2018届二轮复习第63题空间平行关系的证明学案（全国通用）

2018届二轮复习第63题空间平行关系的证明学案（全国通用）

‎ 第63题 空间平行关系的证明 I．题 探究·黄金母题 ‎【例1】如图，在空间四边形中，分别是的中点，求证：‎ ‎（1）平面；‎ ‎（2）平面；．‎ ‎【解析】（1）∵分别为的中点，‎ ‎∴为的中位线，∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）∵分别为的中点 ‎∴为的中位线，∴．‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ II．考场精彩·真题回放 ‎【例2】【2017课标II文18】如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面 ,‎ ‎（1）证明：直线平面;‎ ‎（2）若△面积为，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】分析：（1）先由平几知识得BC∥AD，再利用线面平行判定定理证结论，（2）取AD的中点M，利用面面垂直性质定理证明PM⊥底面ABCD，得四棱锥的高，再通过平几计算得底面直角梯形面积，最后代入椎体体积得体积.‎ 解析：（1）在平面ABCD内，因为∠BAD=∠ABC=90°，所以BC∥AD.又，，故BC∥平面PAD.‎ ‎（2）取AD的中点M，连结PM，CM，由及BC∥AD，∠ABC=90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.‎ 因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以 PM⊥AD，PM⊥底面ABCD，因为，所以PM⊥CM.，设BC=x，则CM=x，CD=，PM=，PC=PD=2x.取CD的中点N，连结PN，则PN⊥CD，所以因为△PCD的面积为，所以，解得x=-2（舍去），x=2，于是AB=BC=2，AD=4，PM=，所以四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎【例3】【2016年全国Ⅲ卷】如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．‎ ‎（1）证明平面；‎ ‎（2）求四面体的体积.‎ ‎【解析】（1）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，．又，故，四边形为平行四边形，于是．‎ 因为平面，平面，所以平面．‎ ‎（2）因为平面，为的中点，‎ 所以到平面的距离为．‎ 取的中点，连结.‎ 由得，．‎ 由得到的距离为，故，‎ 所以四面体的体积．‎ ‎【例4】【2016年江苏高考】如图，在直三棱柱中，分别为的中点，点F在侧棱上，且 ，.‎ 求证：（1）直线平面；‎ ‎（2）平面平面．‎ ‎【解析】1）在直三棱柱中，．在三角形中，因为分别为的中点，所以，于是．‎ 又因为平面平面，‎ 所以直线平面．‎ ‎（2）在直三棱柱中，．‎ 因为平面，所以．‎ 又因为，‎ ‎，，‎ 所以平面，‎ 因为平面，所以．‎ 又因为，‎ ‎，，‎ 所以．‎ 因为直线，‎ 所以．‎ 精彩解读 ‎【试题 】人教版A版必修二第79页复习参考题B组第2题．‎ ‎【母题评析】本题是以正方体为载体考查空间直线与平面的垂直关系，这种题型能充分考查学生的逻辑思维能力与空间想象能力，以及综合分析与解决问题的能力．这在高考中常常出现在解答题的第1小题位置．‎ ‎【思路方法】两平面平行（或垂直）问题常转化为直线与直线平行（或垂直），而直线与平面平行（或垂直）又可转化为直线与直线平行（或垂直），所以在解题时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是：将“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”．‎ ‎【命题意图】本类题主要考查空间空间直线、平面间的平行与垂直关系的证明和判断，以及考查逻辑思维能力、空间想象能力、转化能力．‎ ‎【考试方向】这类试题在选择题中，主要考查空间直线、平面间的平行与垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直线与平面间的平行与垂直，主要出现在第1小题中．‎ ‎【难点中心】求空间直线、平面间位置关系的证明的主要难点：（1）对几何体结构认识不透，空间想象能力较差，难以下手；（2）不能正确利用条件中中点、垂直关系实施有效的转化．‎ III．理论基础·解题原理 考点　直线、平面平行的判定及其性质 定理 定理内容 符号表示 分析解决问题的常用方法 直线与平面 平行的判定 平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。即将“空间问题”转化为“平面问题”‎ 平面与平面 平行的判定 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”‎ 直线与平面 平行的性质 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 平面与平面 平行的性质 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 IV．题型攻略·深度挖掘 ‎【考试方向】‎ 在选择题中，主要考查空间直线、平面间的平行与垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直线与平面间的平行与垂直，主要出现在第1小题中．‎ ‎【技能方法】‎ ‎（1）证明线线平行转化为证明线面平行或面面平行；‎ ‎（2）证明线面平行转化为证明线线平行（垂直）或面面平行；‎ ‎（3）证明面面平行转化为证明线线平行（垂直）或线面平行．‎ ‎【易错指导】‎ ‎（1）忽视定理的关键条件，如忽视平面与平面平行的判定定理中，两条直线相交的条件；‎ ‎（2）胡乱推广平面几何的结论而用于证明空间问题；‎ ‎（3）受定势思维的影响，凭直觉思维主观臆断而误导结论．‎ V．举一反三·触类旁通 考向1　空间直线与平面平行的证明 ‎【例1】【2017课标1文6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是 A．B．‎ C．D． ‎ ‎【答案】A ‎【例2】【2017宁夏石嘴山三中上期月考】　如图，四棱锥中，底面，底面是正方形，分别是边上的中点，且=．‎ ‎（1）求平面；‎ ‎（2）求四棱锥的表面积．‎ ‎【解析】（1） △中，分别是边上的中点，，又 ‎ 又面，面，平面 ‎（2） 连接．因为 底面，底面是正方形， ‎ 从而△，△为全等的直角三角形，所以 . ‎ ‎， 所以 ，‎ 从而 △，△为全等的直角三角形.‎ 所以，四棱锥的表面积 ‎． ‎ ‎【解法指导】一般地，对于用判定定理证明，即证明平面内的某条直线与已知直线平行，可根据题设条件去寻找这条“目标直线”，从而达到线线与线面的转化．若借助面面平行的性质 证明线面平行，则先要确定一个平面经过该直线且与已知平面平行，此“目标平面”的寻找多借助“中位线” 完成．学 ！ ‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1.【2017广东海珠区上期调研】如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，点分别为和的中点．‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎∵平面，平面，∴直线平面.‎ ‎（2）连接，在中，，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴，∴.‎ 平面，平面，∴，‎ ‎，平面，平面，∴平面.‎ ‎，‎ ‎∴三棱锥的体积．‎ 考向2　空间平面与平面平行的证明 ‎【例1】（2017山西省临汾一中高三3月月考）如图，四棱锥中，底面是正方形，是四棱锥的高，，点分别是的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求四面体的体积．‎ ‎（2）因为是四棱锥的高，‎ 由知是三棱锥的高，且，‎ 所以 ‎ ‎【点睛】面面平行问题其实质是将其转化为线面平行或线线平行问题，而线面问题可转化为线线平行的问题或面面平行问题，线线平行问题又可转化为线面平行或面面平行问题．因此，线线平行、线面平行、面面平行三者之间关系非常紧密，它们可相互进行转化证明．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1.【2016郑州一中考前冲刺三】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，‎ ‎，，，与交于点，点分别在线段上，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若平面平面，，且，求几何体的体积.‎ ‎（2）在中，，‎ ‎∴，即．‎ 又平面平面，∴平面．‎ 又由（1）知，∴平面，且．‎ 在梯形中，，，∴，‎ ‎∴的面积，∴几何体的体积．‎ 考向3　空间垂直与平行综合 ‎【例1】【2017山东，文18】由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD,‎ ‎（Ⅰ）证明：∥平面B1CD1;‎ ‎（Ⅱ）设M是OD的中点,证明：平面A1EM平面B1CD1.‎ ‎【答案】①证明见解析.②证明见解析.‎ ‎(II)因为,，分别为和的中点,所以,‎ 因为为正方形,所以,‎ 又平面,平面 所以因为 所以又平面，.‎ 所以平面又平面,所以平面平面.‎ ‎【例2】【2017太原市高三二模】　如图，在多面体中，四边形是正方形，是正三角形，， ，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求多面体的体积.‎ ‎（2）在正方形中，，又是等边三角形，所以,‎ 所以，，‎ 于是，，又，∴平面，∴，‎ 又，，∴平面，‎ 于是多面体是由直三棱柱和四棱锥组成.‎ 又直三棱柱的体积为，‎ 四棱锥的体积为，‎ 故多面体的体积为.‎ ‎【点睛】圆柱与圆锥的组合主要有两种方式：（1）圆柱内有一棱锥，圆柱与圆锥底面重合、圆锥顶点为圆柱底面中点，解答时抓住它们有相同的高和底面即可建立相关关系；（2）圆锥内接一个圆柱，圆柱一底面在圆锥底面上，另一底面在圆锥侧面上，解答时主要作轴截面，通常利用三角形相似等知识 解决．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1.【2016湖南长郡中学一检】如图，在直角三棱柱中，，点是的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎（2）连接，由题意知，点分别为和的中点，．‎ 又平面平面 平面．‎ ‎2.【2017北京文18】如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．‎ ‎（Ⅰ）求证：PA⊥BD；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．‎ ‎【答案】详见解析 解析：证明：（I）因为，，所以平面，‎ 又因为平面，所以.‎ ‎（II）因为，为中点，所以，‎ 由（I）知，，所以平面，所以平面平面.‎ ‎（III）因为平面，平面平面，‎ 所以.因为为的中点，所以，.‎ 由（I）知，平面，所以平面.‎ 所以三棱锥的体积.学 ‎ ‎3.【2018衡水金卷】如图1，平行四边形中， ， ，现将△沿折起，得到三棱锥 (如图2)，且，点为侧棱的中点. ‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面； ‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积；‎ ‎（Ⅲ）在的角平分线上是否存在点，使得∥平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .‎ 解析：（Ⅰ）证明：在平行四边形中，有，‎ 又因为为侧棱的中点，所以；‎ 又因为， ，且，所以平面. ‎ 又因为平面，所以；‎ 因为，所以平面， ‎ 又因为平面，所以平面平面． ‎ ‎（Ⅱ）解：因为， 平面，所以是三棱锥的高，‎ 故， 又因为， , ，‎ 所以，‎ 所以有 .‎ ‎（Ⅲ）解：取中点，连接并延长至点，使，‎ 连接， ， .因为，所以射线是角的角分线. ‎ 又因为点是的中点，所以∥，‎ 因为平面， 平面，‎ 所以∥平面. 因为、互相平分，‎ 故四边形为平行四边形，有∥.‎ 又因为，所以有， ‎ 又因为，故.‎ ‎ ‎