2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§11-2　离散型随机变量及其分布列、均值与方差（试题部分）

2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§11-2　离散型随机变量及其分布列、均值与方差（试题部分）

‎§11.2　离散型随机变量及其分布列、均值与方差 基础篇固本夯基 ‎【基础集训】‎ 考点一　离散型随机变量及其分布列 ‎1.若离散型随机变量X的分布列如下表,则常数c的值为(　　)‎ X ‎0‎ ‎1‎ P ‎9c2-c ‎3-8c A.‎2‎‎3‎或‎1‎‎3‎　　　B.‎2‎‎3‎　　　C.‎1‎‎3‎　　　D.1‎ 答案　C ‎2.为创建国家级文明城市,某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”,该城市某出租车公司共200名司机,他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.‎ ‎(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数;‎ ‎(2)从这200名司机中任选两人,设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X,求X的分布列及数学期望.‎ 解析　(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人,‎ 送考2次的有100人,送考3次的有80人,‎ ‎∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为‎20×1+100×2+80×3‎‎200‎=2.3.‎ ‎(2)从该公司任选两名司机,记“这两人中一人送考1次,另一人送考2次”为事件A,‎ ‎“这两人中一人送考2次,另一人送考3次”为事件B,‎ ‎“这两人中一人送考1次,另一人送考3次”为事件C,‎ ‎“这两人送考次数相同”为事件D,‎ 由题意知X的所有可能取值为0,1,2,‎ P(X=1)=P(A)+P(B)=C‎20‎‎1‎C‎100‎‎1‎C‎200‎‎2‎+C‎100‎‎1‎C‎80‎‎1‎C‎200‎‎2‎=‎100‎‎199‎,‎ P(X=2)=P(C)=C‎20‎‎1‎C‎80‎‎1‎C‎200‎‎2‎=‎16‎‎199‎,‎ P(X=0)=P(D)=C‎20‎‎2‎‎+C‎100‎‎2‎+‎C‎80‎‎2‎C‎200‎‎2‎=‎83‎‎199‎,‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎83‎‎199‎ ‎100‎‎199‎ ‎16‎‎199‎ E(X)=0×‎83‎‎199‎+1×‎100‎‎199‎+2×‎16‎‎199‎=‎132‎‎199‎.‎ 考点二　离散型随机变量的均值与方差 ‎3.设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b,若X的数学期望为E(X)=3,则a-b=(　　)‎ A.‎1‎‎10‎　　　B.0　　　C.-‎1‎‎10‎　　　D.‎‎1‎‎5‎ 答案　A ‎4.已知离散型随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎8‎‎27‎ ‎4‎‎9‎ m ‎1‎‎27‎ 则X的数学期望E(X)=(　　)‎ A.‎2‎‎3‎　　　B.1　　　C.‎3‎‎2‎　　　D.2‎ 答案　B ‎5.已知随机变量ξ满足P(ξ=0)=‎1‎‎3‎,P(ξ=1)=x,P(ξ=2)=‎2‎‎3‎-x,若0D(ξ2)‎ C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)‎ 答案　A ‎8.(2017课标Ⅱ,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX=　　　　. ‎ 答案　1.96‎ ‎9.(2018课标Ⅰ,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件做检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(00;‎ 当p∈(0.1,1)时, f '(p)<0.‎ 所以f(p)的最大值点为p0=0.1.‎ ‎(2)由(1)知,p=0.1,‎ ‎(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,‎ 所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.‎ ‎(ii)如果对余下的产品做检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.‎ 由于EX>400,故应该对余下的产品做检验.‎ 教师专用题组 考点一　离散型随机变量及其分布列 ‎1.(2015四川,17,12分)某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.‎ ‎(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;‎ ‎(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.‎ 解析　(1)由题意得,参加集训的男、女生各有6名.‎ 参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为C‎3‎‎3‎C‎4‎‎3‎C‎6‎‎3‎C‎6‎‎3‎=‎1‎‎100‎.‎ 因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-‎1‎‎100‎=‎99‎‎100‎.‎ ‎(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.‎ P(X=1)=C‎3‎‎1‎C‎3‎‎3‎C‎6‎‎4‎=‎1‎‎5‎,P(X=2)=C‎3‎‎2‎C‎3‎‎2‎C‎6‎‎4‎=‎3‎‎5‎,‎ P(X=3)=C‎3‎‎3‎C‎3‎‎1‎C‎6‎‎4‎=‎1‎‎5‎.‎ 所以X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1‎‎5‎ ‎3‎‎5‎ ‎1‎‎5‎ 因此,X的数学期望为 E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)‎ ‎=1×‎1‎‎5‎+2×‎3‎‎5‎+3×‎1‎‎5‎=2.‎ ‎2.(2015重庆,17,13分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.‎ ‎(1)求三种粽子各取到1个的概率;‎ ‎(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.‎ 解析　(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)=C‎2‎‎1‎C‎3‎‎1‎C‎5‎‎1‎C‎10‎‎3‎=‎1‎‎4‎.‎ ‎(2)X的所有可能值为0,1,2,且 P(X=0)=C‎8‎‎3‎C‎10‎‎3‎=‎7‎‎15‎,P(X=1)=C‎2‎‎1‎C‎8‎‎2‎C‎10‎‎3‎=‎7‎‎15‎,‎ P(X=2)=C‎2‎‎2‎C‎8‎‎1‎C‎10‎‎3‎=‎1‎‎15‎.‎ 综上知,X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎7‎‎15‎ ‎7‎‎15‎ ‎1‎‎15‎ 故E(X)=0×‎7‎‎15‎+1×‎7‎‎15‎+2×‎1‎‎15‎=‎3‎‎5‎(个).‎ ‎3.(2013课标Ⅰ,19,12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件做检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件做检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件做检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.‎ 假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为‎1‎‎2‎,且各件产品是否为优质品相互独立.‎ ‎(1)求这批产品通过检验的概率;‎ ‎(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品做质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.‎ 解析　(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)‎ ‎=‎4‎‎16‎×‎1‎‎16‎+‎1‎‎16‎×‎1‎‎2‎=‎3‎‎64‎.‎ ‎(2)X可能的取值为400,500,800,并且 P(X=400)=1-‎4‎‎16‎-‎1‎‎16‎=‎11‎‎16‎,P(X=500)=‎1‎‎16‎,P(X=800)=‎1‎‎4‎.‎ 所以X的分布列为 X ‎400‎ ‎500‎ ‎800‎ P ‎11‎‎16‎ ‎1‎‎16‎ ‎1‎‎4‎ EX=400×‎11‎‎16‎+500×‎1‎‎16‎+800×‎1‎‎4‎=506.25.‎ 思路分析　(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,进而求解.‎ ‎(2)X可能的取值为400,500,800,分别求其对应的概率,进而可得分布列、期望. ‎ ‎4.(2013课标Ⅱ,19,12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如下图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品,以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.‎ ‎(1)将T表示为X的函数;‎ ‎(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率;‎ ‎(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求T的数学期望.‎ 解析　(1)当X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000,‎ 当X∈[130,150]时,T=500×130=65 000.‎ 所以T=‎‎800X-39 000,100≤X<130,‎‎65 000,　　　130≤X≤150.‎ ‎(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.‎ 由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.‎ ‎(3)依题意可得T的分布列为 T ‎45 000‎ ‎53 000‎ ‎61 000‎ ‎65 000‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ 所以ET=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=59 400.‎ 思路分析　(1)经分段讨论(分X∈[100,130)和X∈[130,150])得函数解析式.‎ ‎(2)先求出利润T不少于57 000元时X的范围,然后根据直方图得到概率的估计值.‎ ‎(3)T可能的取值是45 000,53 000,61 000,65 000,由此结合题意列出分布列,进而得期望.‎ 易错警示　(1)中容易忽略100≤X≤150而导致出错.‎ 考点二　离散型随机变量的均值与方差 ‎5.(2017北京,17,13分)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.‎ ‎(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;‎ ‎(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ);‎ ‎(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)‎ 解析　本题考查古典概型,离散型随机变量的分布列与数学期望,方差等知识.‎ ‎(1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为‎15‎‎50‎=0.3.‎ ‎(2)由题图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C.‎ 所以ξ的所有可能取值为0,1,2.‎ P(ξ=0)=C‎2‎‎2‎C‎4‎‎2‎=‎1‎‎6‎,P(ξ=1)=C‎2‎‎1‎C‎2‎‎1‎C‎4‎‎2‎=‎2‎‎3‎,P(ξ=2)=C‎2‎‎2‎C‎4‎‎2‎=‎1‎‎6‎.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎1‎‎6‎ ‎2‎‎3‎ ‎1‎‎6‎ 故ξ的期望E(ξ)=0×‎1‎‎6‎+1×‎2‎‎3‎+2×‎1‎‎6‎=1.‎ ‎(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.‎ 方法总结　①在求解离散型随机变量的分布列与数学期望时,先确定随机变量的取值及各个取值对应的概率,利用期望的公式求数学期望;②在比较数据的方差时,可以根据两组数据的集中或分散程度进行比较.‎ ‎6.(2016山东,19,12分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是‎3‎‎4‎,乙每轮猜对的概率是‎2‎‎3‎;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:‎ ‎(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;‎ ‎(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.‎ 解析　(1)记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,记事件C:“甲第二轮猜对”,记事件D:“乙第二轮猜对”,记事件E:“‘星队’至少猜对3个成语”.‎ 由题意得,E=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD,‎ 由事件的独立性与互斥性,得 P(E)=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)‎ ‎=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)·P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)·P(D)‎ ‎=‎3‎‎4‎×‎2‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎2‎‎3‎+2×‎1‎‎4‎‎×‎2‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎2‎‎3‎+‎3‎‎4‎×‎1‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎‎2‎‎3‎=‎2‎‎3‎.‎ 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为‎2‎‎3‎.‎ ‎(2)由题意得,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.‎ 由事件的独立性与互斥性,得 P(X=0)=‎1‎‎4‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎4‎×‎1‎‎3‎=‎1‎‎144‎,‎ P(X=1)=2×‎3‎‎4‎‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎4‎×‎1‎‎3‎+‎1‎‎4‎×‎2‎‎3‎×‎1‎‎4‎×‎‎1‎‎3‎=‎10‎‎144‎=‎5‎‎72‎,‎ P(X=2)=‎3‎‎4‎×‎1‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎1‎‎3‎+‎3‎‎4‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎4‎×‎2‎‎3‎+‎1‎‎4‎×‎2‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎1‎‎3‎+‎1‎‎4‎×‎2‎‎3‎×‎1‎‎4‎×‎2‎‎3‎=‎25‎‎144‎,‎ P(X=3)=‎3‎‎4‎×‎2‎‎3‎×‎1‎‎4‎×‎1‎‎3‎+‎1‎‎4‎×‎1‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎2‎‎3‎=‎12‎‎144‎=‎1‎‎12‎,‎ P(X=4)=2×‎3‎‎4‎‎×‎2‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎1‎‎3‎+‎3‎‎4‎×‎2‎‎3‎×‎1‎‎4‎×‎‎2‎‎3‎=‎60‎‎144‎=‎5‎‎12‎,‎ P(X=6)=‎3‎‎4‎×‎2‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎2‎‎3‎=‎36‎‎144‎=‎1‎‎4‎.‎ 可得随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ P ‎1‎‎144‎ ‎5‎‎72‎ ‎25‎‎144‎ ‎1‎‎12‎ ‎5‎‎12‎ ‎1‎‎4‎ 所以数学期望EX=0×‎1‎‎144‎+1×‎5‎‎72‎+2×‎25‎‎144‎+3×‎1‎‎12‎+4×‎5‎‎12‎+6×‎1‎‎4‎=‎23‎‎6‎.‎ 评析　本题考查了随机事件发生的概率及离散型随机变量的分布列与数学期望,确定随机变量可能的取值是解题的关键.属于中档题. ‎ ‎7.(2015福建,16,13分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.‎ ‎(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;‎ ‎(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.‎ 解析　(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,‎ 则P(A)=‎5‎‎6‎×‎4‎‎5‎×‎3‎‎4‎=‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.‎ P(X=1)=‎1‎‎6‎,P(X=2)=‎5‎‎6‎×‎1‎‎5‎=‎1‎‎6‎,P(X=3)=‎5‎‎6‎×‎4‎‎5‎×1=‎2‎‎3‎,‎ 所以X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1‎‎6‎ ‎1‎‎6‎ ‎2‎‎3‎ 所以E(X)=1×‎1‎‎6‎+2×‎1‎‎6‎+3×‎2‎‎3‎=‎5‎‎2‎.‎ ‎8.(2015安徽,17,12分)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.‎ ‎(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;‎ ‎(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望).‎ 解析　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,‎ 则P(A)=A‎2‎‎1‎A‎3‎‎1‎A‎5‎‎2‎=‎3‎‎10‎.‎ ‎(2)X的可能取值为200,300,400.‎ P(X=200)=A‎2‎‎2‎A‎5‎‎2‎=‎1‎‎10‎,‎ P(X=300)=A‎3‎‎3‎‎+‎C‎2‎‎1‎C‎3‎‎1‎A‎2‎‎2‎A‎5‎‎3‎=‎3‎‎10‎,‎ P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1-‎1‎‎10‎-‎3‎‎10‎=‎6‎‎10‎.‎ 故X的分布列为 X ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ P ‎1‎‎10‎ ‎3‎‎10‎ ‎6‎‎10‎ EX=200×‎1‎‎10‎+300×‎3‎‎10‎+400×‎6‎‎10‎=350.‎ ‎9.(2015天津,16,13分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.‎ ‎(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;‎ ‎(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.‎ 解析　(1)由已知,有 P(A)=C‎2‎‎2‎C‎3‎‎2‎‎+‎C‎3‎‎2‎C‎3‎‎2‎C‎8‎‎4‎=‎6‎‎35‎.‎ 所以,事件A发生的概率为‎6‎‎35‎.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.‎ P(X=k)=C‎5‎kC‎3‎‎4-kC‎8‎‎4‎(k=1,2,3,4).‎ 所以,随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎1‎‎14‎ ‎3‎‎7‎ ‎3‎‎7‎ ‎1‎‎14‎ 随机变量X的数学期望E(X)=1×‎1‎‎14‎+2×‎3‎‎7‎+3×‎3‎‎7‎+4×‎1‎‎14‎=‎5‎‎2‎.‎ 评析　本题主要考查古典概型及其概率计算公式,离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.属中等难度题.‎ ‎10.(2017江苏,23,10分)已知一个口袋中有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ m+n ‎ (1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P;‎ ‎(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明:E(X)1,n∈N*)电子元件串联起来成组进行检验.若检测通过,则全部为正品,若检测不通过,则至少有一个次品,再逐一检测,直到把所有的次品找出,若检验一个电子元件的花费为5分钱,检验一组(n个)电子元件的花费为(4+n)分钱.‎ ‎(1)当n=4时,估算一组待检元件中有次品的概率;‎ ‎(2)设每个电子元件检测费用的期望为A(n),求A(n)的表达式;‎ ‎(3)试估计n的值,使每个电子元件的检测费用的期望最小.‎ ‎(提示:用(1-p)n≈1-np进行估算)‎ 解析　(1)设事件A:一组(4个)电子元件中有次品,则事件A:一组(4个)电子元件中无次品,即4个电子元件均是正品.‎ 又4个电子元件是不是次品相互独立,故P(A)=(1-0.002)4,‎ 所以P(A)=1-P(A)=1-(1-0.002)4≈1-(1-4×0.002)=0.008.‎ ‎(2)设每组(n个)电子元件的检测费用为X分钱,则X的所有可能取值为n+4,6n+4,‎ P(X=n+4)=0.998n,P(X=6n+4)=1-0.998n,‎ 则X的分布列为 X n+4‎ ‎6n+4‎ P ‎0.998n ‎1-0.998n 所以EX=(n+4)×0.998n+(6n+4)×(1-0.998n)=6n+4-5n×0.998n,‎ 则有A(n)=EXn=6+‎4‎n-5×0.998n(n>1,n∈N*).‎ ‎(3)A(n)=6+‎4‎n-5×0.998n=6+‎4‎n-5×(1-0.002)n≈6+‎4‎n-5×(1-0.002n)=1+0.01n+‎4‎n≥1+2‎0.01n×‎‎4‎n=1.4,‎ 当且仅当0.01n=‎4‎n时取等号,此时n=20.‎ 所以,估计当n=20时,每个电子元件平均检测费用最低,约为1.4分钱.‎ 思路分析　(1)设事件A:一组(4个)电子元件中有次品,则事件A:一组(4个)电子元件中无次品,即4个电子元件均为正品.根据4个电子元件是不是次品相互独立,用对立事件的概率公式可得结果.(2)设每组(n个)电子元件的检测费用为X分钱,则X的所有可能取值为n+4,6n+4,P(X=n+4)=0.998n,P(X=6n+4)=1-0.998n,然后写出分布列.(3)用(1-p)n≈1-np进行估算,然后用基本不等式可得结果.‎ ‎9.(2019山西朔州二模,19)某客户准备在家中安装一套净水系统,该系统为三级过滤,使用寿命为十年.如图所示,两个一级过滤器采用并联安装,二级过滤器与三级过滤器为串联安装.‎ 其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中,一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立),三级滤芯无需更换,若客户在安装净水系统的同时购买滤芯,则一级滤芯每个80元,二级滤芯每个160元.若客户在使用过程中单独购买滤芯,则一级滤芯每个200元,二级滤芯每个400元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量,为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表,其中图是根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图,表是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表.‎ 二级滤芯更换频数分布表 二级滤芯更换的个数 ‎5‎ ‎6‎ 频数 ‎60‎ ‎40‎ 以200个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率,以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.‎ ‎(1)求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率;‎ ‎(2)记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数,求X的分布列及数学期望;‎ ‎(3)记m,n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若m+n=28,且n∈{5,6},以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望为决策依据,试确定m,n的值.‎ 解析　(1)由题意可知,若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30,则该套净水系统中的两个一级过滤器均需更换12个滤芯,二级过滤器需要更换6个滤芯.设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30”为事件A.‎ 因为一个一级过滤器需要更换12个滤芯的概率为0.4,一个二级过滤器需要更换6个滤芯的概率为0.4,所以P(A)=0.4×0.4×0.4=0.064.(3分)‎ ‎(2)由柱状图可知,在使用期内一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为10,11,12的概率分别为0.2,0.4,0.4.‎ 由题意知,X可能的取值为20,21,22,23,24,‎ P(X=20)=0.2×0.2=0.04,P(X=21)=0.2×0.4×2=0.16,‎ P(X=22)=0.4×0.4+0.2×0.4×2=0.32,‎ P(X=23)=0.4×0.4×2=0.32,P(X=24)=0.4×0.4=0.16.(5分)‎ 所以X的分布列为 X ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ P ‎0.04‎ ‎0.16‎ ‎0.32‎ ‎0.32‎ ‎0.16‎ EX=20×0.04+21×0.16+22×0.32+23×0.32+24×0.16=22.4.(7分)‎ ‎(3)若m=22,n=6,设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为Y1元,则 Y1‎ ‎1 760‎ ‎1 960‎ ‎2 160‎ P ‎0.52‎ ‎0.32‎ ‎0.16‎ EY1=1 760×0.52+1 960×0.32+2 160×0.16=1 888.‎ 设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为Y2元,则Y2=6×160=960,E(Y2)=1×960=960.‎ 所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望为EY1+EY2=1 888+960=2 848元.(9分)‎ 若m=23,n=5,设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为Z1元,则 Z1‎ ‎1 840‎ ‎2 040‎ P ‎0.84‎ ‎0.16‎ EZ1=1 840×0.84+2 040×0.16=1 872.(10分)‎ 设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为Z2元,则 Z2‎ ‎800‎ ‎1 200‎ P ‎0.6‎ ‎0.4‎ EZ2=800×0.6+1 200×0.4=960.‎ 所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望为EZ1+EZ2=1 872+960=2 832元.‎ 因为2 832<2 848,‎ 故m,n的值分别为23,5.(12分)‎ ‎10.(2018云南玉溪适应性训练,18)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕,基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质,基地收益如下表所示:‎ 周一 无雨 无雨 有雨 有雨 周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益 ‎20万元 ‎15万元 ‎10万元 ‎7.5万元 若基地额外聘请工人,可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为20万元;有雨时,收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.‎ 已知下周一和下周二有雨的概率相同,两天是否有雨互不影响,基地收益为20万元的概率为0.36.‎ ‎(1)若不额外聘请工人,写出基地收益X的分布列及基地的预期收益;‎ ‎(2)该基地是否应该外聘工人?请说明理由.‎ 解析　(1)设下周一无雨的概率为p(p>0),由题意知下周二无雨的概率也为p,‎ ‎∵基地收益为20万元的概率为0.36,‎ ‎∴p2=0.36,解得p=0.6,‎ ‎∴下周一和下周二有雨的概率均为1-0.6=0.4.‎ 基地收益X(单位:万元)的可能取值为20,15,10,7.5,P(X=20)=0.36,‎ P(X=15)=0.24,P(X=10)=0.24,P(X=7.5)=0.16.‎ ‎∴基地收益X的分布列为 X ‎20‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎7.5‎ P ‎0.36‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.16‎ E(X)=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4(万元),‎ ‎∴基地的预期收益为14.4万元.‎ ‎(2)设该基地额外聘请工人时的收益为Y万元,‎ 则其预期收益E(Y)=20×0.6+10×0.4-a=(16-a)万元,‎ E(Y)-E(X)=(1.6-a)万元,‎ 所以,当额外聘请工人的成本高于1.6万元时,不外聘工人;成本低于1.6万元时,外聘工人;成本恰为1.6万元时,是否外聘工人均可以.‎