数学卷·2018届新疆塔城三中高二上学期12月月考数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届新疆塔城三中高二上学期12月月考数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年新疆塔城三中高二（上）12月月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共16小题，每小题3分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．设集合M={1，2，3}，N={1}，则下列关系正确的是（　　）‎ A．N∈M B．N∉M C．N=M D．N⊆M ‎2．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是一个（　　）‎ A．棱台 B．棱锥 C．棱柱 D．圆柱 ‎3．如图是某运动员在某个赛季得分的茎叶统计图，则该运动员得分的中位数是（　　）‎ A．2 B．3 C．22 D．23‎ ‎4．函数y=x+1的零点是（　　）‎ A．0 B．﹣1 C．（0，0） D．（﹣1，0）‎ ‎5．某校高二年级共有600名学生，编号为001～600．为了分析 该年级上学期期末数学考试情况，用系统抽样方法抽取了 一个样本容量为60的样本．如果编号006，016，026在样 本中，那么下列编号在样本中的是（　　）‎ A．010 B．020 C．036 D．042‎ ‎6．已知一个算法，其流程图如图，则输出的结果是（　　）‎ A．10 B．11 C．8 D．9‎ ‎7．在△ABC中，M是BC的中点，则+等于（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎8．如图，在边长为2的正方形内有一内切圆，现从正方形内取一点P，则点P在圆内的概率为（　　）‎ A． B． C． D．π ‎9．已知直线a，b和平面α，那么下列命题中的真命题是（　　）‎ A．若a⊥α，b⊥α，则a∥b B．若a∥α，b∥α，则a∥b C．若a⊥b，b⊥α，则a∥α D．若a∥b，b∥α，则a∥α ‎10．下列函数中，以为最小正周期的是（　　）‎ A．y=sin B．y=sinx C．y=sin2x D．y=sin4x ‎11．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A=135°，B=30°，a=，则b等于（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎12．直线2x﹣y+1=0与直线y﹣1=2（x+1）的位置关系式（　　）‎ A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 ‎13．四个函数y=x﹣1，，y=x2，y=x3中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（　　）‎ A．y=x﹣1 B． C．y=x2 D．y=x3‎ ‎14．已知数列{an}是公比为实数的等比数列，且a1=1，a5=9，则a3等于（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎15．不等式x（x﹣3）＜0的解集是（　　）‎ A．{x|x＜0} B．{x|x＜3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|x＜0或x＞3}‎ ‎16．若正数a，b满足ab=a+b+8，则ab的取值范围是（　　）‎ A．（0，16] B．[4，16） C．[4，16] D．[16，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共18分．）‎ ‎17．计算=　　．‎ ‎18．已知函数，若f（3）=10，则a=　　．‎ ‎19．某校共有学生2000人，其中高三年级有学生700人．为调查“亿万学生阳光体育运动”的落实情况，现采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个容量为400的样本，那么样本中高三年级的学生人数是　　．‎ ‎20．若实数x，y满足约束条件：，则z=x+2y的最大值等于　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎21．已知sinα=，0＜α＜，求cosα和sin（α+）的值．‎ ‎22．如图，正方体 A BCD﹣A1 B1C1D1中，E为DD1的中点．‎ ‎（1）证明：BD1⊥AC；‎ ‎（2）证明：BD1∥平面 ACE．‎ ‎23．在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程x2﹣2x+2=0的两个根，且2cos（A+B）=1．求：‎ ‎（1）角C的度数；‎ ‎（2）边AB的长．‎ ‎24．甲，乙两组各4名同学参加学校组织的“抗日战争历史知识知多少”抢答比赛，他们答对的题目个数用茎叶图表示，如图，中间一列的数字表示答对题目个数的十位数，两边的数字表示答对题目个数的个位数．‎ ‎（1）求甲组同学答对题目个数的平均数和方差；‎ ‎（2）分别从甲，乙两组中各抽取一名同学，求这两名同学答对题目个数之和为20的概率．‎ ‎25．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=n2+n+1，n∈N*．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和Tn．‎ ‎26．已知圆C：x2+y2+4x﹣2y+a=0，直线l：x﹣y﹣3=0，点O为坐标原点．‎ ‎（1）求过圆C的圆心且与直线l垂直的直线m的方程；‎ ‎（2）若直线l与圆C相交于M、N两点，且OM⊥ON，求实数a的值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年新疆塔城三中高二（上）12月月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共16小题，每小题3分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．设集合M={1，2，3}，N={1}，则下列关系正确的是（　　）‎ A．N∈M B．N∉M C．N=M D．N⊆M ‎【考点】元素与集合关系的判断．‎ ‎【分析】由元素与集合的关系结合题意易得结论．‎ ‎【解答】解：∵M={1，2，3}，N={1}，‎ 由元素与集合的关系可得N⊆M，‎ 故选：D ‎　‎ ‎2．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是一个（　　）‎ A．棱台 B．棱锥 C．棱柱 D．圆柱 ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】通过三视图画出几何体的图形，判断结果即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：‎ 几何体是棱锥．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．如图是某运动员在某个赛季得分的茎叶统计图，则该运动员得分的中位数是（　　）‎ A．2 B．3 C．22 D．23‎ ‎【考点】众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】根据茎叶图写出这组数据，把数据按照从大到小排列，最中间的一个或最中间两个数字的平均数就是中位数．‎ ‎【解答】解：由茎叶图可知：这组数据为12，15，22，23，25，26，31，‎ 所以其中位数为23；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．函数y=x+1的零点是（　　）‎ A．0 B．﹣1 C．（0，0） D．（﹣1，0）‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】直接令y=0，求解x的值即可，‎ ‎【解答】解：令y=0，‎ ‎∴x+1=0，‎ ‎∴x=﹣1，‎ ‎∴﹣1是函数的零点，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．某校高二年级共有600名学生，编号为001～600．为了分析 该年级上学期期末数学考试情况，用系统抽样方法抽取了 一个样本容量为60的样本．如果编号006，016，026在样 本中，那么下列编号在样本中的是（　　）‎ A．010 B．020 C．036 D．042‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】根据系统抽样的定义，求出对应的组距即可得到结论．‎ ‎【解答】解：600人中抽取样本容量为60的样本，则样本组距为600÷60=10，‎ 则6+3×10=36，‎ 故另外一个同学的学号为036，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．已知一个算法，其流程图如图，则输出的结果是（　　）‎ A．10 B．11 C．8 D．9‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据题意，模拟算法的流程图的运行过程，总结规律，求出满足条件x=10＞9时x的值．‎ ‎【解答】解：模拟算法的流程图的运行过程，是求和运算，‎ 即x=0+1+1+1+1+…+1，‎ 当x=10＞9时，‎ 输出x：10；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．在△ABC中，M是BC的中点，则+等于（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】向量的加法及其几何意义．‎ ‎【分析】作出三角形的图象，利用平行四边形法则作出+，由图象即可选出正确答案 ‎【解答】解：如图，作出平行四边形ABEC，M是对角线的交点，故M是BC的中点，且是AE的中点 由题意如图+==2‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．如图，在边长为2的正方形内有一内切圆，现从正方形内取一点P，则点P在圆内的概率为（　　）‎ A． B． C． D．π ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】由于正方形的边长为2，则内切圆半径为1，然后求出正方形面积及其内切圆的面积，代入几何概型公式，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵正方形的边长为2，‎ ‎∵正方形的面积S正方形=22=4，‎ 其内切圆半径为1，内切圆面积S圆=πr2=π，‎ 故向正方形内撒一粒豆子，则点P在圆内的概率为．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．已知直线a，b和平面α，那么下列命题中的真命题是（　　）‎ A．若a⊥α，b⊥α，则a∥b B．若a∥α，b∥α，则a∥b C．若a⊥b，b⊥α，则a∥α D．若a∥b，b∥α，则a∥α ‎【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】由直线垂直于平面的性质，知A正确；若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥α，则a∥α或a⊂α；若a∥b，b∥α，则a∥α或a⊂α．‎ ‎【解答】解：由直线垂直于平面的性质，知若a⊥α，b⊥α，则a∥b，故A正确；‎ 若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故B不正确；‎ 若a⊥b，b⊥α，则a∥α或a⊂α，故C不正确；‎ 若a∥b，b∥α，则a∥α或a⊂α，故D不正确．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．下列函数中，以为最小正周期的是（　　）‎ A．y=sin B．y=sinx C．y=sin2x D．y=sin4x ‎【考点】三角函数的周期性及其求法．‎ ‎【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，求出各个函数的周期，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：由于函数y=sin的周期为=4π，故排除A．‎ 由于函数y=sinx的周期为2π，故排除B．‎ 由于函数y=sin2x的周期为=π，故排除C．‎ 由于函数y=sin4x的周期为=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A=135°，B=30°，a=，则b等于（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由A与B的度数求出sinA与sinB的值，再由a的值，利用正弦定理求出b的值即可．‎ ‎【解答】解：∵A=135°，B=30°，a=，‎ ‎∴由正弦定理=得：b===1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．直线2x﹣y+1=0与直线y﹣1=2（x+1）的位置关系式（　　）‎ A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】化简直线方程为一般式方程，然后判断两条直线的位置关系．‎ ‎【解答】解：∵直线y﹣1=2（x+1），化为2x﹣y+3=0，而与2x﹣y+‎ ‎1=0的斜率相同，并且在y轴上的截距分别为1和3，所以两条直线平行．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎13．四个函数y=x﹣1，，y=x2，y=x3中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（　　）‎ A．y=x﹣1 B． C．y=x2 D．y=x3‎ ‎【考点】函数单调性的判断与证明．‎ ‎【分析】利用幂函数的性质，直接进行判断即可．‎ ‎【解答】解：在区间（0，+∞）上，‎ y=x﹣1是减函数，‎ y=是增函数，‎ y=x2是增函数，‎ y=x3是增函数．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎14．已知数列{an}是公比为实数的等比数列，且a1=1，a5=9，则a3等于（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】设等比数列{an}的公比为q，由题意可得q4=，可得q2，而a3=a1q2，代值可得．‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，（q∈R）‎ 由题意可得q4==9，解得q2=3，‎ ‎∴a3=a1q2=3‎ 故选：B ‎　‎ ‎15．不等式x（x﹣3）＜0的解集是（　　）‎ A．{x|x＜0} B．{x|x＜3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|x＜0或x＞3}‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】结合函数y=x（x﹣3）的图象，求得不等式x（x﹣3）＜0的解集．‎ ‎【解答】解：由不等式x（x﹣3）＜0，结合函数y=x（x﹣3）的图象，‎ 可得不等式x（x﹣3）＜0的解集为 {x|0＜x＜3}，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎16．若正数a，b满足ab=a+b+8，则ab的取值范围是（　　）‎ A．（0，16] B．[4，16） C．[4，16] D．[16，+∞）‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用基本不等式的性质、一元二次不等式的解法即可得出．‎ ‎【解答】解：∵正数a，b满足ab=a+b+8，‎ ‎∴，‎ 化为≥0，‎ 解得，‎ ab≥16．‎ 则ab的取值范围是[16，+∞）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共18分．）‎ ‎17．计算=　5　．‎ ‎【考点】对数的运算性质．‎ ‎【分析】利用指数和对数的性质和运算法则求解．‎ ‎【解答】解：‎ ‎=3+2=5．‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数，若f（3）=10，则a=　7　．‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】由函数性质得f（3）=3+a=10，由此能求出a的值．‎ ‎【解答】解：∵函数，f（3）=10，‎ ‎∴f（3）=3+a=10，‎ 解得a=7．‎ 故答案为：7．‎ ‎　‎ ‎19．某校共有学生2000人，其中高三年级有学生700人．为调查“亿万学生阳光体育运动”的落实情况，现采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个容量为400的样本，那么样本中高三年级的学生人数是　140人　．‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】用样本容量乘以高三年级的学生人数所占的比例，即得所求．‎ ‎【解答】解：样本容量为400，高三年级的学生人数所占的比例为，故样本中高三年级的学生人数是 400×=140，‎ 故答案为140．‎ ‎　‎ ‎20．若实数x，y满足约束条件：，则z=x+2y的最大值等于　5　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y，利用数形结合即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：，‎ 设z=x+2y，则y=﹣，平移直线y=﹣，当直线y=﹣‎ 经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大，‎ 由，即A（1，2），‎ 此时zmax=2×2+1=5，‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎21．已知sinα=，0＜α＜，求cosα和sin（α+）的值．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数．‎ ‎【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα，再利用两角和的正弦公式求得sin（α+）的值．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎22．如图，正方体 A BCD﹣A1 B1C1D1中，E为DD1的中点．‎ ‎（1）证明：BD1⊥AC；‎ ‎（2）证明：BD1∥平面 ACE．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（1）连结 BD，证明AC⊥BD，AC⊥DD1，推出AC⊥平面 BDD1，然后证明BD1⊥AC．‎ ‎（2）设AC∩BD=O，连结OE，证明O E∥BD1，然后BD1∥平面ACE．‎ ‎【解答】证明：（1）连结 BD，∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AC⊥BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，‎ ‎∴AC⊥DD1‎ ‎∵BD∩DD1=D，BD⊂平面BDD1，DD1⊂平面BDD1‎ ‎∴AC⊥平面 BDD1‎ ‎∵BD1⊂平面BDD1‎ ‎∴BD1⊥AC．‎ ‎（2）设 AC∩BD=O，连结OE，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴O是BD的中点∵E为DD1的中点，‎ ‎∴OE∥BD1‎ ‎∵OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，‎ ‎∴BD1∥平面ACE．‎ ‎　‎ ‎23．在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程x2﹣2x+2=0的两个根，且2cos（A+B）=1．求：‎ ‎（1）角C的度数；‎ ‎（2）边AB的长．‎ ‎【考点】余弦定理；一元二次方程的根的分布与系数的关系．‎ ‎【分析】（1）根据三角形内角和可知cosC=cos[π﹣（A+B）]进而根据题设条件求得cosC，则C可求．‎ ‎（2）根据韦达定理可知a+b和ab的值，进而利用余弦定理求得AB．‎ ‎【解答】解：（1）‎ ‎∴C=120°‎ ‎（2）由题设：‎ ‎∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcosC=a2+b2﹣2abcos120°‎ ‎=‎ ‎∴‎ ‎　‎ ‎24．甲，乙两组各4名同学参加学校组织的“抗日战争历史知识知多少”抢答比赛，他们答对的题目个数用茎叶图表示，如图，中间一列的数字表示答对题目个数的十位数，两边的数字表示答对题目个数的个位数．‎ ‎（1）求甲组同学答对题目个数的平均数和方差；‎ ‎（2）分别从甲，乙两组中各抽取一名同学，求这两名同学答对题目个数之和为20的概率．‎ ‎【考点】极差、方差与标准差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（1）写出甲数据，根据平均数以及方差的公式求出甲的平均数和方差即可；‎ ‎（2）写出乙的数据，设事件“两名同学答对题目个数之和为20”为事件A，求出所有的基本事件以及满足条件的事件的个数，作商即可．‎ ‎【解答】解：（1）由图可得，甲组答对题目的个数：8，9，11，12，‎ ‎∴==10，‎ ‎=（4+1+1+4）=；‎ ‎（2）由图可得，乙组答对题目的个数：8，8，9，11‎ 设事件“两名同学答对题目个数之和为20”为事件A，‎ 以（x，y）记录甲，乙两组同学答对题目的个数，‎ 满足“从甲，乙两组中各抽取一名同学”的事件有：‎ ‎（8，8），（8，8），（8，9），（8，11），（9，8），（9，8），（9，9），（9，11），‎ ‎（11，8），（11，8），（11，9），（11，11），（12，8），（12，9），（12，11）共16种 满足事件A的基本事件为：（9，11），（11，9），（12，8），（12，8）共4种 P（A）==，‎ 答：两名同学答对题目个数之和为20的概率为．‎ ‎　‎ ‎25．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=n2+n+1，n∈N*．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）运用数列通项和前n项和的关系：当n=1时，a1=S1；当n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1，计算即可得到所求通项公式；‎ ‎（2）求得当n=1时，T1=；当n≥2时， ==（﹣），由数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和．‎ ‎【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=1+1+1=3；‎ 当n≥2时，Sn=n2+n+1，‎ Sn﹣1=（n﹣1）2+（n﹣1）+1，‎ 两式相减得：an=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）‎ ‎=（2n﹣1）+1=2n．‎ 但a1=3不符合上式，‎ 因此an=；‎ ‎（2）当n=1时，T1===；‎ 当n≥2时， ==（﹣），‎ 前n项和Tn=++…+‎ ‎=+（﹣+﹣+…+﹣）‎ ‎=+（﹣）=﹣．‎ 且T1=符合上式，‎ 因此Tn=﹣．‎ ‎　‎ ‎26．已知圆C：x2+y2+4x﹣2y+a=0，直线l：x﹣y﹣3=0，点O为坐标原点．‎ ‎（1）求过圆C的圆心且与直线l垂直的直线m的方程；‎ ‎（2）若直线l与圆C相交于M、N两点，且OM⊥ON，求实数a的值．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】（1）根据题意确定圆心坐标，和直线斜率，由点斜式方程可得直线m的方程；‎ ‎（2）由OM⊥ON得，即x1x2+y1y2=0，联立直线与圆的方程，利用韦达定理得出x1+x2=2，，代入上式即可得解．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得，C（﹣2，1），kl=1，‎ 由m⊥l得，km•kl=﹣1，‎ ‎∴km=﹣1．‎ ‎∵直线过圆心（﹣2，1），‎ ‎∴直线m的方程为x+y+1=0．‎ ‎（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则 由OM⊥ON得，‎ 即x1x2+y1y2=0…①‎ 由得，‎ ‎2x2﹣4x+15+a=0．‎ ‎∴x1+x2=2，…②‎ ‎∵y=x﹣3，‎ ‎∴y1=x1﹣3，y2=x2﹣3，‎ ‎∴…③，‎ 将②③代入①得a+18=0‎ 即a=﹣18‎