安徽省合肥市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题

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www.ks5u.com ‎2018-2019学年第二学期合肥一中合肥六中高一年级期中考试数学试卷 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）‎ ‎1.若且，则下列不等式成立的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的性质对四个选项逐一判断.‎ ‎【详解】选项A: ，符合，但不等式不成立，故本选项是错误的；‎ 选项B:当符合已知条件，但零没有倒数，故不成立 ，故本选项是错误的；‎ 选项C:当时，不成立，故本选项是错误的；‎ 选项D:因为，所以根据不等式的性质，由能推出，故本选项是正确的，因此本题选D.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的性质，结合不等式的性质，举特例是解决这类问题的常见方法.‎ ‎2.若是的内角，且，则与的关系正确的是( )‎ A. B. C. D. 无法确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用正弦定理实现边角转换，再利用大边对大角，就可以选出正确答案.‎ ‎【详解】由正弦定理可知：,，因此本题选B.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理，考查了三角形大边对大角的性质.‎ ‎3.已知实数依次成等比数列，则实数的值为( )‎ A. 3或－3 B. 3 C. －3 D. 不确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比中项的性质可以得到一个方程，解方程，结合等比数列的性质，可以求出实数的值.‎ ‎【详解】因为实数依次成等比数列，所以有 当时，，显然不存在这样的实数，故，因此本题选C.‎ ‎【点睛】本题考查了等比中项的性质，本题易出现选A的错误结果，就是没有对等比数列各项的正负性的性质有个清晰的认识.‎ ‎4.在中，角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）‎ A. ，， B. ，，‎ C. ，， D. ，，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 四个选项角度均为锐角，则分别比较和之间、与之间的大小关系，从而得到三角形解的个数.‎ ‎【详解】选项：，又 三角形有一个解，则错误；‎ 选项： 三角形无解，则错误；‎ 选项： 三角形有一个解，则错误；‎ 选项：，又 三角形有两个解，则正确 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查三角形解的个数的求解，关键是能够熟练掌握作圆法，通过与、与之间大小关系的比较得到结果.‎ ‎5.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件，若使得该女子所织布的尺数不少于10尺，则该女子所需的天数至少为（ ）‎ A. 8 B. 7 C. 6 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知女子每天织布数成等比数列且公比，利用构造方程求得；利用可求得结果.‎ ‎【详解】由题意可知，女子每天织布数成等比数列，且公比，‎ ‎，解得：‎ 若，解得：‎ 该女子所织布尺数不少于尺，至少需要天 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查等比数列前项和的求解和应用，关键是能够熟练应用等比数列求和公式，属于基础题.‎ ‎6.若关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的解集可利用韦达定理构造关于的方程求得；代入所求不等式，解一元二次不等式即可得到结果.‎ ‎【详解】由解集为可得：‎ 解得： 所求不等式为：，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据一元二次不等式的解集求解参数、一元二次不等式的求解问题；关键是能够明确不等式解集的端点值与一元二次方程根之间的关系.‎ ‎7.一艘轮船按照北偏东方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ）‎ A. 6海里 B. 12海里 C. 6海里或12海里 D. 海里 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据方位角可知，利用余弦定理构造方程可解得结果.‎ ‎【详解】记轮船最初位置为，灯塔位置为，分钟后轮船位置为，如下图所示：‎ 由题意得：，，‎ 则，即：，解得：‎ 即灯塔与轮船原来的距离为海里 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，关键是能够利用余弦定理构造方程，解方程求得结果.‎ ‎8.已知等差数列的前项和为，，，则的前项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据与关系可求得等差数列的，利用等差数列通项公式可求得，进而得到；采用裂项相消法可求得结果.‎ ‎【详解】当时，，又， ‎ 当时， ‎ 整理可得：‎ ‎ ‎ 则 的前项和 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求解数列的前项和的问题；关键是能够根据与关系求得数列通项公式，根据通项公式的形式准确采用裂项相消的方法来进行求解.‎ ‎9.已知正数满足，则的最小值为（ ）‎ A. 5 B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：根据题意将已知条件等价转化为，故而可得，利用基本不等式即可得结果.‎ 详解：∵正数满足，∴，‎ ‎∴‎ 当且仅当即，时，等号成立，即的最小值为，故选C.‎ 点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意 问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．‎ ‎10.已知正项数列单调递增，则使得不等式对任意都成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式可得；根据单调递增可知单调递减，则要保证恒成立只需，从而解得结果.‎ ‎【详解】由可得：，即 ‎ ‎ 单调递增 单调递减 对任意，有 的取值范围为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查数列性质的应用，关键是能够通过解不等式得到恒成立的条件，再结合数列的单调性得到结果.‎ ‎11.在斜中，设角的对边分别为，已知，是角的内角平分线，且，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理角化边可构造方程，由可得；利用可构造方程求得，利用二倍角公式求得结果.‎ ‎【详解】由正弦定理得：‎ 则 为斜三角形 ‎ ‎ ‎ 即：‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.‎ ‎12.已知数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，结合等比数列求和公式可求得 ‎；分别在和时解不等式得到和，根据数列的单调性可知，，，从而得到所求范围.‎ ‎【详解】由题意得：‎ 即：‎ ‎①当时，‎ 则由得：‎ 此时；‎ ‎②当时，‎ 则由得：‎ 此时；‎ 综上所述：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查数列性质与不等式能成立问题的综合应用，关键是能够通过递推关系式得到数列的通项公式，结合数列的单调性特点可得到不等式的解集，从而确定解集上下限的最值，进而得到结果.‎ 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题目的横线上）‎ ‎13.已知实数，满足不等式组，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】-6‎ ‎【解析】‎ 由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC,当直线经过点A(0，3)时，直线的纵截距最大，z最小.所以故填-6.‎ ‎14.已知数列中，，，则数列的通项公式为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据递推关系式可得，从而得到数列为等比数列；利用等比数列通项公式可求得，进而得到结果.‎ ‎【详解】由得：‎ 数列是以为首项，为公比的等比数列 ‎ ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查根据递推关系式求解数列通项公式的问题，关键是能够将递推关系式配凑成符合等比数列的形式，根据等比数列通项公式求得结果.‎ ‎15.已知的内角、、的对边分别为、、其面积为，且，则角________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理和三角形面积公式，得，又由同角三角函数基本关系，得，得角A ‎【详解】由余弦定理，，的面积，又因为，所以，又因为,得,所以 ‎【点睛】对于面积公式，一般考查哪个角就使用哪一个公式，与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 ‎16.每项为正整数的数列满足，且，数列的前6项和的最大值为，记的所有可能取值的和为，则_______.‎ ‎【答案】62‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用逆推的方法可知所有可能的取值，从而得到；根据前项和的所有可能结果可知，作差得到结果.‎ ‎【详解】由数列每项均为正整数，则采用逆推的方式可得下图：‎ 又前项和所有可能的结果中最大值为： ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查根据数列各项之间的关系求解数列中的项的问题，关键是能够采用逆推的方式准确求解出所有可能的取值.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知关于的不等式.‎ ‎（1）当时，解关于的不等式；‎ ‎（2）当时，解关于的不等式.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将不等式化为即可求得结果；（2）将不等式化为；当时直接求得；当时，不等式变为，计算 的两根，根据两根大小关系讨论不等式解集；当时，不等式变为，根据方程两根大小关系即可得到解集.‎ ‎【详解】（1）当时，不等式可化为：‎ 不等式的解集为 ‎（2）不等式可化为：，‎ ‎（i）当时，，解得： 不等式解集为 ‎（ii）当时，，‎ 的根为：，‎ ‎①当时， 不等式解集为 ‎②当时，，不等式解集 ‎③当时， 不等式解集为 ‎（iii）当时：‎ 此时 不等式解集为或 ‎【点睛】本题考查不含参数和含参数的一元二次不等式的求解问题；关键是能够根据一元二次不等式和二次函数、一元二次方程之间的关系，分别在参数不同范围的情况下讨论一元二次方程根的大小，从而得到解集；易错点是忽略了二次项系数为零的情况，导致情况不完整.‎ ‎18.在中，内角，，的对边分别为，，，且.‎ ‎（Ⅰ）求角的值；‎ ‎（Ⅱ）若的面积为，的周长为6，求．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由正弦定理得，可求；（Ⅱ）由周长得，面积得，以及余弦定理联立方程组得.‎ 试题解析：（Ⅰ），∴由正弦定理得：.‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∵，‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ），‎ 的面积.‎ 在中，由余弦定理可得，‎ 则,‎ ‎,‎ ‎.‎ 考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理.‎ ‎19.已知等差数列的公差，，且成等比数列；数列的前项和，且满足.‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据是等差数列，可用和表示出和成等比数列的关系，解方程组求得和，进而得到；利用可得到，可知为等比数列，利用等比数列通项公式求得；（2）由（1）可得，采用错位相减法可求得结果.‎ ‎【详解】（1）数列是等差数列 ‎ 又，解得： ‎ 又…①，…②‎ ‎①②得：‎ ‎ 为等比数列 又，解得： ‎ ‎（2）由（1）知：‎ 则 两式作差得：‎ ‎【点睛】本题考查数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前项和的问题；涉及到等差数列基本量的计算、根据递推关系证明数列为等比数列、错位相减法的应用等知识；关键是能够根据通项为等差数列与等比数列乘积的形式确定采用错位相减法求解数列的前项和.‎ ‎20.合肥一中、六中为了加强交流，增进友谊，两校准备举行一场足球赛，由合肥一中版画社的同学设计一幅矩形宣传画，要求画面面积为，画面的上、下各留空白，左、右各留空白.‎ ‎（1）如何设计画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小?‎ ‎（2）设画面的高与宽的比为，且，求为何值时，宣传画所用纸张面积最小?‎ ‎【答案】（1）画面的高，宽时所用纸张面积最小；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设画面高为，宽为，纸张面积为，可得到，利用基本不等式可求得最小值，同时确定当时取最小值，从而得到结果；（2）画面高为，宽为，则，根据的范围可知，根据（1）中的表达式，结合对号函数图象可知时取最小值，从而得到结果.‎ ‎【详解】（1）设画面高为，宽为，纸张面积为 则 当且仅当，即时取等号 即画面的高为，宽为时所用纸张面积最小，最小值为：.‎ ‎（2）设画面高为，宽为，则 ‎，又 ‎ 由（1）知：‎ 由对号函数性质可知：在上单调递减 ‎，即时，所用纸张面积最小 ‎【点睛】本题考查建立合适的函数模型解决实际问题，重点考查利用基本不等式、对号函数单调性求解函数最值的问题；关键是能够建立起合适的函数模型，易错点是忽略了自变量的取值范围，造成最值求解错误.‎ ‎21.在中，内角的对边分别为.‎ ‎（1）若已知，判断的形状；‎ ‎（2）若已知边上的高为，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）是直角三角形；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理将边化角，利用两角和差正弦公式化简可得，根据角的范围可知，进而得到，从而得到三角形为直角三角形；（2）利用三角形面积构造方程，代入余弦定理形式可整理出，即，根据正弦型函数的最大值可求得结果.‎ ‎【详解】（1）由正弦定理得：‎ 即 ‎ ‎ 则，又 ‎ 为直角三角形 ‎ ‎（2）由余弦定理得：…①‎ 又面积为，即 代入①得：，即：‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、两角和差正弦公式、余弦定理以及三角形面积公式的应用、正弦型函数最值的求解等知识；求解最值的关键是能够将问题转化为三角函数最值的求解问题.‎ ‎22.已知数列中，，，数列满足，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明：；‎ ‎（3）证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入可求得；利用可整理得，从而得到，采用累乘法可得，验证后可得；（2）由可知数列是正项单调递增数列，利用整理可得结论；（3）当时，结论显然成立；当时，结合（2）的结论可知，进一步将右侧缩为，整理可得，从而可得结论.‎ ‎【详解】（1）由得：‎ 由可得：‎ 两式相减得：，即：‎ 验证可知时，满足 综上所述： ‎ ‎（2）由，‎ 数列是正项单调递增数列 当，‎ ‎，即 ‎ ‎（3）当时，显然成立 当时，‎ 综上可知，成立.‎ ‎【点睛】本题考查数列与不等式知识的综合应用，涉及到利用递推关系式求解数列的通项公式、放缩法证明与数列有关的不等式；难点是在证明不等式时，能够准确的进行放缩，从而能够采用裂项的方法来求和，根据和的范围得到结论，属于较难题.‎ ‎ ‎