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.‎ 若a≠0，则设l的方程为＋＝1，‎ ‎∵l过点(3,2)，∴＋＝1，‎ ‎∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，‎ 综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.‎ ‎(2)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－×3＝－.‎ 又直线经过点A(－1，－3)，‎ 因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，‎ 即3x＋4y＋15＝0.‎ ‎(3)①过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.‎ 解方程组 求得B点坐标为(1,4)，此时AB＝5，即x＝1为所求.‎ ‎②设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为 y＋1＝k(x－1) (k≠－2)，‎ 解方程组 得两直线交点为 则B点坐标为(，).‎ ‎∴(－1)2＋(＋1)2＝52，‎ 解得k＝－，∴y＋1＝－(x－1)，‎ 即3x＋4y＋1＝0.‎ 综上可知，所求直线方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.‎ 题型三　直线方程的综合应用 命题点1　与基本不等式相结合求最值问题 例3　已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.‎ 解　方法一　设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，‎ 把点P(3,2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24，‎ 从而S△AOB＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.‎ 方法二　依题意知，直线l的斜率k存在且k<0.‎ 则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，‎ 且有A，B(0,2－3k)，‎ ‎∴S△ABO＝(2－3k) ‎＝ ‎≥ ‎＝×(12＋12)＝12.‎ 当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立.‎ 即△ABO的面积的最小值为12.‎ 故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.‎ 命题点2　由直线方程解决参数问题 例4　已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值.‎ 解　由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋，当a＝时，面积最小.‎ 思维升华　与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.‎ ‎(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.‎ ‎(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.‎ ‎　设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则PA＋PB的最大值是________.‎ 答案　2 解析　因为m∈R，所以定点A(0,0)，B(1,3)，‎ 又1×m＋m×(－1)＝0，‎ 所以这两条直线垂直，则PA2＋PB2＝AB2＝10，‎ 则PA＋PB＝ ‎≤＝2，‎ 当且仅当PA＝PB时，等号成立.‎ ‎9.求与截距有关的直线方程 典例　设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).‎ ‎(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；‎ ‎(2)若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.‎ 错解展示 现场纠错 解　(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.‎ 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.‎ ‎∴＝a－2，即a＋1＝1.‎ ‎∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.‎ 综上，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.‎ ‎(2)由＝－(a－2)得a－2＝0或a＋1＝－1，‎ ‎∴a＝2或a＝－2.‎ 纠错心得　在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.‎ ‎1.直线x＝的倾斜角等于________.‎ 答案　 解析　由直线x＝，知倾斜角为.‎ ‎2.(2016·无锡模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是________.‎ 答案　x＝2‎ 解析　∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为，‎ 依题意，所求直线的倾斜角为－＝，‎ ‎∴斜率不存在，∴过点(2,1)的所求直线方程为x＝2.‎ ‎3.直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是__________.‎ 答案　(－2,1)‎ 解析　mx－y＋2m＋1＝0，‎ 即m(x＋2)－y＋1＝0.‎ 令得 故定点坐标为(－2,1).‎ ‎4.(2016·徐州模拟)已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是______________.‎ 答案　(－∞，－4]∪[，＋∞)‎ 解析　如图所示，‎ ‎∵kPN＝＝，‎ kPM＝＝－4.‎ ‎∴要使直线l与线段MN相交，当l的倾斜角小于90°时，k≥kPN；‎ 当l的倾斜角大于90°时，k≤kPM.‎ 由已知得k≥或k≤－4.‎ ‎5.(2016·无锡模拟)已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是________.‎ 答案　 解析　设直线AB的倾斜角为2α，则直线l的倾斜角为α，所以0<α<.‎ 又kAB＝tan 2α＝＝＝，‎ 所以tan α＝或tan α＝－3(舍去)，所以k＝.‎ ‎6.(2016·无锡模拟)已知点A(－1,0)，B(cos α，sin α)，且AB＝，则直线AB的方程为________.‎ 答案　x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0‎ 解析　AB＝＝＝，‎ 所以cos α＝，sin α＝±，‎ 所以kAB＝±，即直线AB的方程为y＝±(x＋1)，‎ 即x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.‎ ‎7.若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈∪，则k的取值范围是__________.‎ 答案　[－，0)∪ 解析　当≤α<时，≤tan α<1，∴≤k<1；‎ 当≤α<π时，－≤tan α<0，∴－≤k<0.‎ ‎∴k∈[－，0)∪[，1).‎ ‎8.(2016·苏州模拟)已知直线l1：a(x－y＋2)＋2x－y＋3＝0(a∈R)与直线l2的距离为1，若l2不与坐标轴平行，且在y轴上的截距为－2，则l2的方程为____________.‎ 答案　4x＋3y＋6＝0‎ 解析　由题意可知，直线l1过直线x－y＋2＝0与2x－y＋3＝0的交点P(－1,1)，由两条直线间的距离为1可得，点P到直线l2的距离为1，设l2的方程为y＝kx－2，则 ‎＝1，解得k＝－，故l2的方程为y＝－x－2，即4x＋3y＋6＝0.‎ ‎9.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是________________.‎ 答案　(－∞，－)∪(0，＋∞)‎ 解析　当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合题意.‎ 当a≠－1时，直线l的斜率k＝－，‎ 由题意知－>1或－<0，‎ 解得－10.‎ 综上知，a<－或a>0.‎ ‎10.(2016·泰州模拟)平面上三条直线x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的取值集合为____________.‎ 答案　{0，－1，－2}‎ 解析　直线x－2y＋1＝0与x－1＝0相交于点P(1,1)，当P(1,1)在直线x＋ky＝0上，即k＝－1时满足条件；当直线x－2y＋1＝0与x＋ky＝0平行，即k＝－2时满足条件；当直线x－1＝0与x＋ky＝0平行，即k＝0时满足条件，故实数k的取值集合为{0，－1，－2}.‎ ‎11.已知两点A(－1,2)，B(m,3).‎ ‎(1)求直线AB的方程；‎ ‎(2)已知实数m∈[－－1，－1]，求直线AB的倾斜角α的取值范围.‎ 解　(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1；‎ 当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1).‎ 即x－(m＋1)y＋2m＋3＝0.‎ ‎(2)①当m＝－1时，α＝；‎ ‎②当m≠－1时，m＋1∈[－，0)∪(0，]，‎ ‎∴k＝∈(－∞，－]∪[，＋∞)，‎ ‎∴α∈[，)∪(，].‎ 综合①②知，直线AB的倾斜角α的取值范围为[，].‎ ‎12.已知点P(2，－1).‎ ‎(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；‎ ‎(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？‎ ‎(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.‎ 解　(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过点P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，‎ 此时直线l的斜率不存在，其方程为x＝2.‎ 若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，‎ 即kx－y－2k－1＝0.‎ 由已知得＝2，‎ 解得k＝.‎ 此时l的方程为3x－4y－10＝0.‎ 综上可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.‎ ‎(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图所示.‎ 由l⊥OP，得klkOP＝－1，‎ 所以kl＝－＝2.‎ 由直线方程的点斜式，‎ 得y＋1＝2(x－2)，‎ 即2x－y－5＝0.‎ 所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为＝.‎ ‎(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线.‎ ‎13.如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交 OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程.‎ 解　由题意可得kOA＝tan 45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－，‎ 所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.‎ 设A(m，m)，B(－n，n)，‎ 所以AB的中点C，‎ 由点C在直线y＝x上，且A、P、B三点共线得 解得m＝，所以A(，).‎ 又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，‎ 所以lAB：y＝(x－1)，‎ 即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.‎