高考数学【理科】真题分类详细解析版专题10 圆锥曲线（原卷版）
专题 10 圆锥曲线
【2013 高考真题】
（2013·新课标 I 理）10、已知椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直
线交椭圆于 A、B 两点。若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为 ( )
A、x2
45＋y2
36＝1 B、x2
36＋y2
27＝1 C、x2
27＋y2
18＝1 D、x2
18＋y2
9＝1
（2013·上海理）9．设 AB 是椭圆 的长轴，点 C 在 上，且 ，若
AB=4，
，则 的两个焦点之间的距离为________
（2013·辽宁理）（15）已知椭圆 的左焦点为
.
（2013·福建理）14. 椭圆 的左右焦点分别为 ,焦距为 ，
若直线 与椭圆的一个交点满足 ,则该椭圆的离心率等于
_____
（2013·大纲理）8.椭圆 C： 的左右顶点分别为 ，点 P 在 C 上且直线
斜率的取值范围是 ，那么直线 斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
Γ Γ
4CBA
π∠ =
2BC = Γ
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > >
,F C与过原点的直线相交于 ,A B两点，
4, . 10, 6,cos ABF ,5AF BF AB AF C e= = ∠ =连接 若 则 的离心率 =
( )01: 2
2
2
2
>>=+Γ bab
y
a
x
21, FF c2
( )cxy += 3 1221 2 FMFFMF ∠=∠
2 2
14 3
x y+ = 1 2,A A
2PA [ 2, 1]− − 1PA
1 3[ , ]2 4
3 3[ , ]8 4
1[ ,1]2
3[ ,1]4
（2013·北京理）19. (本小题共 14 分)
已知 A、B、C 是椭圆 W： 上的三个点，O 是坐标原点.
(I)当点 B 是 W 的右顶点，且四边形 OABC 为菱形时，求此菱形的面积.
(II)当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理由.
（2013·江西理）20．（本小题满分 13 分）
如图，椭圆 经过点 P（1. ），离心率 e= ，直线 l 的方程为
x=4.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）AB 是经过右焦点 F 的任一弦（不经过点 P），设直线 AB 与直线 l 相交于点 M，记
PA，PB，PM 的斜率分别为 .问：是否存在常数λ，使得 ？若存在，求λ
的值；若不存在，说明理由.
（2013·山东理）22.（本小题满分 13 分）
椭圆 ： 的左、右焦点分别是 ，离心率为 ，过 且
垂直于 轴的直线被椭圆 截得的线段长为 。
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）点 是椭圆 上除长轴端点外的任一点，连接 ，设 的角平分
线 交 的长轴于点 ，求 的取值范围；
2
2 14
x y+ =
2 2
2 2 1( 0)x yC a ba b
+ = > >：
1 2 3, ,k k k 1 2 3+ =k k kλ
C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 1 2,F F 2
3
1F
x C 1
C
P C 1 2,PF PF 1 2F PF∠
PM C ( ),0M m m
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点 作斜率为 的直线 ,使 与椭圆 有且只有一个公
共点，设直线的 斜率分别为 。若 ，试证明 为定值，并求出这
个定值。
（2013·浙江理）9.如图， 是椭圆 与双曲线 的公共焦点，
分别是 ， 在第二、四象限的公共点。若四边形 为矩形，则 的离心率
是（ ）
A. B. C. D.
（2013·浙江理）21.如图，点 是椭圆 的一个顶点，
的长轴是圆 的直径. 是过点 且互相垂直的两条直线，其中 交圆
于两点， 交椭圆 于另一点
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）求 面积取最大值时直线 的方程.
P k l l C
1 2,PF PF 1 2,k k 0k ≠
1 2
1 1
kk kk
+
21, FF 14: 2
2
1 =+ yxC 2C
BA, 1C 2C 21BFAF 2C
2 3 2
3
2
6
)1,0( −P )0(1: 2
2
2
2
1 >>=+ bab
y
a
xC
1C 4: 22
2 =+ yxC 21,ll P 1l
2C 2l 1C D
1C
ABD∆ 1l
（2013·新课标Ⅱ理） (20)(本小题满分 12 分)
平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 过 椭 圆 M ： 右 焦 点 的 直 线
交 于 A,B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 .
(Ι)求 M 的方程；
（Ⅱ）C,D 为 M 上的两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB，求四边形面积的最大值
（2013·新课标 I 理）(20)(本小题满分 12 分)
已知圆 M：(x＋1)2＋y2=1，圆 N：(x－1)2＋y2=9，动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，圆心 P
的轨迹
为曲线 C
（Ⅰ）求 C 的方程；
（Ⅱ）l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半
径最长时，求|AB|.
（2013·新课标 I 理）4、已知双曲线 C:x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 5
2 ，则 C 的渐
近线方程为 ( )
A、y=±1
4x （B）y=±1
3x （C）y=±1
2x （D）y=±x
（ 2013 · 天 津 理 ） 5. 已 知 双 曲 线 的 两 条 渐 近 线 与 抛 物 线
的准线分别交于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的
面积为 , 则 p = （ ）
(A) 1 (B) (C) 2 (D) 3
（2013·陕西理）10. 设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y, 有 （ ）
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
3 0x y+ − = M
1
2
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
2 2 ( 0)px py = >
3
3
2
(A) [－x] ＝ －[x] (B) [2x] ＝ 2[x]
(C) [x＋y]≤[x]＋[y] (D) [x－y]≤[x]－[y]
（2013·湖南理）14．设 是双曲线 的两个焦点，P 是 C
上一点，若 且 的最小内角为 ，则 C 的离心率为___。
（2013·广东理）10．若曲线 在点 处的切线平行于 轴,则 ______.
（2013·广东理）7．已知中心在原点的双曲线 的右焦点为 ,离心率等于 ,在双曲
线 的方程是 ( )
A . B． C． D．
（2013·福建理）3.双曲线 的顶点到渐进线的距离等于（ ）
A. B. C. D.
（2013·北京理）6.若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为
A.y=±2x B.y= C. D.
（2013·安徽理）（13）已知直线 交抛物线 于 两点。若该抛物线上存在点
，使得 为直角，则 的取值范围为___________。
1 2,F F
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > >
21 6 ,PF PF a+ = 1 2PF F∆ 30
C ( )3,0F
3
2
C
2 2
14 5
x y− = 2 2
14 5
x y− =
2 2
12 5
x y− =
2 2
12 5
x y− =
14
2
2
=− yx
5
2
5
4
5
52
5
54
ay = 2xy = ,A B
C ACB∠ a
lny kx x= + ( )1,k x k =
2 2
2 2 1x y
a b
− = 3
2x± 1
2y x= ± 2
2y x= ±
（2013·大纲理）21.（本小题满分 12 分）
已知双曲线 C： （a>0,b>0）的左、右焦点分别为 、 ，离心率为 3，直
线 y=2 与 C 的两个交点间的距离为 .
（Ⅰ）求 a,b；
（Ⅱ）设过 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A、B 两点，且 ，证明：
、 、 成等比数列.
（2013·上海理）22．（3 分+5 分+8 分）如图，已知曲线 ，曲线
，P 是平面上一点，若存在过点 P 的直线与 都有公共点，则称 P 为
“C1—C2 型点”．
(1)在正确证明 的左焦点是“C1—C2 型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写
出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
(2)设直线 与 有公共点，求证 ，进而证明原点不是“C1—C2 型点”；
(3)求证：圆 内的点都不是“C1—C2 型点”．
（2013·上海理）7．在极坐标系中，曲线 与 的公共点到极点的距
离为__________
2 2
2 2 1x y
a b
− = 1F 2F
6
2F 1 1| | | |AF BF=
2| |AF | |AB 2| |BF
2
2
1 : 12
xC y− =
2 :| | | | 1C y x= + 1 2,C C
1C
y kx= 2C | | 1k >
2 2 1
2x y+ =
cos 1ρ θ= + cos 1ρ θ =
（2013·山东理）11.抛物线 ： (p＞0)的焦点与双曲线 ： 的右
焦点的连线交 于第一象限的点 。若 在点 处的切线平行于 的一条渐近线。则
A. B. C. D.
（2013·江西理）14．抛物线 x2=2py（p＞0）的焦点为 F，其准线与双曲线 - =1 相交
于 A，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则 p=___________.
（2013·大纲理）11.已知抛物线 C： 与点 M（-2,2），过 C 的焦点且斜率为 k 的直
线与 C 交于 A，B 两点，若 ，则 k=（ ）
A． B． C． D．2
（2013·新课标Ⅱ理）（11）设抛物线 的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|=5,
若以 MF 为直径的圆过点（0，2），则 C 的方程为
（A） 或 （B） 或
（C） 或 （D） 或
（2013·北京理）7.直线 l 过抛物线 C: x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的
图形的面积等于（ ）
A. B.2 C. D.
1C 2
2
1 xpy = 2C 13
2
2
=− yx
1C M 1C M 2C
p =
16
3
8
3 2 3
3 3
34
2 8y x=
0MA MB• =
1
2
2
2 2
2 2 ( 0)y px p= >
2 4y x= 2 8y x= 2 2y x= 2 8y x=
2 4y x= 2 16y x= 2 2y x= 2 16y x=
4
3
8
3
16 2
3
（2013·浙江理）15、设 为抛物线 的焦点，过点 的直线 交抛
物线 于两点 ，点 为线段 的中点，若 ，则直线的斜率等于________。
（2013·福建理）18.（本小题满分 13 分）
如图，在正方形 中， 为坐标原点，点 的坐标为 ，点 的坐标为
，分别将线段 和 十等分，分点分别记为 和 ，连接 ，
过 作 轴的垂线与 交于点 。
（1）求证：点 都在同一条抛物线上，并求抛物线 的方程；
（2）过点 作直线 与抛物线 E 交于不同的两点 , 若 与 的面积之
比为 4:1，求直线 的方程。
（2013·广东理）20．（本小题满分 14 分）
已知抛物线 的顶点为原点,其焦点 到直线 : 的距离为
.设 为直线 上的点,过点 作抛物线 的两条切线 ,其中 为切点.
F xyC 4: 2 = )0,1(−P l
C BA, Q AB 2|| =FQ
OABC O A ( )0,10 C
( )10,0 OA AB 921 ,,, AAA ⋅⋅⋅ 921 ,,, BBB ⋅⋅⋅ iOB
iA x iOB ( )91*, ≤≤∈ iNiPi
( )91*, ≤≤∈ iNiPi E
C l NM , OCM∆ OCN∆
l
C ( )( )0, 0F c c > l 2 0x y− − =
3 2
2 P l P C ,PA PB ,A B
(Ⅰ) 求抛物线 的方程；
(Ⅱ) 当点 为直线 上的定点时,求直线 的方程；
(Ⅲ) 当点 在直线 上移动时,求 的最小值.
（2013·湖南理）21．（本小题满分 13 分）
过抛物线 的焦点 F 作斜率分别为 的两条不同的直线 ，且
， 相交于点 A，B， 相交于点 C，D。以 AB，CD 为直径的圆 M，
圆 N（M，N 为圆心）的公共弦所在的直线记为 。
（I）若 ，证明； ；
（II）若点 M 到直线 的距离的最小值为 ，求抛物线 E 的方程。
（2013·辽宁理）20．（本小题满分 12 分）
如图，抛物线
（I） ；
（II）
C
( )0 0,P x y l AB
P l AF BF⋅
2: 2 ( 0)E x py p= > 1 2,k k 1 2,l l
1 2 2k k+ = 1l E与 2l E与
l
1 20, 0k k> > 22FM FN P<
l 7 5
5
( ) ( )2 2
1 2 0 0 2: 4 , : 2 0 . ,C x y C x py p M x y C= = − > 点 在抛物线 上，
1M C过 作 ( ) 0, , . 1 2A B M O A B O x = −的切线，切点为 为原点 时， 重合于 当 时，
1 .2MA切线 的斜率为-
求p的值
2M C AB N当 在 上运动时，求线段 中点 的轨迹方程
【2012 高考真题】
1．（2012·江苏卷） 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x2
m－ y2
m2＋4＝1 的离心率为 5，
则 m 的值为________．
2．（2012·湖南卷） 已知双曲线 C：x2
a2－y2
b2＝1 的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上，
则 C 的方程为( )
3．（2012·全国卷） 已知 F1、F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，
|PF1|＝2|PF2|，则 cos∠F1PF2＝( )
A.1
4 B.3
5
C.3
4 D.4
5
4．（2012·课标全国卷） 等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2＝
16x 的准线交于 A，B 两点，|AB|＝4 3，则 C 的实轴长为( )
A. 2 B．2 2 C．4 D．8
5．（2012·上海卷） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C1：2x2－y2＝1.
(1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的
( ), , .A B O O重合于 时 中点为
三角形的面积；
(2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点．若 l 与圆 x2＋y2＝1 相切，求证：OP⊥OQ；
(3)设椭圆 C2：4x2＋y2＝1，若 M、N 分别是 C1、C2 上的动点，且 OM⊥ON，求证：O
到直线 MN 的距离是定值．
6．（2012·湖北卷） 如图 1－5 所示，双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a，b>0)的两顶点为 A1，A2，虚
轴两端点为 B1，B2，两焦点为 F1，F2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2，切点分别
为 A，B，C，D.则
(1)双曲线的离心率 e＝________；
(2)菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值S1
S2＝________.
图 1－5
7．（2012·四川卷） 已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，并且经过点 M(2，
y0)，若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3，则|OM|＝( )
A．2 2 B．2 3
C．4 D．2 5
8．（2012·陕西卷） 图 1－4 是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面
宽 4 米，水位下降 1 米后，水面宽________米．
图 1－4
9．（2012·安徽卷） 过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，O 为坐
标原点．若|AF|＝3，则△AOB 的面积为( )
A.
2
2 B. 2 C.3 2
2 D．2 2
10．（2012·浙江卷） 定义：曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l
的距离．已知曲线 C1：y＝x2＋a 到直线 l：y＝x 的距离等于曲线 C2：x2＋(y＋4)2＝2 到直线
l：y＝x 的距离，则实数 a＝________.
11．（2012·山东卷） 在平面直角坐标系 xOy 中，F 是抛物线 C：x2＝2py(p>0)的焦点，
M 是抛物线 C 上位于第一象限内的任意一点，过 M，F，O 三点的圆的圆心为 Q，点 Q 到
抛物 C 的准线的距离为3
4.
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)是否存在点 M，使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M？若存在，求出点 M 的坐标；
若不存在，说明理由；
(3)若点 M 的横坐标为 2，直线 l2：y＝kx＋1
4与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，l 与
圆 Q 有两个不同的交点 D，E，求当1
2≤k≤2 时，|AB|2＋|DE|2 的最小值．
12．（2012·课标全国卷）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2＝
16x 的准线交于 A，B 两点，|AB|＝4 3，则 C 的实轴长为( )
A. 2 B．2 2 C．4 D．8
13．（2012·全国卷）已知抛物线 C：y＝(x＋1)2 与圆 M：(x－1)2＋(y－1
2 )2＝r2(r>0)有一
个公共点 A，且在 A 处两曲线的切线为同一直线 l.
(1)求 r；
(2)设 m、n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线，m、n 的交点为 D，求 D 到 l 的距
离．
14．（2012·湖南卷）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 上的点均在圆 C2：(x－5)2＋y2＝9
外，且对 C1 上任意一点 M，M 到直线 x＝－2 的距离等于该点与圆 C 2 上点的距离的最小
值．
(1)求曲线 C1 的方程；
(2)设 P(x0，y0)(y0≠±3)为圆 C2 外一点，过 P 作圆 C2 的两条切线，分别与曲线 C1 相交于
点 A，B 和 C，D.证明：当 P 在直线 x＝－4 上运动时，四点 A，B，C，D 的纵坐标之积为
定值．
15．（2012·北京卷）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y2＝4x 的焦点 F，且与该抛
物线相交于 A，B 两点，其中点 A 在 x 轴上方，若直线 l 的倾斜角为 60°，则△OAF 的面积
为________．
.
16．（2012·课标全国卷）设抛物线 C：x2＝2py(p>0)的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上一
点，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点．
(1)若∠BFD＝90°，△ABD 的面积为 4 2，求 p 的值及圆 F 的方程；
(2)若 A、B、F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，
求坐标原点到 m，n 距离的比值．
17．（2012·重庆卷）过抛物线 y2＝2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A、B 两点，若|AB|＝25
12，
|AF|＜|BF|，则|AF|＝________.
18．（2012·重庆卷）如图 1－3，设椭圆的中心为原点 O，长轴在 x 轴上，上顶点为 A，
左、右焦点分别为 F1，F2，线段 OF1，OF2 的中点分别为 B1，B2，且△AB1B2 是面积为 4 的
直角三角形．
图 1－3
(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过 B1 作直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，使 PB2⊥QB2，求直线 l 的方程．
19．（2012·天津卷）设椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为 A，B，点 P 在椭圆
上且异于 A，B 两点，O 为坐标原点．
(1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为－1
2，求椭圆的离心率；
(2)若|AP|＝|OA|，证明直线 OP 的斜率 k 满足|k|＞ 3.
20．（2012·山东卷）在平面直角坐标系 xOy 中，F 是抛物线 C：x2＝2py(p>0)的焦点，M
是抛物线 C 上位于第一象限内的任意一点，过 M，F，O 三点的圆的圆心为 Q，点 Q 到抛物
C 的准线的距离为3
4.
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)是否存在点 M，使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M？若存在，求出点 M 的坐标；
若不存在，说明理由；
(3)若点 M 的横坐标为 2，直线 l2：y＝kx＋1
4与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，l 与
圆 Q 有两个不同的交点 D，E，求当1
2≤k≤2 时，|AB|2＋|DE|2 的最小值．
21．（2012·湖南卷）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 上的点均在圆 C2：(x－5)2＋y2＝9
外，且对 C1 上任意一点 M，M 到直线 x＝－2 的距离等于该点与圆 C 2 上点的距离的最小
值．
(1)求曲线 C1 的方程；
(2)设 P(x0，y0)(y0≠±3)为圆 C2 外一点，过 P 作圆 C2 的两条切线，分别与曲线 C1 相交于
点 A，B 和 C，D.证明：当 P 在直线 x＝－4 上运动时，四点 A，B，C，D 的纵坐标之积为
定值．
22．(2012·湖北卷)设 A 是单位圆 x 2＋y2＝1 上的任意一点，l 是过点 A 与 x 轴垂直的直
线，D 是直线 l 与 x 轴的交点，点 M 在直线 l 上，且满足|DM|＝m|DA|(m>0，且 m≠1)．当点
A 在圆上运动时，记点 M 的轨迹为曲线 C.
(1)求曲线 C 的方程，判断曲线 C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
(2)过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P，Q 两点，其中 P 在第一象限，它在 y 轴上
的射影为点 N，直线 QN 交曲线 C 于另一点 H.是否存在 m，使得对任意的 k>0，都有
PQ⊥PH？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由．
23．（2012·湖北卷）如图 1－5 所示，双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a，b>0)的两顶点为 A1，A2，虚
轴两端点为 B1，B2，两焦点为 F1，F2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2，切点分别
为 A，B，C，D.则
(1)双曲线的离心率 e＝________；
(2)菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值S1
S2＝________.
24．（2012·广东卷）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的离心
率 e＝ 2
3，且椭圆 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)在椭圆 C 上，是否存在点 M(m，n)，使得直线 l：mx＋ny＝1 与圆 O：x2＋y2＝1 相交
于不同的两点 A、B，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及对应的△OAB 的
面积；若不存在，请说明理由．
25．（2012·北京卷）已知曲线 C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．
(1)若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，求 m 的取值范围；
(2)设 m＝4，曲线 C 与 y 轴的交点为 A，B(点 A 位于点 B 的上方)，直线 y＝kx＋4 与曲
线 C 交于不同的两点 M，N，直线 y＝1 与直线 BM 交于点 G.求证：A，G，N 三点共线．
26．（2012·安徽卷）如图 1－5，点 F 1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)
的左、右焦点，过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 P，过点 F2 作直线 PF2 的垂
线交直线 x＝a2
c 于点 Q.
(1)如果点 Q 的坐标是(4,4)，求此时椭圆 C 的方程；
(2)证明：直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点．
27．（2012·北京卷）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y2＝4x 的焦点 F，且与该抛
物线相交于 A，B 两点，其中点 A 在 x 轴上方，若直线 l 的倾斜角为 60°，则△OAF 的面积
为________．
28．（2012·福建卷）如图 1－4，椭圆 E：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F1，右焦点为 F2，
离心率 e＝1
2，过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点，且△ABF2 的周长为 8.
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)设动直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P，且与直线 x＝4 相交于点 Q.
试探究：在坐标平面内是否存在定点 M，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M？若存在，求出点
M 的坐标；若不存在，说明理由．
图 1－4
29．（2012·课标全国卷）设抛物线 C：x2＝2py(p>0)的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上一
点，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点．
(1)若∠BFD＝90°，△ABD 的面积为 4 2，求 p 的值及圆 F 的方程；
(2)若 A、B、F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，
求坐标原点到 m，n 距离的比值．
30．（2012·课标全国卷）设点 P 在曲线 y＝ 1
2ex 上，点 Q 在曲线 y＝ln(2x)上，则|PQ|的
最小值为( )
A．1－ln2 B. 2(1－ln2)
C．1＋ln2 D. 2(1＋ln2)
31．（2012·辽宁卷）如图 1－7，椭圆 C0：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0，a，b 为常数)，动圆 C1：
x2＋y2＝t21，b＜t1＜a.点 A1，A2 分别为 C0 的左，右顶点．C1 与 C0 相交于 A，B，C，D 四
点．
(1)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程；
(2)设动圆 C2：x2＋y2＝t 22与 C0 相交于 A′，B′，C′，D′四点，其中 b＜t2＜a，t1≠t2.若矩形
ABCD 与矩形 A′B′C′D′的面积相等．证明：t21＋t 22为定值．
32．（2012·浙江卷）如图 1－6，椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的离心率为1
2，其左焦点到点
P(2,1)的距离为 10.不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，且线段 AB 被直线 OP 平
分．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)求△ABP 面积取最大值时直线 l 的方程．
33．（2012·江西卷）已知三点 O(0,0)，A(－2,1)，B(2，1)，曲线 C 上任意一点 M(x，y)
满足|MA→
＋MB→
|＝OM→
·(OA→
＋OB→
)＋2.
(1)求曲线 C 的方程；
(2)动点 Q(x0，y0)(－2
6 1r = −
2 2x y =1 P 464 36
− 上一点 到双曲线右焦点的距离是 ，那么点
设 P 到左准线的距离是 d，由第二定义，得 ，解得 .
(2011 年高考全国卷理科 15)已知 F1、F2 分别为双曲线 C: - =1 的左、右焦点，
点 A∈C，点 M 的坐标为(2，0)，AM 为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = .
【答案】6
【解析】 ，由角平分线的性质得
又
(2011 年高考安徽卷理科 21)（本小题满分 13 分）
设 ，点 的坐标为（1,1），点 在抛物线 上运动，点 满足 ，
经过 点与 轴垂直的直线交抛物线于点 ，点 满足 ,求点 的轨迹方程
[
【解析】由 知 Q,M,P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上，故可设 ，
， ，则 ，即
①
再设 ,由 ，即 ，解得
②
将①代入②式，消去 得
③
又点 B 在抛物线 上，所以 ，再将③式代入得
20 10
8d
= 16d =
2
9
x 2
27
y
1 2( 6,0), (6,0)F F−
1 1
2 2
8 24
AF F M
AF MF
= = =
1 2 2 3 6AF AF− = × = 2 6AF∴ =
λ > 0 A B y x2= Q BQ QAλ=
Q x M P QM MPλ= P
QM MPλ= ( , )P x y
( , )Q x y0 ( , )M x x2 ( )x y y xλ2 2
0− = −
( ) ( )y x y x x yλ λ λ2 2 2
0 = − − = 1+ −
( , )B x y1 1 BQ QAλ= ( , ) ( , )x x y y x yλ1 0 1 0− − = 1− 1−
( )
( )
x x
y y
λ λ
λ λ
1
1 0
= 1+ −
= 1+ −
y0
( )
( ) ( )
x x
y x y
λ λ
λ λ λ λ
1
2 2
1
= 1+ −
= 1+ − 1+ −
y x2= y x2
1 1=
，即
，即
，因为 ，等式两边同时约去 得
这就是所求的点 的轨迹方程。
(2011 年高考浙江卷理科 21)（本题满分 15 分）已知抛物线 : ，圆 :
的圆心为点 M
（Ⅰ）求点 M 到抛物线 的准 线的距离；
（Ⅱ）已知点 P 是抛物线 上一点（异于原点），过点 P 作圆 的两条切线，交抛物线
于 A，B 两点，若过 M，P 两点的直线 垂直于 AB，求直线 的方程
【解析】（Ⅰ）由 得准 线方程为 ，由 得 M ，点 M
到抛物线 的准 线的距离为
（Ⅱ）设点 ， ， 由题意得 设
过点 的圆 的切线方程为 即 ① 则
即 设 ， 的斜率为
（ ）则 是上述方
( ) ( ) [( ) ]x y xλ λ λ λ λ λ2 2 21+ − 1+ − = 1+ −
( ) ( ) ( ) ( )x y x xλ λ λ λ λ λ λ λ2 2 2 2 21+ − 1+ − = 1+ − 2 1+ +
( ) ( ) ( )x yλ λ λ λ λ λ2 1+ − 1+ − +1 = 0 λ > 0 ( )λ λ1+
x y2 − −1= 0
P
1C 2x y= 2C
2 2( 4) 1x y+ − =
1c
1c 2c
1c l l
2x y= 1
4y = − 2 2( 4) 1x y+ − = (0,4)
1c 1 174 ( )4 4
− − =
2
0 0( , )P x x 2
1 1( , )A x x 2
2 2( , )B x x 0 00, 1,x x≠ ≠ ± 1 2x x≠
P 2C 2
0 0( )y x k x x− = − 2
0 0y kx x kx= + −
2
0 0
2
| 4 | 1
1
kx x
k
+ − =
+
2 2 2 2 2
0 0 0 0( 1) 2 (4 ) ( 4) 1 0x k x x k x− − − + − − = PA PB 1 2,k k
1 2k k≠ 1 2,k k
程的两个不相等的根， 将代入①
得
直线 的方程为 .
(2011 年高考广东卷理科 19)设圆 C 与两圆 中 的
一个内切，另一个外切.
（1）求 C 的圆心轨迹 L 的方程.
（2）已知点 且 P 为 L 上动点，求 的最大值
及此时点 P 的坐标.
【解析】（1）解：设 C 的圆心的坐标为 ，由题设条件知
化简得 L 的方程为
2
0 0
1 2 2
0
2 (4 ) ,1
x xk k x
−+ = −
2 2
0
1 2 2
0
( 4) 1
1
xk k x
− −⋅ = −
2y x=
23 23( , )5 5
±
l 3 115 4115y x= ± +
2 2 2 25 4, 5 4x y x y+ = − + =（ + ） （ ）
3 5 4 5( ) 55 5M F， ，（ ，0）， MP FP−
( , )x y
2 2 2 2| ( 5) ( 5) | 4,x y x y+ + − − + =
2
2 1.4
x y− =
（2）解：过 M，F 的直线 方程为 ，将其代入 L 的方程得
解得
因 T1 在线段 MF 外，T2 在线段 MF 内，故
，若 P 不在直线 MF 上，在
中有
故 只在 T1 点取得最大值 2。
(2011 年高考陕西卷理科 17)（本小题满分 12 分）
如图，设 是圆珠笔 上的动点，点 D 是 在 轴上的投影，M 为 D 上
一点，且
（Ⅰ）当 的在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程；
l 2( 5)y x= − −
215 32 5 84 0.x x− + =
1 2 1 2
6 5 14 5 6 5 2 5 14 5 2 5, , ( , ), ( , ).5 15 5 5 15 15x x l L T T= = −故 与 交点为
1 1| | | | | | 2,MT FT MF− = =
2 2| | | | | | 2.MT FT MF− < = MFP∆
| | | | | | 2.MP FP MF− < =
| | | |MP FP−
P 2 2 25x y+ = P x P
4
5MD PD=
P
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度。
即 。
线段 AB 的长度为
注：求 AB 长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样给分。
(2011 年高考重庆卷理科 20)（本小题满分 12 分，第一问 4 分，第二问 8 分）
如图（20），椭圆的中心为原点 O，离心率 ，一条准线的方 程为 。
（Ⅰ）求该椭圆的标准 方程。
（Ⅱ）设动点 P 满足 ,其 中 M,N 是椭圆上的点。直线 OM 与 ON 的斜
率之积为 。问：是否存在两个定点 ，使得 为定值。若存在，求
的坐标；若不存在，说明理由。
解析：（Ⅰ）由 ，解得 ，
故椭圆的标准方程为
（Ⅱ）设 ， ,则由 得
，即 ，
4
5
2 3 8 0x x+ − = 1 2
3 41 3 41,2 2x x
− +∴ = =
∴ 2 2 2
1 2 1 2 1 2
16( ) ( ) (1 )( )25AB x x y y x x= − + − = + −
41 414125 5
= × =
2
2e = 2 2x =
2OP OM ON= +
1
2
− 1 2F F、 1 2PF PF+ 1 2F F、
22 , 2 22
a ae c c
= = = 2 2 22, 2, 2a c b a c= = = − =
2 2
14 2
x y+ =
( ),P x y ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 2OP OM ON= +
( ) ( ) ( )1 1 2 2, , 2 ,x y x y x y= + 1 2 1 22 , 2x x x y y y= + = +
因为点 M,N 在椭圆 上，所以
故
，
设 分别为直线 OM，ON 的斜率，由题意知，
，因此 ，
所以 ，
所以 P 点是椭圆 上的点，设该椭圆的左右焦点为 ，则由
椭圆的定义， 为定值，又因 ，因此两焦点的坐
标分别为
(2011 年高考四川卷理科 21) (本小题共 l2 分)
椭圆有两顶点 A(-1，0)、B(1 ，0)，过其焦点 F(0，1)的直线 l 与椭圆交于 C、D 两
点，并与 x 轴交于点 P．直线 AC 与直线 BD 交于点 Q．
(I)当| CD | = 时，求直线 l 的方程；
(II)当点 P 异于 A、B 两点时，求证： 为定值.
2 2
14 2
x y+ = 2 2 2 2
1 1 2 22 4, 2 4x y x y+ = + =
( ) ( )2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 22 4 4 2 4 4x y x x x x y y y y+ = + + + + +
( ) ( ) ( )2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 22 4 2 4 2x y x y x x y y= + + + + +
( )1 2 1 220 4 2x x y y= + +
,OM ONk k
1 2
1 2
1= =- 2OM ON
y yk k x x 1 2 1 22 =0x x y y+
2 22 20x y+ =
( ) ( )
2 2
2 2 1
2 5 10
x y+ = 1 2F F、
1 2PF PF+ ( ) ( )2 2
2 5 10 10c = + =
( ) ( )1 210,0 10,0F F− 、
3 22
OP OQ•
(2011 年高考全国卷理科 21)已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 在 y 轴正半轴上
的焦点，过 F 且斜率为 的直线 与 C 交与 A、B 两点，点 P 满 足
(Ⅰ)证明：点 P 在 C 上；（Ⅱ）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，
证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上.
【解析】： (Ⅰ)证明：由 ， ，
由
设
， ，
，
， 故点 P 在 C 上
2
2: 12
yC x + =
- 2 l 0.OA OB OP+ + =
2
2 1 (0,1)2
yx F+ = 得 : 2 1l y x= − +
22
2
1 2
4 2 2 1 0
12
y x
x xyx
= − − − =
+ =
得
1 1 1 1 1
2 2 8 4 4 ( 1)( , ), ( , ), 2 4A x y B x y x
− − × × −= ×则
2 6
4
−= 2
2 2 8 4 4 ( 1) 2 6
2 4 4x
+ − × × − += =×
1
2 6 3 12 14 2y
− += − × + =
2
2 6 1 32 14 2y
+ −= − × + = 0.OA OB OP+ + =
1 2
1 2
2( ) 2
( ) 1
p
p
x x x
y y y
= − + = −∴
= − + = −
2 2
2 22 1( ) 12 2 2
p
p
yx + = − + =
（Ⅱ）法一：点 P ， P 关于点 O 的对称点为 Q， ，
，即 ，
同理 即 ， A、P、B、Q 四点在同一
圆上.
法二：由已知有 则 的中垂线为： 设 、 的中点为
∴
∴ 则 的中垂线为：
则 的中垂线与 的中垂线的交点为 ∴
到直线 的距离为
∴ 即
∴ 、 、 、 四点在同一圆上。
(2011 年高考北京卷理科 19)（本小题共 14 分）
已知椭圆 .过点（m,0）作圆 的切线 I
2( , 1)2
− −
2( ,1)2Q∴
2
2
1 1 1
2 2
11 1
3 1( ) 11 1 1 2 112 2 2 6 1( )22 2 4 2
AQ AP
y y yK K
xx x
+ −− − − −= ⋅ = = = −
−−− − − −
90PAQ∠ =
1PB BQK K = − 90PBQ∠ = ∴ 180PAQ PBQ∠ + ∠ =
1,2
2Q PQ xy 2
2−= A B
( )33, yxD
( ) ( )
=+−++−=+=
=+=
2
1
2
1212
2
4
2
2
1121
3
21
3
xxyyy
xxx
2
1,4
2D AB
4
1
2
2 += xy
PQ AB
−
8
1,8
2'O
8
113|||| '' == QOPO
−
8
1,8
2'O AB
8
33
3
|18
1
8
22|
=
−+
−×
=d
( ) ( ) ( )[ ]
2
2343|| 21
2
21
2
21
2
21 =−+=−+−= xxxxyyxxAB
8
113
2
|||||| 2
2
'' =+
== dABBOAO |||||||| '''' QOPOBOAO ===
A P B Q
2
2: 14
xG y+ = 2 2 1x y+ =
交椭圆 G 于 A，B 两点.
（I）求椭圆 G 的焦点坐标和离心率；
（II）将 表示为 m 的函数，并求 的最大值.
此时
当 m=－1 时，同理可得
当 时，设切线 l 的方程为
由
设 A、B 两点的坐标分别为 ，则
又由 l 与圆
所以
AB AB
3|| =AB
3|| =AB
1|| >m ),( mxky −=
0448)41(
.14
),(
22222
2
2 =−+−+
=+
−=
mkmxkxk
yx
mxky
得
),)(,( 2211 yxyx
2
22
212
2
21 41
44,41
8
k
mkxxk
mkxx +
−=+=+
.1,1
1
||,1 222
2
22 +==
+
=+ kkm
k
kmyx 即得相切
2
12
2
12 )()(|| yyxxAB −+−=
]41
)44(4
)41(
64)[1( 2
22
22
4
2
k
mk
k
mkk +
−−++=
2
由于当 时，
所以 .
因为
且当 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为 2.
【2010 年高考真题】
（2010 浙江理数）（8）设 、 分别为双曲线 的左、右焦点.
若在双曲线右支上存在点 ，满足 ，且 到直线 的距离等于双曲线的实
轴长，则该双曲线的渐近线方程为
（A） （B） （C） （D）
解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出 a 与 b 之间的等量关
系。
答案：C
（2010 全国卷 2 理数）（12）已知椭圆 的离心率为 ，过
右焦点 且斜率为 的直线与 相交于 两点．若 ，则
（A）1 （B） （C） （D）2
【答案】B
【解析】设直线 l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过 A，B 分别作 AA1，BB1 垂直于 l，
A1，B 为垂足，过 B 作 BE 垂直于 AA1 与 E，由第二定义得， ，
由 ， 得 ， ∴
.3
||34
2 +=
m
m
3±=m ,3|| =AB
),1[]1,(,3
||34|| 2
+∞−−∞∈+= mm
mAB
,2
||
3||
34
3
||34|| 2
≤
+
=+=
mmm
mAB
3±=m
1F 2F
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = ＞ ＞
P 2 1 2PF F F= 2F 1PF
3 4 0x y± = 3 5 0x y± = 4 3 0x y± = 5 4 0x y± =
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = ＞ ＞ 3
2
F ( 0)k k＞ C A B、 3AF FB= k =
2 3
即 k= ，故选 B.
（2010 辽宁理数） (9)设双曲线的—个焦点为 F；虚轴的—个端点为 B，如果直线 FB
与该双曲线的一条渐 近线垂直，那么此双曲线的离心率为
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
（2010 辽宁理数）(7)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F，准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A
为垂足．如果直线 AF 的斜率为 ,那么|PF|=
(A) (B)8 (C) (D) 16
【答案】B
【解析】抛物线的焦点 F（2，0），直线 AF 的方程为 ，所以点
、 ，从而|PF|=6+2=8
（2010 重庆理数）（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线
且平行于另一条直线的平面内的轨迹是
A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线
解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除 A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除 B
答案：D
（2010 四川理数）（9）椭圆 的右焦点 ，其右准线与 轴的交
2 3 3 1
2
+ 5 1
2
+
- 3
4 3 8 3
3( 2)y x= − −
( 2,4 3)A − (6,4 3)P
2 2
2 2 1( )x y a ba b
+ = > > 0 F x
点为 A，在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
解析：由题意，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 ，
即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等
答案：D
（2010 天津理数）(5)已知双曲线 的一条渐近线方程是 y=
,它的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题。
F
20, 2
10,2
)2 1,1 − 1,12
F
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
3x 2 24y x=
2 2
136 108
x y− =
2 2
19 27
x y− =
2 2
1108 36
x y− =
2 2
127 9
x y− =
依题意知 ，所以双曲线的方程为
（2010 山东理数）(7)由曲线 y= ,y= 围成的封闭图形面积为
（A） (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为 ,故选 A。
（2010 安徽理数）5、双曲线方程为 ，则它的右焦点坐标为
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】双曲线的 ， ， ，所以右焦点为 .
（2010 湖北理数）9.若直线 y=x+b 与曲线 有公共点，则 b 的取值范围
是
【答案】C
【解析】曲线方程可化简为 ，即表示圆心为（2，3）半
径为 2 的半圆，依
据数形结合，当直线 与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线 y=x+b 距
离等于 2，解得
，因为是下半圆故可得 （舍），当直线过（0，3）
2 2
2 2 2
3
6 9, 27
b
a
c a b
c a b+
=
= ⇒ = =
=
2 2
19 27
x y− =
2x 3x
1
12
1
4
1
3
7
12
1 2 3
0 x -x )dx=∫（ 1 1 11- 1=3 4 12
× ×
2 22 1x y− =
2 ,02
5 ,02
6 ,02
( )3,0
2 2 11, 2a b= = 2 3
2c = 6
2c = 6 ,02
23 4y x x= − −
2 2( 2) ( 3) 4(1 3)x y y− + − = ≤ ≤
y x b= +
1 2 2 1 2 2b b= + = −或 1 2 2b = +
时，解得 b=3,故
所以 C 正确.
（2010 福建理数）7．若点 O 和点 分别是双曲线 的中心和左
焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 的取值范围为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 是已知双曲线的左焦点，所以 ，即 ，所以双曲
（2010 福建理数）2．以抛物线 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以
圆的半径为 ，故所求圆的方程为 ，即 ，选 D。
（2010 浙江理数）（13）设抛物线 的焦点为 ，点
.若线段 的中点 在抛物线上，则 到该抛物线准线的距离为
_____________。
解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出 p 的值为 ，B 点坐标为（ ）
1 2 2 3,b− ≤ ≤
( 2,0)F −
2
2
2 1(a>0)a
x y− =
OP FP⋅
[3-2 3, )+∞ [3 2 3, )+ +∞ 7[- , )4
+∞ 7[ , )4
+∞
( 2,0)F − 2 1 4a + = 2 3a =
2 4y x=
2 2x +y +2x=0 2 2x +y +x=0 2 2x +y -x=0 2 2x +y -2x=0
r=1 2 2x-1) +y =1（ 2 2x -2x+y =0
2 2 ( 0)y px p= > F
(0,2)A FA B B
2 14
2 ，
所以点 B 到抛物线准线的距离为 ，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容
易题
（2010 全国卷 2 理数）（15）已知抛物线 的准线为 ，过 且
∴ 2.
（2010 江西理数）15.点 在双曲线 的右支上，若点 A 到右焦点的
距离等于 ，则 =
【答案】 2
【解析】考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，读取 a=2.c=6, ,
（ 2010 重 庆 理 数 ） (14) 已 知 以 F 为 焦 点 的 抛 物 线 上 的 两 点 A 、 B 满 足
, 则 弦 AB 的 中 点 到 准 线 的 距 离 为
___________.
解析：设 BF=m,由抛物线的定义知
中，AC=2m,AB=4m,
直线 AB 方程为
3 24
2: 2 ( 0)C y px p= ＞ l (1,0)M
p =
0 0( )A x y，
2 2
14 32
x y− =
02x 0x
r ed
= 3r d⇒ =
2
0 0 02 3( ) 2ax x xc
= − ⇒ =
2 4y x=
3AF FB=
mBBmAA == 11 ,3
ABC∆∴ 3=ABk
)1(3 −= xy
与抛物线方程联立消 y 得
所以 AB 中点到准线距离为
（2010 江苏卷）6、在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 上一点 M，点 M
的横坐标是 3，则 M 到双曲线右焦点的距离是___▲_______
答案：4
解析：考查双曲线的定义。 ， 为点 M 到右准线 的距离， =2，
MF=4。
（2010 浙江理数）(21) （本题满分 15 分）已知 m＞1，直线 ，椭圆
， 分别为椭圆 的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线 过右焦点 时，求直线 的方程；
（Ⅱ）设直线 与椭圆 交于 两点， ， 的重心分别为 .若原
点 在以线段 为直径的圆内，求实数 的取值范围.
解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同
时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
（ Ⅰ ） 解 ： 因 为 直 线 经 过 ， 所 以
03103 2 =+− xx
3
813
512
21 =+=++ xx
1124
22
=− yx
4 22
MF ed
= = = d 1x = d
2
: 02
ml x my− − =
2
2
2: 1xC ym
+ = 1, 2F F C
l 2F l
l C ,A B 1 2AF F 1 2BF F ,G H
O GH m
:l
2
02
mx my− − = 2
2 ( 1,0)F m −
,得 ，
则由 ，知 ，
且有 。
由于 ，
故 为 的中点，
由 ，
可知
设 是 的中点，则 ，
由题意可知
即
即
2
2 1 2
mm − = 2 2m =
2
2 28( 1) 8 04
mm m∆ = − − = − + > 2 8m <
2
1 2 1 2
1,2 8 2
m my y y y+ = − = −
1 2( ,0), ( ,0),F c F c−
O 1 2F F
2 , 2AG GO BH HO= =
1 1 2 1( , ), ( , ),3 3 3 3
x y x yG h
2 2
2 1 2 1 2( ) ( )
9 9
x x y yGH
− −= +
M GH 1 2 1 2( , )6 6
x x y yM
+ +
2 ,MO GH<
2 2
2 21 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )4[( ) ( ) ]6 6 9 9
x x y y x x y y+ + − −+ < +
1 2 1 2 0x x y y+ <
而
设椭圆 C： 的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A，B
两点，直线 l 的倾斜角为 60o, .
（1）求椭圆 C 的离心率；
（2）如果|AB|= ，求椭圆 C 的方程.
【解析】解：
设 ，由题意知 ＜0， ＞0.
（Ⅰ）直线 l 的方程为 ，其中 .
联立 得
解得
因为 ，所以 .
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2( )( )2 2
m mx x y y my my y y+ = + + +
2
2 1( 1 ( )8 2
mm= + −）
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
2AF FB=
15
4
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1y 2y
3( )y x c= − 2 2c a b= −
2 2
2 2
3( ),
1
y x c
x y
a b
= − + =
2 2 2 2 4(3 ) 2 3 3 0a b y b cy b+ + − =
2 2
1 22 2 2 2
3 ( 2 ) 3 ( 2 ),3 3
b c a b c ay ya b a b
− + − −= =+ +
2AF FB=
1 22y y− =
（2010 江西理数）21. （本小题满分 12 分）
设椭圆 ，抛物线 。
（1）若 经过 的两个焦点，求 的离心率；
（2）设 A（0，b）， ,又 M、N 为 与 不在 y 轴上的两个交点，
若△AMN 的垂心为 ，且△QMN 的重心在 上，求椭圆 和抛物线
的方程。
【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。
（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得： ，由
。
(2) 由 题 设 可 知 M 、 N 关 于 y 轴 对 称 ， 设
,由 的垂心为 B，有
。
由点 在抛物线上， ，解得：
故 ，得 重心坐标 .
2 2
1 2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 2 2
2 :C x by b+ =
2C 1C 1C
53 3 4Q
， 1C 2C
3
4B b
0， 2C 1C 2C
2 2c b=
2
2 2 2 2
2
1 22 , 2 2
ca b c c ea
= + = = ⇒ =有
1 1 1 1 1( , ), ( , )( 0)M x y N x y x− > AMN∆
2
1 1 1
30 ( )( ) 04BM AN x y b y b⋅ = ⇒ − + − − =
1 1( , )N x y 2 2
1 1x by b+ = 1 1 ( )4
by y b= − =或 舍去
1
5 5 5, ( , ), ( , )2 2 4 2 4
b bx b M b N b= − − − QMN∆ ( 3, )4
b
由重心在抛物线上得： ， ，又
因为 M、N 在椭圆上得： ，椭圆方程为 ，抛物线方程为 。
（2010 北京理数）（19）（本小题共 14 分）www.@ks@5u.com
在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（-1,1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP
与 BP 的斜率之积等于 .
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N，问：是否存在点 P 使得△PAB 与
△PMN 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。
【解析】（I）解：因为点 B 与 A 关于原点 对称，所以点 得坐标为
.
设点 的坐标为
由题意得
化简得 .
故动点 的轨迹方程为
（ II ） 解 法 一 ： 设 点 的 坐 标 为 ， 点 ， 得 坐 标 分 别 为
, .
则直线 的方程为 ，直线 的方程为
令 得 ， .
于是 得面积
2
23 , =24
b b b+ = 所以 1 1( 5, ), ( 5, )2 2M N− − −
2 16
3a =
2 2
16
3
14
x y+ = 2 2 4x y+ =
1
3
−
( 1,1)− O B
(1, 1)−
P ( , )x y
1 1 1
1 1 3
y y
x x
− + = −+ −
2 23 4( 1)x y x+ = ≠ ±
P 2 23 4( 1)x y x+ = ≠ ±
P 0 0( , )x y M N
(3, )My (3, )Ny
AP 0
0
11 ( 1)1
yy xx
−− = ++ BP 0
0
11 ( 1)1
yy xx
++ = −−
3x = 0 0
0
4 3
1M
y xy x
+ −= +
0 0
0
2 3
1N
y xy x
− += −
PMN
2
0 0 0
0 2
0
| | (3 )1 | | (3 )2 | 1|PMN M N
x y xS y y x x
+ −= − − = −
故存在点 使得 与 的面积相等，此时点 的坐标为 .
解法二：若存在点 使得 与 的面积相等，设点 的坐标为
则 .
因为 ,
所以
所以
即 ，解得
因为 ，所以
故 存 在 点 S 使 得 与 的 面 积 相 等 ， 此 时 点 的 坐 标 为
.
P PAB PMN P 5 33( , )3 9
±
P PAB PMN P 0 0( , )x y
1 1| | | | sin | | | | sin2 2PA PB APB PM PN MPN∠ = ∠
sin sinAPB MPN∠ = ∠
| | | |
| | | |
PA PN
PM PB
=
0 0
0
| 1| | 3 |
| 3 | | 1|
x x
x x
+ −=− −
2 2
0 0(3 ) | 1|x x− = − 0x 5
3
=
2 2
0 03 4x y+ = 0
33
9y = ±
P PAB PMN P
5 33( , )3 9
±
（2010 四川理数）（20）（本小题满分 12 分）
已知定点 A(－1，0)，F(2，0)，定直线 l：x＝ ，不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是
它到直线 l 的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E，过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点，直线 AB、AC
分别交 l 于点 M、N
（Ⅰ）求 E 的方程；
（Ⅱ）试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F，并说明理由. w_w w. k#s5_u.c o*
【解析】解：(1)设 P(x,y)，则
化简得 x2－ =1(y≠0)………………………………………………………………4 分
(2)①当直线 BC 与 x 轴不垂直时，设 BC 的方程为 y＝k(x－2)(k≠0)
与双曲线 x2－ =1 联立消去 y 得
(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0
由题意知 3－k2≠0 且△＞0
设 B(x1,y1),C(x2,y2)，
则
y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]
＝k2( ＋4)
＝ w_w w. k#s5_u.c o*m
因为 x1、x2≠－1
所以直线 AB 的方程为 y＝ (x＋1)
1
2
2 2 1( 2) 2 | |2x y x− + = −
2
3
y
2
3
y
2
1 2 2
2
1 2 2
4
3
4 3
3
kx x k
kx x k
+ = − + = −
2 2
2 2
4 3 8
3 3
k k
k k
+ −− −
2
2
9
3
k
k
−
−
1
1 1
y
x +
＝0
②当直线 BC 与 x 轴垂直时，起方程为 x＝2，则 B(2,3),C(2,－3)
AB 的方程为 y＝x＋1,因此 M 点的坐标为( )，
同理可得
因此 ＝0w_w w. k#s5_u.c o*m
综上 ＝0，即 FM⊥FN
故以线段 MN 为直径的圆经过点 F………………………………………………12 分
（2010 天津理数）（20）（本小题满分 12 分）
已知椭圆 的离心率 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的
面积为 4。
（1） 求椭圆的方程；
（2） 设 直 线 与 椭 圆 相 交 于 不 同 的 两 点 ， 已 知 点 的 坐 标 为
（ ），点 在线段 的垂直平分线上，且 ，求 的值
【解析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知
识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分 12
分
1 3,2 2
3 3( , )2 2FM = −
3 3( , )2 2FN = − −
23 3 3( ) ( )2 2 2FM FN = − + × −
FM FN
2 2
2 2 1( 0x y a ba b
+ = > > ） 3
2e =
l ,A B A
,0a− 0(0, )Q y AB 4QA QB =
0y
(2)解：由（1）可知 A（-2,0）。设 B 点的坐标为（x1,,y1）,直线 l 的斜率为 k，则直线 l
的方程为 y=k(x+2),
于是 A,B 两点的坐标满足方程组
由方程组消去 Y 并整理，得
由 得
设线段 AB 是中点为 M，则 M 的坐标为
以下分两种情况：
（1）当 k=0 时，点 B 的坐标为（2,0）。线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是
（2）当 K 时，线段 AB 的垂直平分线方程为
令 x=0，解得
2
2
( 2)
14
y k x
x y
= + + =
2 2 2 2(1 4 ) 16 (16 4) 0k x k x k+ + + − =
2
1 2
16 42 ,1 4
kx k
−− = +
2
1 12 2
2 8 4, ,1 4 1 4
k kx yk k
−= =+ +从而
2
2 2
8 2( , )1 4 1 4
k k
k k
− + +
0 0 0( 2, y ), (2, = 2QA QB y QA QB y
→ → → →
= − − = − ±）由 4，得 = 2
0≠
2
2 2
2 1 8( )1 4 1 4
k kY xk k k
− = ++ +
0 2
6
1 4
ky k
= +
在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左、右顶点为 A、B，右焦
点为 F。设过点 T（ ）的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M 、 ，其
中 m>0, 。
（1）设动点 P 满足 ,求点 P 的轨迹；
（2）设 ，求点 T 的坐标；
（3）设 ,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点
（其坐标与 m 无关）。
【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考
查运算求解能力和探究问题的能力。满分 16 分。
（1）设点 P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
由 ，得 化简得 。
故所求点 P 的轨迹为直线 。
（2）将 分别代入椭圆方程，以及 得：M（2， ）、N
（ ， ）
xoy 159
22
=+ yx
mt, ),( 11 yx ),( 22 yxN
0,0 21 <> yy
422 =− PBPF
3
1,2 21 == xx
9=t
422 =− PBPF 2 2 2 2( 2) [( 3) ] 4,x y x y− + − − + = 9
2x =
9
2x =
3
1,2 21 == xx 0,0 21 <> yy 5
3
1
3
20
9
−
联立方程组，解得： ，
所以点 T 的坐标为 。
（3）点 T 的坐标为
直线 MTA 方程为： ，即 ，
直线 NTB 方程为： ，即 。
分别与椭圆 联立方程组，同时考虑到 ，
解得： 、 。
（ 方 法 一 ） 当 时 ， 直 线 MN 方 程 为 ：
7
10
3
x
y
= =
10(7, )3
(9, )m
0 3
0 9 3
y x
m
− +=− + ( 3)12
my x= +
0 3
0 9 3
y x
m
− −=− − ( 3)6
my x= −
159
22
=+ yx
1 23, 3x x≠ − ≠
2
2 2
3(80 ) 40( , )80 80
m mM m m
−
+ +
2
2 2
3( 20) 20( , )20 20
m mN m m
− −+ +
1 2x x≠
2
2 2
2 2
2 2 2 2
20 3( 20)
20 20
40 20 3(80 ) 3( 20)
80 20 80 20
m my xm m
m m m m
m m m m
−+ −+ += − −+ −+ + + +
若 ，则 ，直线 MD 的斜率 ，
直线 ND 的斜率 ，得 ，所以直线 MN 过 D 点。
因此，直线 MN 必过 轴上的点（1，0）。
【2009 年高考真题】
1．(2009·山东理)设双曲线 的一条渐近线与抛物线 y=x +1 只有一个公共
点，则双曲线的离心率为( )．
A． B． 5 C． D．
解析：双曲线 的一条渐近线为 ,由方程组 ,消去 y,得
有唯一解,所以△= ,
所以 , ,故选 D．
答案：D．
（2009·安徽理）下列曲线中离心率为 的是
【解析】由 得 ，选 B
【答案】B
（2009·宁夏海南理）双曲线 - =1 的焦点到渐近线的距离为
（A） （B）2 （C） （D）1
1 2x x≠ 2 10m ≠ 2
2 2
2
40
1080
240 3 40180
MD
m
mmk m m
m
+= =− −−+
2
2 2
2
20
1020
3 60 40120
ND
m
mmk m m
m
−
+= =− −−+
MD NDk k=
x
12
2
2
2
=−
b
y
a
x 2
4
5
2
5 5
12
2
2
2
=−
b
y
a
x xa
by =
2 1
by xa
y x
=
= +
2 1 0bx xa
− + = 2( ) 4 0b
a
− =
2b
a
=
2 2
21 ( ) 5c a b be a a a
+= = = + =
6
2
6
2e =
2 2 2
2 2 2
3 3 1,1 ,2 2 2
c b b
a a a
= + = =
2
4
x 2
12
y
2 3 3
解 析 ： 双 曲 线 - =1 的 焦 点 (4,0) 到 渐 近 线 的 距 离 为
,选 A
答案：A
（2009·天津理）设抛物线 =2x 的焦点为 F，过点 M（ ，0）的直线与抛物线相交
于 A，B 两点，与抛物线的准线相交于 C， =2，则 BCF 与 ACF 的面积之比
=
（A） （B） （C） （D）
解析：由题知 ，
又
由 A、B、M 三点共线有 即 ，故 ，
∴ ，故选择 A。
2
4
x 2
12
y 3y x=
3 4 0
2 32d
× −
= =
2y 3
BF ∆ ∆ BCF
ACF
S
S
∆
∆
4
5
2
3
4
7
1
2
12
12
2
1
2
1
+
+=
+
+
==
∆
∆
A
B
A
B
ACF
BCF
x
x
x
x
AC
BC
S
S
32
322
1|| −=⇒=⇒=+= BBB yxxBF
BM
BM
AM
AM
xx
yy
xx
yy
−
−=−
−
2
33
30
3
20
−
+=
−
−
A
A
x
x 2=Ax
5
4
14
13
12
12 =+
+=+
+=
∆
∆
A
B
ACF
BCF
x
x
S
S
答案：A
（2009··浙江理）过双曲线 的右顶点 作斜率为 的直线，
该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 ．若 ，则双曲线的离心率是 ( )
A． B． C． D．
答案：C
解析：对于 ，则直线方程为 ，直线与两渐近线的交点为 B，C，
（2009·宁夏海南理）设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 F(1，0)，直线 l 与抛
物线 C 相交于 A，B 两点。若 AB 的中点为（2，2），则直线 的方程为_____________．
解 析 ： 抛 物 线 的 方 程 为 ，
答案：y=x
（2009·天津理）若圆 与圆 （a>0）的公共弦的长为
，
则 ___________ 。
答案：1
解 析 ： 由 知 的 半 径 为 ， 由 图 可 知
解之得
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > A 1−
,B C 1
2AB BC=
2 3 5 10
( ),0A a 0x y a+ − =
ι
2 4y x=
( ) ( )
( )
2
1 1
1 1 2 2 1 2 2
2 2
2 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
4, , , ,
4
44 1
y xA x y B x y x x
y x
y yy y x x x x y y
=≠ =
−− = − ∴ = =− +
∴
则有 ，
两式相减得， ，
直线l 的方程为y- 2=x- 2, 即y=x
2 2 4x y+ = 2 2 2 6 0x y ay+ + − =
2 3
=a
2 2 2 6 0x y ay+ + − = 26 a+
222 )3()1(6 =−−−+ aa 1=a
(2009·山东理)（本小题满分 14 分）
设椭圆 E: （a,b>0）过 M（2， ） ，N( ,1)两点，O 为坐标原点，
（I）求椭圆 E 的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点
A,B,且 ？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
【解析】解:（1）因为椭圆 E: （a,b>0）过 M（2， ） ，N( ,1)两点,
所以 解得 所以 椭圆 E 的方程为
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点
A,B, 且 , 设 该 圆 的 切 线 方 程 为 解 方 程 组 得
,即 ,
则△= ,即
,
要 使 , 需 使 , 即 , 所 以
, 所 以 又 , 所 以 , 所 以
,即 或 ,因为直线 为圆心在原点的圆的一条切
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 2 6
OA OB⊥
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 2 6
2 2
2 2
4 2 1
6 1 1
a b
a b
+ =
+ =
2
2
1 1
8
1 1
4
a
b
=
=
2
2
8
4
a
b
=
=
2 2
18 4
x y+ =
OA OB⊥ y kx m= + 2 2
18 4
x y
y kx m
+ =
= +
2 22( ) 8x kx m+ + = 2 2 2(1 2 ) 4 2 8 0k x kmx m+ + + − =
2 2 2 2 2 216 4(1 2 )(2 8) 8(8 4) 0k m k m k m− + − = − + > 2 28 4 0k m− + >
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2
(2 8) 4 8( )( ) ( ) 1 2 1 2 1 2
k m k m m ky y kx m kx m k x x km x x m mk k k
− −= + + = + + + = − + =+ + +
OA OB⊥
1 2 1 2 0x x y y+ =
2 2 2
2 2
2 8 8 01 2 1 2
m m k
k k
− −+ =+ +
2 23 8 8 0m k− − =
2
2 3 8 08
mk
−= ≥ 2 28 4 0k m− + >
2
2
2
3 8
m
m
>
≥
2 8
3m ≥ 2 6
3m ≥ 2 6
3m ≤ − y kx m= +
任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 ．
因为 ,
所 以
,
,
①当 时
因为 所以 ,
所以 ,
所以 当且仅当 时取”=”．
OA OB⊥
1 2 2
2
1 2 2
4
1 2
2 8
1 2
kmx x k
mx x k
+ = − + − = +
2 2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 2 2 2 2
4 2 8 8(8 4)( ) ( ) 4 ( ) 41 2 1 2 (1 2 )
km m k mx x x x x x k k k
− − +− = + − = − − × =+ + +
( ) 2 2
22 2 2 2
1 2 1 2 1 2 2 2
8(8 4)| | ( ) (1 )( ) (1 ) (1 2 )
k mAB x x y y k x x k k
− += − + − = + − = + +
4 2 2
4 2 4 2
32 4 5 1 32[1 ]3 4 4 1 3 4 4 1
k k k
k k k k
+ += ⋅ = ++ + + +
0k ≠
2
2
32 1| | [1 ]13 4 4
AB
k k
= +
+ +
2
2
14 4 8k k
+ + ≥
2
2
1 10 1 84 4k k
< ≤
+ +
2
2
32 32 1[1 ] 1213 3 4 4k k
< + ≤
+ +
4 6 | | 2 33 AB< ≤ 2
2k = ±
② 当 时, ．
③ 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 或 ,所以
此时 ,
综上, |AB |的取值范围为 即:
（ 2009·广 东 理 ）（本小题满分 14 分）
已 知 曲 线 与 直 线 交 于 两 点 和 ， 且
．记曲线 在点 和点 之间那一段 与线段 所围成的平面区域（含边界）为
．设点 是 上的任一点，且点 与点 和点 均不重合．
（1）若点 是线段 的中点，试求线段 的中点 的轨迹方程；
（2）若曲线 与 有公共点，试求 的最小值．
【解析】解：（1）联立 与 得 ，则 中点 ，
设线段 的中点 坐标为 ，则 ，即 ，
又点 在曲线 上，
∴ 化简可得 ，又点 是 上的任一点，且不与点
和 点 重 合 ， 则 ， 即 ， ∴ 中 点 的 轨 迹 方 程 为
（ ）．
0k = 4 6| | 3AB =
2 6 2 6( , )3 3
± 2 6 2 6( , )3 3
− ±
4 6| | 3AB =
4 6 | | 2 33 AB≤ ≤ 4| | [ 6,2 3]3AB ∈
2:C y x= : 2 0l x y− + = ( , )A AA x y ( , )B BB x y
A Bx x< C A B L AB
D ( , )P s t L P A B
Q AB PQ M
2 2 2 51: 2 4 025G x ax y y a− + − + + = D a
2xy = 2+= xy 2,1 =−= BA xx AB )2
5,2
1(Q
PQ M ),( yx 2
2
5
,2
2
1 t
y
s
x
+
=
+
=
2
52,2
12 −=−= ytxs
P C
2)2
12(2
52 −=− xy 8
112 +−= xxy P L A
B 22
121 <−<− x 4
5
4
1 <<− x M
8
112 +−= xxy 4
5
4
1 <<− x
（2）曲线 ，
即圆 ： ，其圆心坐标为 ，半径
由图可知，当 时，曲线 与点 有公共
点；
当 时，要使曲线 与点 有公共点，只需圆
心 到直线 的距离 ，得 ，则 的
最小值为 ．
（2009·安徽理）（本小题满分 13 分）
点 在椭圆 上，
直线 与直线 垂直，O 为坐标原点，直线 OP 的倾斜角为 ，直线 的倾
斜角为 ．
（I）证明: 点 是椭圆 与直线 的唯一交点；
（II）证明: 构成等比数列．
【解析】解：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性
质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分 13
分。
2 2 2 51: 2 4 025G x ax y y a− + − + + =
E 25
49)2()( 22 =−+− yax )2,(aE 5
7=r
20 ≤≤ a 2 2 2 51: 2 4 025G x ax y y a− + − + + = D
0 > 0 0cos , sin ,0 .2x a y b
πβ β β= = < <
2l 0 0
1 2 2: 1x yl x ya b
+ = α 2l
γ
P
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 1l
tan ,tan ,tanα β γ
因此,方程组 有唯一解 ,即直线 与椭圆有唯一交点 P．
(方法二)显然 P 是椭圆与 的交点，若 Q 是椭圆与 的
交点，代入 的方程 ，得
即 故 P 与 Q 重合。
（II） 的斜率为 的斜率为
由此得 构成等比数列。
（2009·福建理 19）（本小题满分 13 分）
已知 A,B 分别为曲线 C： + =1（y 0,a>0）与 x 轴
的左、右两个交点，直线 过点 B,且与 轴垂直，S 为 上
异于点 B 的一点，连结 AS 交曲线 C 于点 T．
(1)若曲线 C 为半圆，点 T 为圆弧 的三等分点，试求出
点 S 的坐标；
（II）如图，点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点，试问：是否存在 ,使得
O,M,S 三点共线？若存在，求出 a 的值，若不存在，请说明理由。
【解析】解法一：
2 2
2 2
0 0
2 2
1
1
x y
a b
x yx ya b
+ =
+ =
0
0
x x
y y
=
= 1l
1l 1 1 1( cos , sin ),0 2a bβ β β π≤ < 1l
1l cos sin 1x ya b
β β+ = 1 1cos cos sin sin 1,β β β β+ =
1 1cos( ) 1, ,β β β β− = =
0
0
tan tan ,y b
x a
α β= = 1l
2
0
2
0
,x b
y a
− 2l
2
0
2
0
tan tan ,y a a
x b b
γ β= =
2tan tan tan 0,α γ β= ≠ tan ,tan ,tanα β γ
2
2
x
a
2y ≥
l x l
AB
a
由
由 ,可得 即
经检验,当 时,O,M,S 三点共线． 故存在 ,使得 O,M,S 三点共线．
解法二:
(Ⅰ)同解法一．
(Ⅱ)假设存在 a,使得 O,M,S 三点共线．
由于点 M 在以 SO 为直径的圆上,故 ．
显然,直线 AS 的斜率 k 存在且 K>0,可设直线 AS 的方程为
由
2
2
2 2 2 2 2 4 2 22 1 (1 ) 2 0
( )
x y a k x a k x a k aa
y k x a
+ = + + + − =
= +
得
BT OS⊥
2 2 2 2
2
2 4 01 2
a k a kBT OS a k
− +⋅ = =+
2 2 2 22 4 0a k a k− + =
0, 0, 2k a a> > ∴ =
2a = 2a =
SM BT⊥
( )y k x a= +
2
2
2 2 2 2 2 2 2 22 1 (1 ) 2 0
( )
x y a b x a k x a k aa
y k x a
+ = + + + − =
= +
得
设点 ,则有
故
由 所直线 SM 的方程为
O,S,M 三点共线当且仅当 O 在直线 SM 上,即 ．
故存在 ,使得 O,M,S 三点共线．
（2009·辽宁理）（本小题满分 12 分）
已知，椭圆 C 过点 A ，两个焦点为（－1，0），（1，0）。
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反
数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。
【解析】解：
( , )T TT x y
4 2 2
2 2( ) .1T
a k ax a a k
−⋅ − = +
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2, ( ) ( ).1 1 1T T T
a a k ak a a k akx y k x a Ta a k a k a k a k
− −= = + = ⋅+ + + +从而 亦即
2
2
1( ,0), ,T
BT SM
T
yB a k k a kx a a k
∴ = = − =− 故
( )
x a
y k x a
=
= +
得S( a, 2ak) , 22 ( )y ak a k x a− = −
22 ( )ak a k a= −
0, 0, 2a K a> > ∴ =
2a =
3(1, )2
（2009·宁夏海南理）（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 s 轴上，它的一个顶点到两个
焦点的距离分别是 7 和 1．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）若 P 为椭圆 C 上的动点，M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点， =λ，求
点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
【解析】解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 ，由已知得
，
所以椭圆 的标准方程为
（Ⅱ）设 ，其中 。由已知 及点 在椭圆 上可得
。
整理得 ，其中 。
（i） 时。化简得
所以点 的轨迹方程为 ，轨迹是两条平行于 轴的线段。
（ii） 时，方程变形为 ，其中
OP
OM
a c，
1 , 4, 37
a c a ca c
− = = = + =
解得
C
2 2
116 7
x y+ =
( , )M x y [ ]4,4x∈ −
2
2
2
OP
OM
λ= P C
2
2
2 2
9 112
16( )
x
x y
λ+ =+
2 2 2 2(16 9) 16 112x yλ λ− + = [ ]4,4x∈ −
3
4
λ = 29 112y =
M 4 7 ( 4 4)3y x= ± − ≤ ≤ x
3
4
λ ≠
2 2
2 2
1112 112
16 9 16
x y
λ λ
+ =
−
[ ]4,4x∈ −
当 时，点 的轨迹为中心在原点、实轴在 轴上的双曲线满足
的部分。
当 时，点 的轨迹为中心在原点、长轴在 轴上的椭圆满足 的部
分；
当 时，点 的轨迹为中心在原点、长轴在 轴上的椭圆；
（2009·天津理）（本小题满分 14 分）
以 知 椭 圆 的 两 个 焦 点 分 别 为
， 过 点 的 直 线 与 椭 圆 相 交 与 两 点 ， 且
。
（1） 求椭圆的离心率；
（2） 求直线 AB 的斜率；
（3） 设 点 C 与 点 A 关 于 坐 标 原 点 对 称 ， 直 线 上 有 一 点
在 的外接圆上，求 的值
【解析】（1）解：由 // 且 ，得 ，从而
整理，得 ，故离心率
30 4
λ< < M y 4 4x− ≤ ≤
3 14
λ< < M x 4 4x− ≤ ≤
1λ ≥ M x
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
1 2( ,0) ( ,0)( 0)F c F c c− >和
2
( ,0)aE c ,A B
1 2 1 2/ / , 2F A F B F A F B=
2F B
( , )( 0)H m n m ≠ ∆ 1AFC n
m
1FA 2F B 1 2FA 2 F B= 2 2
1 1
EF F B 1
EF FA 2
= =
2
2
a
1
a 2
cc
cc
−
=
+
2 23a c= 3
3
ce a
= =
将 代入②中，解得 ．
(III)解法一：由（II）可知
当 时，得 ，由已知得 ．
线段 的垂直平分线 l 的方程为 直线 l 与 x 轴
的 交 点 是 外 接 圆 的 圆 心 ， 因 此 外 接 圆 的 方 程 为
．
直线 的方程为 ，于是点 H（m，n）的坐标满足方程组
， 由 解得 故
当 时，同理可得 ．
1 2,x x 2
3k = ±
1 2
30, 2
cx x= =
2
3k = − (0, 2 )A c (0, 2 )C c−
1AF 2 2
2 2 2
cy c x − = − +
,02
c
1AFC∆
2 2
2x 2 2
c cy c − + = +
2F B 2( )y x c= −
2 2
2 9
2 4
2( )
c cm n
n m c
− + =
= −
0,m ≠
5
3
2 2
3
m c
n c
=
=
2 2
5
n
m
=
2
3k = 2 2
5
n
m
= −
解法二：由（II）可知
当 时，得 ,由已知得
由椭圆的对称性可知 B， ，C 三点共线，因为点 H（m，n）在 的外接圆上，
且 ，所以四边形 为等腰梯形．
由直线 的方程为 ,知点 H 的坐标为 ．
因 为 ， 所 以 ， 解 得 m=c （ 舍 ），或
．
则 ，所以 ．
当 时同理可得
【2008 年高考真题】
（2008·海南、宁夏理）已知点 P 在抛物线 上，那么点 P 到点 的距离
与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
解 析 ： 点 P 到 抛 物 线 焦 点 距 离 等 于 点 P 到 抛 物 线 准 线 距 离 ， 如 图
,故最小值在 三点共线时取得，此时 的纵坐标都是 ，
所以选 A。（点 坐标为 ）
答案：A
1 2
30, 2
cx x= =
2
3k = − (0, 2 )A c (0, 2 )C c−
2F 1AFC∆
1 2//F A F B 1AFCH
2F B 2( )y x c= − ( , 2 2 )m m c−
1AH CF= 2 2 2( 2 2 2 )m m c c a+ − − =
5
3m c=
2 2
3n c= 2 2
5
n
m
=
2
3k = n 2 2
5m
= −
2 4y x= (2 1)Q −，
1 14
− ， 1 14
， (1 2)， (1 2)−，
PF PQ PS PQ+ = + , ,S P Q ,P Q 1−
P 1( , 1)4
−
（2008·山东理）设椭圆 C1 的离心率为 ，焦点在 X 轴上且长轴长为 26．若曲线 C2 上
的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2 的标准方程为
（A） (B)
(C) (D)
解析：本题考查椭圆、双曲线的标准方程。对于椭圆 ， 曲线 为双曲
最短弦为
答案：B
（2008·广东）经过圆 的圆心 ，且与直线 垂直的直线方程
是 ．
解析：易知点 C 为 ，而直线与 垂直，我们设待求的直线的方程为
，将点 C 的坐标代入马上就能求出参数 的值为 ，故待求的直线的方程为
。
答案：
（ 2008· 江 苏 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 设 三 角 形 ABC 的 顶 点 坐 标 分 别 为
，点 在线段 OA 上（异于端点），设 均为非零实数，
直 线 分 别 交 于 点 E ， F ， 一 同 学 已 正 确 算 出 的 方 程 ：
13
5
134 2
2
2
2
=− yx 1513 2
2
2
2
=− yx
143 2
2
2
2
=− yx 11213 2
2
2
2
=− yx
1C 13, 5,a c= = 2C
10,AC = 2 22 5 1 4 6,BD = − = 1 20 6.2S AC BD= ⋅ =
2 22 0x x y+ + = C 0x y+ =
( 1,0)− 0x y+ =
y x b= + b 1b =
1 0x y− + =
1 0x y− + =
(0, ), ( ,0), ( ,0)A a B b C c (0, )P p , , ,a b c p
,BP CP ,AC AB OE
，请你求 OF 的方程： 。
（2008·江苏）在平面直角坐标系中，椭圆 的焦距为 2，以 O 为圆心，
为半径的圆，过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率 = ▲ 。
解析：本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。如图，切线 互相
垂直，又 ，所以 是等腰直角三角形，故 ，解得 。
答案：
（2008·海南、宁夏理）设双曲线 的右顶点为 A，右焦点为 F．过点 F 平行
双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B，则△AFB 的面积为 ．
解析：双曲线的右顶点坐标 ，右焦点坐标 ，设一条渐近线方程为 ，
建立方程组 ，得交点纵坐标 ，从而
答案：
1 1 1 1 0x yb c p a
− + − =
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
a
2( ,0)a
c e
,PA PB
OA PA⊥ OAP∆
2
2a ac
= 2
2
ce a
= =
2
2
2 2
19 16
x y− =
(3,0)A (5,0)F 4
3y x=
2 2
4 ( 5)3
19 16
y x
x y
= −
− =
32
15y = − 1 32 3222 15 15AFBS = × × =
15
32
（2008·广东）设 ，椭圆方程为 ，抛物线方程为 ．如图
所示，过点 作 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 ，已知抛物线在
点 的切线经过椭圆的右焦点 ．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 ，使得
为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这
些点的坐标）．
解析：（1）由 得 ，
当 得 ， G 点的坐标为 ，
， ，
过点 G 的切线方程为 即 ，
令 得 ， 点的坐标为 ，由椭圆方程得 点的坐标为 ，
即 ，即椭圆和抛物线的方程分别为 和 ；
（ 2 ） 过 作 轴 的 垂 线 与 抛 物 线 只 有 一 个 交 点 , 以 为 直 角 的
只有一个，
0b >
2 2
2 2 12
x y
b b
+ = 2 8( )x y b= −
(0 2)F b +， x G
G 1F
A B， P
ABP△
2 8( )x y b= − 21
8y x b= +
2y b= + 4x = ± ∴ (4, 2)b +
1' 4y x= 4'| 1xy = =
( 2) 4y b x− + = − 2y x b= + −
0y = 2x b= − 1F∴ (2 ,0)b− 1F ( ,0)b
2 b b∴ − = 1b =
2
2 12
x y+ = 2 8( 1)x y= −
A x P ∴ PAB∠
Rt ABP∆
同理 以 为直角的 只有一个；
若以 为直角，则点 在以 为直径的圆上，而以 为直径的圆与抛物线
有两个交点。
所以以 为直角的 有两个；
因此抛物线上存在四个点使得 为直角三角形。
（2008·山东理）如图，设抛物线方程为 x2=2py(p＞0),M 为 直线 y=-2p 上任意一点，过
M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B．
（Ⅰ）求证：A，M，B 三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当 M 点的坐标为（2，-2p）时， ，求此时抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点 M，使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 上，
其中，点 C 满足 （O 为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点 M 的
坐标；若不存在，请说明理由．
解析：（Ⅰ）证明：由题意设
∴ PBA∠ Rt ABP∆
APB∠ P AB AB
APB∠ Rt ABP∆
ABP∆
4 10AB =
2 2 ( 0)x py p= ＞
OC OA OB= +
2 2
1 2
1 2 1 2 0( , ), ( , ), , ( , 2 ).2 2
x xA x B x x x M x pp p
−＜
由①、②得
因此 ，即
所以 A、M、B 三点的横坐标成等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当 x0=2 时，
将其代入①、②并整理得：
所以 x1、x2 是方程 的两根，
因此
又
所以
2
1 2
1 2 0 ,2
x x x x x
+ = + −
2
1 2
0 2
x xx
+= 0 1 22 .x x x= +
2 2
1 14 4 0,x x p− − =
2 2
2 24 4 0,x x p− − =
2 24 4 0x x p− − =
2
1 2 1 24, 4 ,x x x x p+ = = −
2 2
2 1
01 2
2 1
2 2 ,2AB
x x
xx xp pk x x p p
− += = =−
2 .ABk p
=
（Ⅲ）解：设 D(x3,y3)，由题意得 C(x1+ x2, y1+ y2),
则 CD 的中点坐标为
设直线 AB 的方程为
由点 Q 在直线 AB 上，并注意到点 也在直线 AB 上，
代入得
若 D（x3,y3）在抛物线上，则
因此 x3=0 或 x3=2x0．
即 D(0，0)或
（1）当 x0=0 时，则 ，此时，点 M(0,-2p)适合题意．
（2）当 ，对于 D(0，0)，此时
又 AB⊥CD，
所以
即 矛盾．
对于 因为 此时直线 CD 平行于 y 轴，
1 2 3 1 2 3( , ),2 2
x x x y y yQ
+ + + +
0
1 1( ),xy y x xp
− = −
1 2 1 2( , )2 2
x x y y+ +
0
3 3.xy xp
=
2
3 3 0 32 2 ,x py x x= =
2
0
0
2(2 , ).xD x p
1 2 02 0x x x+ = =
0 0x ≠
2 2
1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
0
0 0
2(2 , ), ,2 2 4CD
x x
x x x xpC x kp x px
+
+ += =
0 ,AB
xk p
=
2 2 2 2
0 1 2 1 2
2
0
1,4 4AB CD
x x x x xk k p px p
+ += = = −
2 2 2
1 2 4 ,x x p+ = −
2
0
0
2(2 , ),xD x p
2 2
1 2
0(2 , ),2
x xC x p
+
又
（2008 山东文）已知曲线 所围成的封闭图形的面积为 ，
曲线 的内切圆半径为 ．记 为以曲线 与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）设 是过椭圆 中心的任意弦， 是线段 的垂直平分线． 是 上异于
椭圆中心的点．
（1）若 （ 为坐标原点），当点 在椭圆 上运动时，求点 的轨迹
方程；
（2）若 是 与椭圆 的交点，求 的面积的最小值．
解析：（Ⅰ）由题意得
又 ，
解得 ， ．
因此所求椭圆的标准方程为 ．
（ Ⅱ ）（ 1 ） 假 设 所 在 的 直 线 斜 率 存 在 且 不 为 零 ， 设 所 在 直 线 方 程 为
，
．
0 0,AB
xk p
= ≠
1 1( 0)x yC a ba b
+ = > >： 4 5
1C 2 5
3 2C 1C
2C
AB 2C l AB M l
MO OAλ= O A 2C M
M l 2C AMB△
2 2
2 4 5
2 5
3
ab
ab
a b
=
= +
，
．
0a b> >
2 5a = 2 4b =
2 2
15 4
x y+ =
AB AB
( 0)y kx k= ≠
( )A AA x y，
解方程组 得 ， ，
所以 ．
设 ，由题意知 ，
所以 ，即 ，
因为 是 的垂直平分线，
所以直线 的方程为 ，
即 ，
因此 ，
又 ，
所以 ，
故 ．
又当 或不存在时，上式仍然成立．
综上所述， 的轨迹方程为 ．
（2）当 存在且 时，由（1）得 ， ，
2 2
15 4
x y
y kx
+ =
=
，
，
2
2
20
4 5Ax k
= +
2
2
2
20
4 5A
ky k
= +
2 2
2 2 2
2 2 2
20 20 20(1 )
4 5 4 5 4 5A A
k kOA x y k k k
+= + = + =+ + +
( )M x y， ( 0)MO OAλ λ= ≠
2 22MO OAλ=
2
2 2 2
2
20(1 )
4 5
kx y k
λ ++ = +
l AB
l 1y xk
= −
xk y
= −
2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
20 1
20( )
4 54 5
x
y x yx y x y x
y
λ λ
+ + + = = ++
2 2 0x y+ ≠
2 2 25 4 20x y λ+ =
2 2
2
4 5
x y λ+ =
0k =
M
2 2
2 ( 0)4 5
x y λ λ+ = ≠
k 0k ≠ 2
2
20
4 5Ax k
= +
2
2
2
20
4 5A
ky k
= +
．
解法一：由于
，
当且仅当 时等号成立，即 时等号成立，此时 面积的最
小值是 ．
当 ， ．
当 不存在时， ．
综上所述， 的面积的最小值为 ．
解法二：因为 ，
又 ， ，
2
2
2
20(1 )
5 4
kOM k
+= +
2 22 1
4AMBS AB OM= △
2 2
2 2
1 80(1 ) 20(1 )
4 4 5 5 4
k k
k k
+ += × ×+ +
2 2
2 2
400(1 )
(4 5 )(5 4 )
k
k k
+= + +
2 2
22 2
400(1 )
4 5 5 4
2
k
k k
+
+ + +
≥
22 2
2 2
1600(1 ) 40
81(1 ) 9
k
k
+ = = +
2 24 5 5 4k k+ = + 1k = ± AMB△
40
9AMBS =△
0k = 1 402 5 2 2 52 9AMBS = × × = >△
k 1 405 4 2 52 9AMBS = × × = >△
AMB△ 40
9
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1
20(1 ) 20(1 )
4 5 5 4
k kOA OM
k k
+ = ++ +
+ +
2 2
2
4 5 5 4 9
20(1 ) 20
k k
k
+ + += =+
2 2
1 1 2
OA OMOA OM
+
≥ 40
9OA OM ≥
（2008 海南、宁夏理）在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C1： =1（a＞b＞0）的左、
右焦点分别为 F1，F2．F2 也是抛物线 C2： 的焦点，点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的
交点，且｜MF2｜= ．
（Ⅰ）求 C1 的方程；
（Ⅱ）平面上的点 N 满足 ，直线 l∥MN，且与 C1 交于 A，B 两点，
若 ，求直线 l 的方程．
解析：（Ⅰ）由 ： 知 ．
设 ， 在 上 ， 因 为 ， 所 以 ， 得 ，
．
在 上，且椭圆 的半焦距 ，于是
消去 并整理得 ， 解得 （ 不合题意，舍去）．
故椭圆 的方程为 ．
（Ⅱ）由 知四边形 是平行四边形，其中心为坐标原点 ，
因为 ，所以 与 的斜率相同，
2
2
2
2
b
y
a
x +
2 4y x=
3
5
21 MFMFMN +=
0OA OB =
2C 2 4y x= 2 (1 0)F ，
1 1( )M x y， M 2C 2
5
3MF = 1
51 3x + = 1
2
3x =
1
2 6
3y =
M 1C 1C 1c = 2 2
2 2
4 8 19 3
1.
a b
b a
+ =
= −
，
2b 4 29 37 4 0a a− + = 2a = 1
3a =
1C
2 2
14 3
x y+ =
1 2MF MF MN+ =
1 2MF NF O
l MN∥ l OM
故 的斜率 ．设 的方程为 ．l
2 6
3 62
3
k = = l 6( )y x m= −
