数学理卷·2019届安徽省六安市舒城中学高二下学期第二次统考（2018-04）

数学理卷·2019届安徽省六安市舒城中学高二下学期第二次统考（2018-04）

舒城中学2017-2018学年度第二学期第二次统考 高二理数 ‎（时间：120分钟 满分：150分）‎ 命题： 审题： 磨题：‎ 一. 选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内)‎ ‎1．若复数满足（为虚数单位），则= （ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎2．由，x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面积为 (　 　)‎ A. ln2 B. ln2-1 C. 1+ln2 D. 2ln2‎ ‎3．数学归纳法证明 成立时，从到左边需增加的乘积因式是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．曲线：在点处的切线方程为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．已知m、n为两不重合直线，α、β是两平面，给出下列命题：‎ ‎①　若n//m，m⊥β，则n⊥β；　　　②　若n⊥β，α⊥β，则n//α；‎ ‎③　若n//α，α⊥β，则n⊥β；　　④　．‎ 其中真命题的有（ ）个。 ‎ A. 1 B．2 C． 3 D． 4‎ ‎6．已知圆方程为，若：；：圆上至多有3个点到直线的距离为1，则是的 （ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎7．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，若 ‎，则△的面积为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8．已知是定义在上的减函数，其导函数满足，则下列结论中正确的是 （ ）‎ A. 恒成立 B. ‎ C. 当且仅当， D. 当且仅当， ‎ ‎9．正四棱柱中，，则与平面所成角的正弦值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．过双曲线的右焦点F，作渐近线的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线的离心率的取值范围为 ( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．把数列的各项按顺序排列成如下的三角形状，‎ 记表示第行的第个数，若=，则 （ ）‎ A.122 B.123 C.124 D.125‎ ‎12．已知函数，在区间（0，1）内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 （ ）‎ A. （15， B. [15， ‎ C. （，6） D. （，6‎ 一. 填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)‎ ‎13．．计算=_____________．‎ ‎14．记为有限集合的某项指标，已知，，，，运用归纳推理，可猜想出的合理结论是：若， （结果用含的式子表示）.‎ ‎15．已知=3，A，B分别在x轴和y轴上运动，O为原点，向量，则点P的轨迹方程为__________．‎ ‎16．如图，椭圆，圆，椭圆C的左、右焦点分别为，过椭圆上一点P和原点O作直线交圆O于M，N两点，若，则的值为 ．‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.)‎ ‎17．在三棱锥中，△ABC是边长为4的正三角形，平面，，M、N分别为AB、SB的中点。‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角N－CM－B的大小；‎ ‎18．如图所示，已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝，斜率为2的直线l过点A(2,3)．‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)在椭圆E上是否存在关于直线L对称的相异两点？若存在，请找出；若 不存在，说明理由．‎ ‎19．已知直角梯形中， ， ， ， 、分别是边、上的点，且，沿将折起并连接成如图的多面体，折后．‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）若折后直线与平面所成角的 正弦值是，求证：平面平面．‎ ‎20．函数，曲线上点处的切线方程为 ‎（1）若在时有极值，求函数在上的最大值；‎ ‎（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围．‎ ‎21．已知点，平面直角坐标系上的一个动点满足．设动点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的轨迹方程；‎ ‎（2）已知点是曲线上的两个动点，若 (是坐标原点)，试证明：原点到直线的距离是定值．‎ ‎22．已知，函数.‎ ‎（1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）令，已知函数，若对任意，总存在 ，使得成立，求实数的取值范围.‎ 参考答案 ‎1．C ‎【解析】由已知可得 ，故选C.‎ ‎2．A ‎3．A ‎【解析】试题分析：当n=k时，左边=（k+1）（k+2）…（k+k），当n=k+1时，左边=（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是故选A．‎ 考点：用数学归纳法证明等式．‎ ‎4．C ‎5．A ‎【解析】略 ‎6．A ‎【解析】‎ 试题分析：圆心到直线的距离，当时，圆上恰有一个点到直线的距离为，当时，圆上有两个点到直线的距离为，当时，圆上有三个点到直线的距离为，所以；若圆上不存在点到直线的距离为时，，所以，所以是的充分不必要条件.‎ 考点：1.直线与圆的位置关系；2.充分条件与必要条件.‎ ‎7．B ‎8．A ‎【解析】由题意恒成立,由可得: ,令x=1得,又为减函数,故x<1时, ,而当x>1时,由可得: ,从而,综上可知, 恒成立,故选A.‎ ‎9．A ‎【解析】‎ 试题分析：建立如图所示的空间直角坐标系，则，设为平面的一个法向量，则，取，设 与平面所成的角为，则 考点：直线与平面所成的角 ‎10．C ‎【解析】‎ 试题分析：由图像可知所作直线的倾斜角要大于渐近线的倾斜角，需满足的倾斜角大于，即 ‎11．B ‎【解析】‎ 试题分析：第1行共1个数，第2行共3个数，第3行共5个数，则第行共个数，前行共个数（法二：也可观察可得每行的最后一个数为），因为，所以2014是第45行的第个数，即，所以。故B正确。‎ ‎12．B ‎13．‎ ‎14． ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：法一（相邻项的变化关系式）：因为，‎ ‎，进而得到 根据数列中的累加法可得到，所以；‎ 法二（每一项与集合元素的个数的联系）：，所以可猜想.‎ ‎15．‎ ‎16．6‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设出P的坐标，把P的纵坐标用横坐标表示，然后由焦半径公式及，求得P的横纵坐标的平方和，由对称性得到，代入横纵坐标的平方和后整理得答案．‎ 设∵P在椭圆上，∴‎ 由对称性得 ‎17．解：（1）取AC中点P，由知：连接BP，由△ABC为正三角形知：‎ ‎ ‎ 又 ‎（2）由（1）知：，又平面，取BP中点Q，连结NQ ‎ 又N为SB中点 ‎ ，而，‎ ‎ 过Q作，连结NK，‎ 则即为二面角N－CM－B的平面角 ‎ 设CM交BP于O，则，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以二面角N－CM－B的大小为。‎ ‎ ‎ ‎18．（1）＝1‎ ‎（2）不存在，见解析 ‎【解析】解：(1)设椭圆E的方程为＝1(a＞b＞0)，‎ 由题意e＝＝，＝1，‎ 又∵c2＝a2－b2，‎ 解得：c＝2，a＝4，b＝2，‎ ‎∴椭圆E的方程为＝1．‎ ‎(2)假设椭圆E上存在关于直线l对称的相异两点P、Q，令P(x1，y1)、Q(x2，y2)，且PQ的中点为R(x0，y0)．‎ ‎∵PQ⊥l，‎ ‎∴kPQ＝＝－，‎ 又∵‎ 两式相减得：．‎ ‎∴＝－＝－×(－)＝，‎ 即＝，③‎ 又∵R(x0，y0)在直线l上，‎ ‎∴y0＝2x0－1，④‎ 由③④解得：x0＝2，y0＝3，‎ 所以点R与点A是同一点，这与假设矛盾，‎ 故椭圆E上不存在关于直线l对称的相异两点．‎ ‎19．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由， 可得平面，从而 ‎，结合，根据线面垂直的判定定理可得； 平面，所以；（Ⅱ）作于，连，由（Ⅰ）知，即为与平面所成角，设， ，而直线与平面所成角的正弦值是，即，以 为轴建立坐标系，取的中点，先证明平面的法向量是，再利用向量垂直数量积为零可得平面的法向量，根据空间向量夹角的余弦公式可得结果.‎ 试题解析：（Ⅰ）∵， ，‎ ‎∴， ，‎ 又， ，‎ ‎∴平面， ，‎ 又， ，‎ ‎∴平面， ．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可如图建立空间直角坐标系，‎ 作于，连，由（Ⅰ）知，‎ 即为与平面所成角，设， ，‎ 而直线与平面所成角的正弦值是，即．‎ ‎（或：平面的法向量是， ， ， ，‎ 则）．‎ 易知平面平面于，取的中点，则平面，‎ 而，则平面的法向量是，‎ ‎（或另法求出平面的法向量是），‎ 再求出平面的法向量，‎ 设二面角是，则，‎ ‎∴平面平面．‎ ‎ ‎ ‎20．解：（1）‎ x ‎－2‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大 极小 上最大值为13 ‎ ‎（2）上单调递增 又 上恒成立.‎ ‎①在 ‎②在 ‎ ‎③在 综合上述讨论可知，所求参数b取值范围是：b≥0‎ ‎ ‎ ‎21．（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设出动点P（x，y），列出方程，化简求解所求曲线C的轨迹方程即可；（2）由可知三角形为直角三角形，借助于三角形面积公式可将原点到直线的距离用表示，通过求得A,B点坐标将长度代入即可得到距离为定值 试题解析：（1）解：依据题意，动点满足.‎ 又 因此，动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且 ． ‎ 所以，所求曲线的轨迹方程是． ‎ ‎（2）证明：设原点到直线的距离为，且是曲线上满足 的两个动点．‎ ‎1. 若点在坐标轴上，则点也在坐标轴上，有，‎ 即 ‎ ‎2. 若点不在坐标轴上，可设． ‎ 由 得 ‎ 设点，同理可得， ‎ 于是， ． ‎ 利用，得． ‎ 综合1和2可知，总有，即原点到直线的距离为定值 ‎22．(1) .(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由条件知函数单调递减则则需在上恒成立,即在上恒成立，转化为求函数最值问题。（2）若对任意，总存在.使得成立，则，函数在的值域是在的值域的子集.分别求两个函数的值域，转化为集合间的包含关系即可。‎ ‎（1）因为，‎ 要使在为减函数，则需在上恒成立. ‎ 即在上恒成立，‎ 因为在为增函数，所以在的最小值为，‎ 所以.‎ ‎（2）因为，所以.‎ ‎，‎ 当时， ， 在上为递增，‎ 当时， ， 在上为递减，‎ 所以的最大值为，‎ 所以的值域为.‎ 若对任意，总存在.使得成立，则，‎ 函数在的值域是在的值域的子集.‎ 对于函数，‎ ‎①当时， 的最大值为，所以在上的值域为，‎ 由得；‎ ‎②当时， 的最大值为，所以在上的值域为，‎ 由得或 (舍）.‎ 综上所述， 的取值范围是.‎