浙江省嘉兴市第五高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

浙江省嘉兴市第五高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

嘉兴市第五高级中学2019学年第一学期期中测试 ‎ 高二数学 试题卷 ‎ 命题：邢广柱 审题：熊萍 ‎ 满分[150]分 ，时间[120]分钟 2019年11月 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1. 圆心为，半径为2的圆的方程是 (　▲　)‎ ‎　A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2．椭圆焦点坐标是 （ ▲ ）‎ A. 　 B. C. D. ‎ ‎3.顶点在原点，准线为的抛物线的标准方程是 (　▲　)‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 如图，某简单组合体由一个圆锥和一个圆柱组成，则该组合体三视图的俯视图为(▲ ) ‎ ‎ ‎ ‎（第5题）‎ ‎5．已知某平面图形的直观图是等腰梯形（如下图），其上底长为2，下底长4，底角为，则此平面图形的面积为 ‎ ‎（ ▲ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6. 动点P到点M(1,0)，N(－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是 (　▲　)‎ A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 ‎7. 直线被圆所截得的弦长为 （ ▲ ）‎ A. B. C. 1 D. 2 ‎ ‎8．一动圆过点(0,1)且与定直线l相切，圆心在抛物线上，则l的方程为(　▲　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为( ▲ )‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 已知F为抛物线C：的焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则的最小值为 ( ▲ )‎ A．16 B．14 C．12 D．10‎ 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）‎ ‎11. 若直线的方程为：，则其倾斜角为 ▲ ；直线在轴上的截距为 ▲ ‎ ‎12. 正方体的棱长为1,则其表面积为 ▲ ，其内切球的体积为 ▲ .‎ ‎13. 在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则= ▲ 该双曲线的渐近线方程是 ▲ . ‎ ‎ ‎ ‎14. 一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ；表面积为 ．‎ ‎15.设P为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为_____▲_______.‎ ‎16. 在直角坐标系中，射线关于轴对称，且，在射线上分别有动点满足：，设的重心为.则点的轨迹方程是__________▲__________ ‎ ‎17. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为_____▲_______． ‎ 三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎18. (本题14分)如图，在Rt△ABC中，已知A(-2, 0)，直角顶点B(0, -2‎2‎), 点C(4, 0)‎ ‎（1）求Rt△ABC外接圆的方程;‎ ‎（2）求过点且与Rt△ABC外接圆相切的直线的方程.‎ ‎19.（本题15分）设椭圆过点，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）求过点且斜率的直线被椭圆C所截线段的中点坐标．‎ ‎20. （本题15分）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，‎ 两点，．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．‎ ‎21. （本题15分）从原点O向圆M:‎ ‎(x-x‎0‎)‎‎2‎‎+‎(y-y‎0‎)‎‎2‎=2‎作两条切线，切点分别为P,Q，记切线OP，OQ的斜率分别为k‎1‎，k‎2‎．‎ ‎（1）若圆心M(0,‎3‎)‎，求两切线OP，OQ的方程；‎ ‎（2）若k‎1‎‎⋅k‎2‎=-‎‎1‎‎2‎，求圆心M的轨迹方程．‎ ‎22. （本题15分）已知椭圆的上顶点为，且过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程及其离心率；‎ ‎（2）斜率为的直线与椭圆交于两个不同的点，当直线的斜率之积是不为0的定值时，求此时的面积的最大值．‎ 嘉兴市第五高级中学2019学年第一学期期中测试 ‎ 高二数学 参考答案及评分标准 ‎ 命题人：邢广柱 审核人:熊萍 一：选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1—10 DAADB CBCDA ‎ ‎ ‎ 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）‎ ‎11．‎ ‎12． 6 ‎ ‎13． ‎ ‎14． ‎ ‎15. 12 ‎ ‎16. ‎ ‎17. 2‎ 三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎18.（本题满分14分）‎ 解：(1)所求圆的圆心为(1,0),半径为3,故所求圆的方程为(x-1)2+y2=9. ………7‎ ‎(2)由题意知直线的斜率存在,故设所求直线方程为y=k(x+4)，即kx-y+4k=0.‎ 当圆与直线相切时，有d=‎|5k|‎k‎2‎‎+1‎=3，解得k=±‎3‎‎4‎，‎ 故所求直线方程为y=‎3‎‎4‎(x+4)或y=- ‎3‎‎4‎(x+4),即3x-4y+12=0或3x+4y+12=0…….14.‎ ‎19.（本题满分15分）（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得，∴b = 4，‎ 由，得，∴，‎ ‎∴椭圆C的方程为 …………………………5‎ ‎（2）过点（3，0）且斜率为的直线为，‎ 设直线与椭圆C的交点为，‎ 将直线方程代入椭圆C方程，整理得，…………..10‎ 由韦达定理得，．‎ 由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为，‎ ‎∴所截线段的中点坐标为．………………………….15‎ ‎20. （本题满分15分）‎ ‎（1）由题意得，l的方程为．设，‎ 由得．‎ ‎，故．‎ 所以．‎ 由题设知，解得（舍去），．‎ 因此l的方程为． …………………………7‎ ‎（2）由（1）得AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为，即． ……………………………..10‎ 设所求圆的圆心坐标为，则 解得或 因此所求圆的方程为或．……………15‎ ‎21.（本题满分15分）‎ ‎（1）圆M:‎ x‎2‎‎+‎(y-‎3‎)‎‎2‎=2‎，设切线为y=kx，由相切得‎3‎‎1+‎k‎2‎‎=‎‎2‎，‎ 解得k=±‎‎2‎‎2‎，所以两切线OP，OQ分别为y=‎2‎‎2‎x，y=-‎2‎‎2‎x． …………6 ‎ ‎（2）因为直线OP：y=k‎1‎x，OQ：y=k‎2‎x，与圆M相切，‎ 由直线和圆相切得k‎1‎x‎0‎‎-‎y‎0‎‎1+‎k‎1‎‎2‎‎=k‎2‎x‎0‎‎-‎y‎0‎‎1+‎k‎2‎‎2‎=‎‎2‎， ‎ 整理得k‎1‎‎2‎‎(2-x‎0‎‎2‎)+2k‎1‎x‎0‎y‎0‎+2-y‎0‎‎2‎=0‎，………..(1)‎ k‎2‎‎2‎‎(2-x‎0‎‎2‎)+2k‎2‎x‎0‎y‎0‎+2-y‎0‎‎2‎=0‎‎，………. (2) ‎ 当‎2-x‎0‎‎2‎≠0‎时，k‎1‎，k‎2‎是方程k‎2‎‎(2-x‎0‎‎2‎)+2kx‎0‎y‎0‎+2-y‎0‎‎2‎=0‎的两个不相等的实数根，k‎1‎k‎2‎‎=‎‎2-‎y‎0‎‎2‎‎2-‎x‎0‎‎2‎，因k‎1‎‎⋅k‎2‎=-‎‎1‎‎2‎，则x‎0‎‎2‎‎6‎‎+y‎0‎‎2‎‎3‎=1‎． ‎ 当‎2-x‎0‎‎2‎=0‎时，y‎0‎‎2‎‎=2‎，也满足x‎0‎‎2‎‎6‎‎+y‎0‎‎2‎‎3‎=1‎． ‎ ‎ 因此圆心M的轨迹方程为x‎2‎‎6‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎． …………………………9‎ ‎22．（本题满分15分）‎ ‎（1）由题意可得．‎ 又在椭圆上，所以，解得，‎ 所以椭圆的方程为，‎ 所以，故椭圆的离心率 ……………5‎ ‎（2）设直线的方程为．‎ 由，消去，得，…………8‎ 所以，‎ 设，则． ………… 10‎ ‎，‎ 由题意，为定值，所以，即，解得．‎ 此时 ‎，‎ 点到直线的距离．‎ ‎．‎ 显然，当（此时，满足），即时，取得最大值，最大值为． ………………………… 15‎