山西省2018-2019学年高二上学期期末测评考试数学（文）试题答案(2)

山西省2018-2019学年高二上学期期末测评考试数学（文）试题答案(2)

一、选择题 1. A 【解析】 ∵ 命题 p 为真，命题 q 也为真，∴ p∧q 为真. 2. B 【解析】 ∵ 直线l1：x- 3姨 y-1=0的斜率为 3姨 3 ，∴ 与其垂直的直线l2的斜率为- 3姨 ，根据点斜式可得直线l2 的方程为y- 3姨 =- 3姨 （x+1），即 3姨 x+y=0. 3. D 【解析】 因为全称命题的否定是特称命题.第一步是将全称量词改写为存在量词，第二步是将结论加以否定. 4. D 【解析】 ∵ 根据函数的求导公式可得，∵ 1 x姨 姨′=- 1 x2 ，∴A 错；∵（sinx）′=cosx，∴B 错；∵（3x）′=3x ln3，∴C 错；D 正确. 5. C 【解析】 曲线 x2 16 + y2 9 =1表示椭圆，焦距为 2c=2 a2-b2姨 =2 16-9姨 =2 7姨 ，当 9＜k＜16 时，曲线 x2 16-k + y2 9-k =1 表示双曲线，焦距为 2c=2 a2+b2姨 =2 16-k+k-9姨 =2 7姨 ，两条曲线的焦距相等. 6． B 【解析】平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或异面. 7. D 【解析】由圆 O:x2+y2=1 可得圆心 O（0，0），半径 r=1，∵△OAB 为正三角形，∴ 圆心 O 到直线 x-y+m=0 的距离 为 3姨 2 r= 3姨 2 ，即 d= m 2姨 = 3姨 2 ，解得 m= 6姨 2 或- 6姨 2 . 8. B 【解析】∵ 抛物线 y= 1 2 x2 的准线方程为 y=- 1 2 ，∴m= 1 4 ，则离心率 e= 1+ 1 4姨 1 2 = 5姨 . 9. C 【解析】∵ 当m=2时可得l1:2x-2y-1=0，l2:x-y+1=0，∴l1∥l2，当l1∥l2时有m（m-1）-2=0成立，解得m=2或m=-1，但 当m=-1时，两条直线重合，所以应舍去，只得m=2，所以m=2是l1∥l2的充要条件. 10. C 【解析】∵y′ x=0=（ax+a+1）ex x=0=a+1=-2，∴a=-3. 11. D 【解析】在矩形 ABCD 中，沿 AC 将三角形 ADC 折起，当平面 ADC⊥平面 ABC 时，得到的四面体 A-BCD 的体积取到最大值，作 DE⊥AC，此时点 D 到平 面 ABC 的距离为 DE= AD×DC AC = 2 3姨 ×2 （2 3姨 ）2+22姨 = 3姨 ，∵AC=4，∴AE= AD2 AC =1， ∴CE=3，作 EF⊥AB，EG⊥BC，由△AEF∽△ACB，可得 EF= 1 2 ，∴DF= 13姨 2 ， ∴S△ADB= 1 2 ×2 3姨 × 13姨 2 = 39姨 2 ， 同理可得，S△DBC= 1 2 ×2× （ 3姨 ）2+ 3 3姨 2姨 ∽姨 2 = 39姨 2 ，∴ 四面体 A-BCD 的表面积为 S=S△ACD+S△ABC+S△ABD+S△BDC=4 3姨 + 39姨 . 秘密★启用前 2018－2019 学年度第一学期高二期末测评考试 文科数学（Ⅰ）参考答案及评分参考 高二文科数学试题答案 第 1 页（共 4 页） 12. A 【解析】∵ f（x1） x2 - f（x2） x1 ＜0且x∈（0，＋∞），∴ 当x2＞x1时，x1f（x1）＜x2f（x2），即函数xf（x）在（0，+∞）上是一个增函数. 设g（x）=xf（x）=ex-ax2，则有g′（x）=ex-2ax≥0，即 a≤ ex 2x ，设h（x）= ex 2x ，则有h′（x）=（x-1）ex 2x2 ，当x∈（0，1）时， h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上单调递减，当x∈（1，＋∞）时，h′（x）＞0，h（x）在（1，＋∞）上单调递增，h（x）在 x=1 处取 得最小值，h（1）= e 2 ，∴a≤ e 2 . 二、填空题 13.“若x≠1且x≠2，则x2-3x+2≠0”. 【解析】若原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为“若劭q，则劭p”. 14. 2x-y-1=0 【解析】∵y′ x=1 = 2 x x=1=2，∴切线方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0. 15. 2 3姨 3 【解析】∵C1A1⊥A1B1，C1A1⊥AA1，∴C1A1⊥平面AA1B1B， 又∵C1A1奂平面C1A1B，∴平面C1A1B⊥平面AA1B1B. 又∵A1B=平面C1A1B∩平面AA1B1B， ∴过A作AG⊥A1B，则AG的长为A到平面A1BC1的距离， 在Rt△AA1B中，AG= AB×AA1 A1B = 2× 2姨 6姨 = 2 3姨 3 . 法二：由等体积法可知ＶA－Ａ１ＢＣ１＝ＶＢ－ＡＡ１Ｃ１，解得点Ａ到平面Ａ１ＢＣ１的距离为 2 3姨 3 . 16. 7姨 3 【解析】∵ PF1 =2 PF2 ， PF1 + PF2 =2a，∴ PF1 =4a 3 ， PF2 =2a 3 . 又∵∠F1PF2=120°，∴在△F1PF2中， F1F2 2= PF1 2+ PF2 2-2 PF1 PF2 ·cos∠F1PF2， 即4c2= 4a 3∠ ∠2+ 2a 3∠ ∠2-2× 4a 3 ×2a 3 × - 1 2∠ ∠= 28a2 9 ，∴e= c a = 7 9姨 = 7姨 3 . 三、解答题 17. 解：由 p 可得 k>a !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!， 2 分 由 q 知 x2 k+1 + y2 3-k =1 表示双曲线，则（k+1）（3-k）<0，即 k<-1 或 k>3 !!!!!!!!!!!!!!， 5 分 ∴劭q：k∈［-1，3］. 又 ∵劭q 是 p 的充分不必要条件， ∴a<-1 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!. 10 分 18. 解：（1）由圆C的方程为x2+y2-2x+4y=0，即（x-1）2+（y+2）2=5，∴圆心C（1，-2），半径为 5姨 . 又∵直线l：x-2y+t=0 与圆C相切，∴圆心C到直线l的距离d= 1+4+t 5姨 = 5姨 ，即 t+5 =5， 解得t=0或t=-10. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6分 （2）由题得，圆心M（-2，4），∵圆M：（x+2）2+（y-4）2=r2 与圆C有3条公切线， ∴圆M与圆C相外切，即 CM = 5姨 +r，又∵ CM =3 5姨 ，∴解得r=2 5姨 . !!!!!!!!!!!!! 12分 19. 解：（1）∵ 直线 x-y-2=0 经过抛物线 C 的焦点， ∴ 抛物线 C 的焦点坐标为（2，0）， ∴ 抛物线 C 的准线方程为 x=-2. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4 分 高二文科数学试题答案 第 2 页（共 4 页） 高二文科数学试题答案 第 3 页（共 4 页） （2）设过抛物线 C 的焦点且斜率为-1 的直线方程为 y=-x+ p 2 ，且直线与 C 交于 A（x1，y1），B（x2，y2）. 由 y=-x+ p 2 ， y2=2p x 化简得 x2-3px+p2 4 =0， ∴x1+x2=3p. 又 ∵ AB =x1+x2+p=4p=2，解得 p= 1 2 ， ∴ 抛物线 C 的方程为 y2=x !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!. 12 分 20. 解：（1）当 a=1 时，f（x）=（x2-x-1）ex， ∴f′（x）=（x2+x-2）ex=（x+2）（x-1）ex. （-∞，-2） -2 （-2，1） 1 （1，+∞） f′（x） + 0 - 0 + f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ∴ 函数 f（x）的单调递增区间为（-∞，-2）和（1，+∞），单调递减区间为（-2，1） !!!!!!!!!!!!. 6 分 （2）g′（x）=［x2-（a-2）x-（a-1）］ex=（x+1）［x-（a-1）］ex. ∵a≥0， ∴ 当 a＝0 时，a-1=-1，即 g（x）在 R 上单调递增，无极值，∴ 不符合题意，舍去； 当 a＞0 时，a-1＞-1，则有 （-∞，-1） -1 （-1，a-1） a-1 （a-1，+∞） f′（x） + 0 - 0 + f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ∴a-1=1，解得 a=2. ∴ 函数 g（x）在 x=-1 处取得极大值，且极大值为 g（-1）=f（-1）+2e-1= 4 e !!!!!!!!!!!!!. 12 分 21. 解：（1）由题意得 c a = 2姨 2 ， a2=b2+c2， b=2 . 解得 a2=8，b2=4， ∴ 椭圆 C 的标准方程为x2 8 +y2 4 =1 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!. 4 分 （2）设 M（x0，y0），且 x0 2+y0 2=12. 由题意知，过点 M 与椭圆 C 相切的切线方程可设为 y-y0=k（x-x0）， 由 y-y0=k（x-x0）， x2 8 +y2 4 = 1 化简得（1+2k2）x2+4k（y0-kx0）x+2（y0-kx0）2-8=0， ∵ 直线与椭圆相切， ∴Δ= 4k（y0-kx0姨 姨） 2-4（1+2k2） 2（y0-kx0）2-姨 姨8 =0， 化简得（x0 2-8）k2-2x0y0k+y0 2-4=0 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!. 10 分 ∴k1·k2= y0 2-4 x0 2-8 = y0 2-4 12-y0 2-8 = y0 2-4 4-y0 2 =-1. ∴ 两条切线斜率的积为定值 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!. 12 分 高二文科数学试题答案 第 4 页（共 4 页） 22. 解：（1）当 a=1 时，f（x）=2lnx-x2，x∈（0，+∞）. f′（x）= 2 x -2x= 2（1-x2） x = 2（1-x）（1+x） x ， （0，1） 1 （1，+∞） f′（x） + 0 - f（x） 单调递增 极大值 单调递减 ∴ 函数 f（x）的最大值为 f（1）=-1，即当 x∈（0，+∞）时，f（x）≤-1， ∴x∈（0，+∞）时，f（x）+1≤0. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6 分 （2）函数 f（x）的定义域为（0，+∞）. 当 a＞0 时，f′（x）= 2 x -2ax= 2（1-ax2） x = 2（1- a姨 x）（1+ a姨 x） x ， 0， 1 a姨姨 姨 1 a姨 1 a姨 ，+姨 姨∞ f′（x） + 0 - f（x） 单调递增 极大值 单调递减 当 x→0 时，f（x）→-∞，当 x→+∞时，f（x）→-∞. 又 ∵ 函数 f（x）的最大值为 f 1 a姨姨 姨=2ln 1 a姨姨 姨-a· 1 a姨姨 姨2=-lna-1， （i）当 0＜a＜ 1 e 时，f 1 a姨姨 姨=-lna-1＞0，∴ 函数 f（x）在（0，+∞）上有两个零点； （ii）当 a= 1 e 时，f 1 a姨姨 姨=-lna-1=0，∴ 函数 f（x）在（0，+∞）上只有一个零点； （iii）当 a＞ 1 e 时，f 1 a姨姨 姨=-ln a-1＜0，∴ 函数 f（x）在（0，+∞）上没有零点. ∴ 当 0＜a＜ 1 e 时，函数 f（x）在（0，+∞）上有两个零点； 当 a= 1 e 时，函数 f（x）在（0，+∞）上只有一个零点； 当 a＞ 1 e 时，函数 f（x）在（0，+∞）上没有零点 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!. 12 分