2015年高考试题——数学理（山东卷）解析版

2015年高考试题——数学理（山东卷）解析版

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟.考试结束后，将将本试卷和答 题卡一并交回. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填 写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案卸载试卷上无效. 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能 使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式： 如果事件 ,AB互斥，那么      P A B P A P B   . 第Ⅰ卷（共 50 分） 一、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合要求的 （1）【2015 高考山东，理 1】已知集合  2 4 3 0A x x x    ，  24B x x   ,则 AB （ ） （A）（ 1，3） （B）（ 1，4） （C）（ 2，3） （D）（ 2，4） 【答案】C 【解析】因为    2 4 3 0 1 3A x x x x x       ， 所以      1 3 2 4 2 3A B x x x x x x        . 故选：C. 【考点定位】1、一元二次不等式；2、集合的运算. 【名师点睛】本题考查集合的概念与运算，利用解一元二次不等式的解法化简集合并求两集合的交集，本 题属基础题，要求学生最基本的算运求解能力. （2）【2015 高考山东，理 2】若复数 z 满足 1 z ii  ，其中i 为虚数为单位，则 z =（ ） （A）1 i （B）1 i （C） 1 i （D） 1 i 【答案】A 【考点定位】复数的概念与运算. 【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性. （3）【2015 高考山东，理 3】要得到函数 sin 4 3yx 的图象，只需要将函数 sin 4yx 的图象（ ） （A）向左平移 12  个单位 （B）向右平移 12  个单位 （C）向左平移 3  个单位 （D）向右平移 个单位 【答案】B 【考点定位】三角函数的图象变换. 【名师点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与 掌握，能否正 确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度. （4）【2015 高考山东，理 4】已知菱形 ABCD的边长为 a ， 60ABC ,则 BD CD（ ） （A） 23 2 a （B） 23 4 a （C） 23 4 a （D） 23 2 a 【答案】D 【考点定位】平面向量的线性运算与数量积. 【名师点睛】本题考查了平面向量的基础知识，重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌 握，属基础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题. （5）【2015 高考山东，理 5】不等式 1 5 2xx    的解集是（ ） （A）（ - ，4） （B）（ - ，1） （C）（ 1，4） （D）（ 1，5） 【答案】A 【考点定位】含绝对值的不等式的解法. 【名师点睛】本题考查了含绝对值的不等式的解法，重点考查学生利用绝对值的意义将含绝对值的不等式 转化为不含绝对值的不等式（组）从而求解的能力，本题属中档题. （6）【2015 高考山东，理 6】已知 ,xy满足约束条件 0 2 0 xy xy y      ，若 z ax y的最大值为 4，则 a  （ ） [来源:Zxxk.Com] （A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3 【答案】B 【解析】不等式组 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示， 若 z ax y的最大值为 4，则最优解可能为 1, 1xy 或 2, 0xy ，经检验， 是最优解， 此时 2a  ； 不是最优解.故选 B. 【考点定位】简单的线性规划问题. 【名师点睛】本题考查了简单的线性规划问题，通过确定参数 a 的值，考查学生对线性规划的方法理解的 深度以及应用的灵活性，意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力. （7）【2015 高考山东，理 7】在梯形 ABCD中， 2ABC ， / / , 2 2 2AD BC BC AD AB   .将梯 形 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） （A） 2 3  （B） 4 3  （C） 5 3  （D） 2 [来源:ZXXK] 【答案】C 【考点定位】1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积. 【名师点睛】本题考查了空间几何体的结构特征及空间几何体的体积的计算，重点考查了圆柱、圆锥的结 构特征和体积的计算，体现了对学生空间想象能力以及基本运算能力的考查，此题属中档题. （8）【2015 高考山东，理 8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布  20,3N ，从中随机 取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ） （附：若随机变量ξ服从正态分布  2,N  ，则   68.26%P          ，  2 2 95.44%P          。） （A）4.56% （B）13.59% （C）27.18% （D）31.74% 【答案】B 【考点定位】正态分布的概念与正态密度曲线的性质. 【名师点睛】本题考查了正 态分布的有关概念与运算，重点考查了正态密度曲线的性质以及如何利用正态 密度曲线求概率，意在考查学生对正态分布密度曲线性质的理解及基本的运算能力. （9）【2015 高考山东，理 9】一条光线从点 2, 3 射出，经 y 轴反射后与圆   223 2 1xy    相切， 则反射光线所在直线的斜率为（ ） （A） 5 3 或 3 5 （B） 3 2 或 2 3 （C） 5 4 或 4 5 （D） 4 3 或 3 4 【答案】D 【考点定位】1、圆的标准方程；2、直线的方程；3、直线与圆的位置关系. 【名师点睛】本题考查了圆与直线的方程的基础知识，重点考查利用对称性解决直线方程的有关问题以及 直线与圆的位置关系的判断，意在考查学生对直线与直线、直线与圆的位置关系的理解与把握以及学生的 运算求解能力. （10）【2015 高考山东，理 10】设函数   3 1, 1, 2 , 1x xxfx x    则满足     2 faf f a  的 a 取值范围是（ ） （A） 2 ,13   （B） 0,1 （C） 2 ,3  （D） 1,  【答案】C[来源:Zxxk.Com] 【考点定位】1、分段函数；2、指数函数. 【名师点睛】本题以分段函数为切入点，深入考查了学生对函数概念的理解与掌握，同时也考查了学生对 指数函数性质的理解与运用，渗透着对不等式的考查，是一个多知识点的综合题. 第Ⅱ卷（共 100 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. （11）【2015 高考山东，理 11】观察下列各式： 00 1 4C  0 1 1 334CC 0 1 2 2 5 5 5 4;C C C   0 1 2 3 3 7 7 7 7 4C C C C    …… 照此规律，当 nN 时， 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n nC C C C          . 【答案】 14n 【考点定位】1、合情推理；2、组合数. 【名师点睛】本题考查了合情推理与组合数，重点考查了学生对归纳推理的理解与运用，意在考查学生观 察、分析、归纳、推理判断的能力，关键是能从前三个特殊的等式中观察、归纳、总结出一般的规律，从 而得到结论.此题属基础题. (12) 【2015 高考山东，理 12】若“ 0, , tan4x x m   ”是真命题，则实数 m 的最小值为 . 【答案】1 【考点定位】1、命题；2、正切函数的性质. 【名师点睛】本题涉及到全称命题、正切函数的性质、不等式恒成立问题等多个知识点，意在考查学生综 合利用所学知识解决问题的能力，注意等价转化的思想的应用，此题属中档题. （13）【2015 高考山东，理 13】执行右边的程序框图，输出的T 的值为 . 【答案】11 6 所以答案应填：11.6 [来源:] 【考点定位】1、程序框图；2、定积分. 【名师点睛】本题考查了循环结构与定积分的计算，意在考查学生对程序框图的理解和基本的计算能力， 以程序框图为载体，可以展开对数列、函数、不等式、定积分等多种知识点的考查，此题是一个范例.解题 中要注意运算的准确性. (14) 【2015 高考山东，理 14】已知函数 ( ) ( 0, 1)xf x a b a a    的定义域和值域都是 1,0 ，则 ab . 【答案】 3 2 【考点定位】指数函数的性质. 【名师点睛】本题考查了函数的有关概念与性质，重点考查学生对指数函数的性质的理解与应用，利用方 程的思想解决参数的取值问题，注意分类讨论思想方法的应用. （15）【2015 高考山东，理 15】平面直角坐标系 xoy 中，双曲线   22 1 22: 1 0, 0xyC a bab    的渐近线与 抛物线  2 2: 2 0C x py p交于点 ,,O A B ，若 OAB 的垂心为 2C 的焦点，则 1C 的离心率 为 . 【答案】 3 2 【考点定位】1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质. 【名师点睛】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程与几何性质，意在考查学生对圆锥曲线基本问题的把 握以及分析问题解决问题的能力以及基本的运算求解能力，三角形的垂心的概念以及两直线垂直的条件是 突破此题的关键. 三、解答题：本答题共 6 小题，共 75 分. （16）（本小题满分 12 分） 【2015 高考山东，理 16】设   2sin cos cos 4f x x x x    . （Ⅰ）求  fx的单调区间； （Ⅱ）在锐角 ABC 中，角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc,若 0, 12 Afa ,求 面积的最大值. 【答案】（I）单调递增区间是  ,44k k k Z    ； 单调递减区间是  3,44k k k Z   （II） ABC 面积的最大值为 23 4  【考点定位】1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式. 【名师点睛】本题考查了三角函数的诱导公式、二倍角公式与解三角形的基本知识和基本不等式，意在考 查学生综合利用所学知识分析解决问题的能力，余弦定理结合基本不等式解决三角形的面积问题是一种成 熟的思路. (17) (本小题满分 12 分) 【2015 高考山东，理 17】如图，在三棱台 DEF ABC 中， 2 , ,AB DE G H 分别为 ,AC BC 的中点. （Ⅰ）求证： //BD 平面 FGH ； （Ⅱ）若CF  平面 ABC ， ,AB BC CF DE ， 45BAC ,求平面 与平面 ACFD 所成 的角（锐角）的大小. 【答案】（I）详见解析；（II）60 又OH  平面 ,FGH BD  平面 ,FGH 所以 //BD 平面 FGH ． 由 FC  平面 ABC ，得 HM FC 又 FC AC C 所以 HM 平面 ACFD 因此GF NH 所以 MNH 即为所求的角[来源:ZXXK] 【考点定位】1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角的求法；3、空间向量在解决立体几何问题中的应 用. 【名师点睛】本题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质，全面考查立几何中的证明与求解， 意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；利用空间向量解决立体几何问题是一种成熟的方法，要注 意建立适当的空间直角坐标系以及运 算的准确性. （18）（本小题满分 12 分） 【2015 高考山东，理 18】设数列 na 的前 n 项和为 nS .已知 2 3 3n nS . （I）求 的通项公式； （II）若数列 nb 满足 3logn n na b a ，求 的前 n 项和 nT . 【答案】（I） 1 3, 1, 3 , 1,n n na n    ; （II） 13 6 3 12 4 3n n nT  . 【考点定位】1、数列前 n 项和 nS 与通项 na 的关系；2、特殊数列的求和问 题. 【名师点睛】本题考查了数列的基本概念与运算，意在考查学生的逻辑思维能力与运算 求解能力，思维的 严密性和运算的准确性，在利用 与通项 的关系求 的过程中，一定要注意 1n  的情况，错位相减 不法虽然思路成熟但也对学生的运算能力提出了较高的要求. （19）（本小题满分 12 分） 【2015 高考山东，理 19】若 n 是一个三位正整数，且 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字， 则称 为“三位递增数”（如 137,359,567 等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递 增数”中随机抽取 1 个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不 能被 5 整除，参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得 1 分；若能被 10 整除，得 1 分. （I）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数” ； （II）若甲参加活动，求甲得分 X 的分布列和数学期望 EX . 【答案】（I）有：125，135，145，235，245，345； （II）X 的分布列为 X 0 -1 1 P 2 3 1 14 11 42 4 21EX  【考点定位】1、新定义；2、古典概型；3、离散型随机变量的分布列与数学期望；4、组合的应用. 【名师点睛】本题在一个新概念的背景下，考查了学生对组合、概率、离散型随机变量的分布列等知识， 意在考查学生对新知识的理解与应用能力，以及利用所学知识解决遇到了的问题的能力，解决此类问题的 关键是从实际问题中抽象出数学模型. （20）（本小题满分 13 分） 【2015 高考山东，理 20】平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆   22 22: 1 0xyC a bab    的离心率为 3 2 ， 左、右焦点分别是 12,FF，以 1F 为圆心以 3 为半径的圆与以 2F 为圆心以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设椭圆 22 22:144 xyE ab，P 为椭圆C 上任意一点，过点 的直线 y kx m交椭圆 E 于 ,AB两 点，射线 PO 交椭圆 E 于点Q . ( i )求 OQ OP 的值； （ii）求 ABQ 面积的最大值. 【答案】（I） 2 2 14 x y；（ II）( i )2；（ ii）63 . 【考点定位】1、椭圆的标准方程与几何性质；2、直线与椭圆位置关系综合问题；3、函数的最值问题. 【名师点睛】本题考查了椭圆的概念标准方程与几何性质以及直线与椭圆的位置关系，意在考查学生理解 力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，在得到三角形的面积的表 达式后，能否利用换元的方法，观察出其中的函数背景成了完全解决问题的关键. (21) (本小题满分 14 分) 【2015 高考山东，理 21】设函数      2ln 1f x x a x x    ，其中 aR . （Ⅰ）讨论函数  fx极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若  0, 0x f x   成立，求 a 的取值范围. 【答案】（I）：当 0a  时，函数  fx在 1,  上有唯一极值点； 当 80 9a时，函数 在 上无极值点； 当 8 9a  时，函数  fx在 1,  上有两个极值点；[来源:ZXXK] （II） a 的取值范围是 0,1 . （4）当 0a  时，设    ln 1h x x x   【考点定位】1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想. 【名师点睛】本题考查了导数在研究函数性质中的应用，着重考查了分类讨论、数形结合、转化的思想方 法，意在考查学生结合所学知识 分析问题、解决问题的能力，其中最后一问所构造的函数体现了学生对不 同函数增长模型的深刻理解.