数学理卷·2018届广东省肇庆市实验中学、高要市新桥中学高二下学期期末联考（2017-07）

数学理卷·2018届广东省肇庆市实验中学、高要市新桥中学高二下学期期末联考（2017-07）

新桥中学、肇庆实中2016-2017学年第二学期 高二年级期末考试 数学（理科） ‎ 命题人：刘玲 审核人：高二备考组 说明：‎ ‎1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。‎ ‎2.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。‎ ‎　　3.选择题选出答案后，用黑色2B铅笔在答题卡上涂黑，不能答在试卷上。‎ ‎　　4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎ 5.考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，只交回答题卷以及选择题答题卡。‎ 参考公式：线性回归方程中系数计算公式：‎ ‎，，其中，表示样本均值.‎ 列联表随机变量. 与k对应值表：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 一 、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）若z=4+3i，则 =（　） ‎ A、1 B、﹣‎1 C、 D、‎ ‎（2）盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则抽出1个白球和2个红球的概率是 ( ) ‎ A、 B、 C、 D、 ‎ ‎（3）定积分的值为          （     ）                                                  ‎ ‎ A、 B、 C、 D、 ‎ ‎（4）函数y=3x2-2lnx的单调增区间为（    ） ‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎（5）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（   ） ‎ A、假设至少有一个钝角 B、假设至少有两个钝角 C、假设没有一个钝角 D、假设没有一个钝角或至少有两个钝角 ‎（6）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞2）=p，则P（﹣2＜ξ＜0）=（　） ‎ A、+P B、1﹣P    C、﹣P D、1﹣2P ‎（7）设a,b为实数，若复数， 则(   ) ‎ A、a=1,b=3 B、a=3,b=‎1 C、a=,b= D、a=, b=‎ ‎（8）将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有（   ） ‎ A、12 B、‎24 C、36 D、72‎ ‎（9）已知随机变量X的概率分布列如表所示：且X的数学期望EX=6，则（　）‎ X ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ p ‎0.4‎ a b ‎0.1‎ A、a=0.3，b=0.2 B、a=0.2，b=‎0.3 ‎C、a=0.4，b=0.1 D、a=0.1，b=0.4‎ ‎（10）某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用2×2列联表计算得k2≈3.918． 附表：‎ P（k2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过（　） ‎ A、95% B、5% C、97.5%  D、2.5%‎ ‎（11）在的展开式中，x4的系数为（　） ‎ A、﹣120 B、‎120 C、-15 D、15‎ ‎（12）设函数y=f(x)的定义域为R+，若对于给定的正数K，定义函数，则当函数时，定积分的值为（   ） ‎ A、2ln2+2 B、2ln2‎-1 C、2ln2 D、2ln2+1‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎(13) 用数学归纳法证明：  ，在验证n＝1时，左边计算所得的项为________ ‎ ‎(14) 10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有________ 种． ‎ ‎(15) 函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值为10，则a+b的值为_______ ‎ ‎(16) 如图是函数 的导函数的图象，对此图象，有如下结论： ①在区间（-2，1）内是增函数； ②在区间（1，3）内是减函数； ③在x=2时，取得极大值； ④在x=3时，取得极小值。 其中正确的是________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本小题12分）‎ 如图，四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD.‎ ‎（Ⅰ）若PO=2AO，求直线AP与平面ABCD夹角的余弦值.‎ ‎（Ⅱ）证明BD⊥平面PAC． ‎ ‎（18）（本小题12分）‎ 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x吨与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎（Ⅰ）根据上表数据用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程． （Ⅱ）由（Ⅰ）预测技改后生产100吨甲产品的生产能耗是多少吨标准煤？ ‎ ‎（19）（本小题12分）‎ 某校高三数学备课组为了更好的制定二轮复习的计划，开展了试卷讲评后效果的调研，从上学期期末数学试题中选出一些学生易错题．重新进行测试，并认为做这些题不出任何错误的同学为“过关”，出了错误的同学认为“不过关”，现随机调查了年级50人，他们的测试成绩的频数分别如表： （Ⅰ）由以上统计数据完成如下2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为期末数学成绩不低于90分与测试“过关”是否有关？说明你的理由．‎ 分数低于90分人数 分数不低于90分人数 ‎ 合计 ‎ 过关人数 ‎ 不过关人数 ‎ 合计 ‎（Ⅱ）在期末分数段[105，120）的5人中，从中随机选3人，记抽取到过关测试“过关”的人数为X，求X的分布列及数学期望． ‎ ‎（20）（本小题12分）‎ 已知x=3是函数f(x)= aln(1+x)+ x2﹣10x的一个极值点． ‎ ‎ （Ⅰ）求a； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间； （Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．‎ ‎（21）（本小题12分）‎ 已知函数f(x)= alnx +bx2﹣（b+a）x． （Ⅰ）当a=1，b=0时，求f(x)的最大值； （Ⅱ）当b=1时，设α，β是f(x)两个极值点，且α＜β，β∈（1，e]（其中e为自然对数的底数）．求证：对任意的x1 ，x2∈[α，β]，|f(x1)﹣f(x2)|＜1．‎ 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎（22）（本小题10分）‎ 极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ． ‎ ‎（Ⅰ）求C的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|．‎ ‎（23）（本小题10分）‎ 已知关于x的不等式|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤a． （Ⅰ）当a=3时，求不等式的解集； （Ⅱ）若不等式有解，求实数a的取值范围．‎ 新桥中学、肇庆实中2016-2017学年第二学期 高二年级期末考试 ‎（ 理科数学）参考答案 ‎ ‎ ‎ 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C C C B C D C A B C D 二、填空题 ‎（13）_________1+a+a2_____________ （14）__________77____________‎ ‎（15）___________-7__________ __ （16）_________③_____________‎ ‎17（12分）‎ ‎（Ⅰ）PO⊥平面ABCD，AC平面ABCD，PO⊥AC 在RtAOP中，PO=2AO，AP=‎ 直线AP与平面ABCD夹角的余弦值为 ‎（Ⅱ）PO⊥平面ABCD，BD平面ABCD， PO⊥BD； AC、BD是正方形ABCD的对角线， AC⊥BD； PO⊥BD，AC⊥BD，PO∩AC=O，且PO平面PAC，AC平面PAC， BD⊥平面PAC．‎ ‎18 (12分)‎ ‎（1）对照数据，计算得=86， =66.5，=4.5，‎ ‎=3.5， ∴回归方程的系数为b==0.7，a=0.35， ∴所求线性回归方程为y=0.7x+0.35 （2）由（1）求出的线性回归方程，估计生产100吨甲产品的生产能耗为0.7×100+0.35=70.35（吨）， ∴估计生产100吨甲产品的生产能耗为70.35吨． 19（12分）‎ ‎（I）依题意得，a=12，b=18，c=14，d=6， 填写列联表如下；‎ 分数低于9（0分）人数 分数高于9（0分）人数 合计 过关人数 ‎      12‎ ‎        14‎ ‎ 26‎ 不过关人数 ‎      18‎ ‎        6‎ ‎ 24‎ 合计 ‎     30‎ ‎        20‎ ‎  50‎ 计算观测值K2= 对照数表知，有95%的把握认为期末数学成绩不低于90（分）与测试“过关”有关； （II）在期末分数段[105，120）的5人中，有3人 测试“过关”， 随机选3人，抽取到过关测试“过关”的人数为X的可能取值为1、2、3， 则P（X=1）==，P（X=2）===， P（X=3）==， 所以，X的分布列为： ‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ X的数学期望为E（X）=1×+2×+3×==1.8．‎ ‎20 (12分)‎ ‎ 解：（Ⅰ）因为 所以 因此a=16 ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16ln（1+x）+x2﹣10x，x∈（﹣1，+∞） 当x∈（﹣1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0 当x∈（1，3）时，f′（x）＜0 所以f（x）的单调增区间是（﹣1，1），（3，+∞）, f（x）的单调减区间是（1，3） ‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）内单调增加， 在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x=1或x=3时，f′（x）=0 所以f（x）的极大值为f（1）=16ln2﹣9，极小值为f（3）=32ln2﹣21 因此f（16）＞162﹣10×16＞16ln2﹣9=f（1）f（e﹣2﹣1）＜﹣32+11=﹣21＜f（3） 所以在f（x）的三个单调区间（﹣1，1），（1，3），（3，+∞）直线y=b有y=f（x）的图象各有一个交点，当且仅当f（3）＜b＜f（1） 因此，b的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9） ‎ ‎21 (12分)‎ ‎（Ⅰ）当a=1，b=0时，f（x）=lnx﹣x（x＞0），导数f′（x）=-1，‎ 当x＞1时，f′（x）＜0， 当0＜x＜1时，f′（x）＞0， ∴x=1时，函数取极大值，也为最大值，且为﹣1； （Ⅱ）证明：当b=1时，f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x， 导数f′（x）=+x﹣（1+a）= （x＞0）， ∵α，β是f（x）两个极值点，且α＜β，β∈（1，e]， ∴α=1，β=a，（1＜a≤e）， ∴当1＜x＜a时，f′（x）＜0，即函数f（x）递减， 当x＞a或0＜x＜1，f′（x）＞0，即函数f（x）递增， ∵任意的x1 ,x2∈[α，β]，则函数f（x）在该区间内是减函数， ∴f（1）最大且为﹣（1+a），f（a）最小且为alna+a2﹣（1+a）a， ∴|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（a）=﹣（1+a）﹣alna﹣a2+（1+a）a=（a2﹣1）﹣alna， ‎ 令g（x）=（x2﹣1）﹣xlnx（1＜x≤e） 则g′（x）=x﹣1﹣lnx，g′（1）=0，g′（e）=e﹣1﹣1＞0， ∴g（x）在（1，e]上递增， 故g（x）≤（e2﹣1）﹣elne=，即（a2﹣1）﹣alna≤，而＜1， ∴|f（x1）﹣f（x2）|＜1． ‎ ‎22. (10分)‎ ‎（I）由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ，即ρ2sin2θ=8ρcosθ，化为y2=8x． ‎ ‎（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入y2=8x化为3t2﹣16t﹣64=0． 解得t1=8，t2=． ∴弦长|AB|=|t1﹣t2|= 8+= ‎ ‎23 (10分)‎ ‎（Ⅰ）当a=3时，关于x的不等式即|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤3， 故有 ①，或②，或 ③． 解①求得﹣3≤x＜，解②求得 ≤x≤1，解③求得1＜x≤3． 综上可得，不等式的解集为[﹣3，3]． （Ⅱ）若不等式有解，则a大于或等于f（x）=|2x﹣1|﹣|x﹣1|的最小值． 由f（x）=，可得函数f（x）的最小值为f（）=﹣， ‎ 故a≥﹣． ‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎