【数学】2020届一轮复习苏教版 简单的三角恒等变换 学案
§4.5 简单的三角恒等变换
考情考向分析 三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，此处为C级要求，填空、解答题均有可能出现，中低档难度．
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))
tan(α－β)＝(T(α－β))
tan(α＋β)＝(T(α＋β))
2．二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
概念方法微思考
1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？
提示 诱导公式可以看成和差公式中β＝k·(k∈Z)时的特殊情形．
2．怎样研究形如f(x)＝asin x＋bcos x函数的性质？
提示 先根据辅助角公式asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)，将f(x)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再结合图象研究函数的性质．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )
(2)对任意角α都有1＋sin α＝2.( √ )
(3)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.( × )
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )
题组二 教材改编
2．[P109T6]若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝ .
答案 －
解析 ∵α是第三象限角，∴sin α＝－＝－，
∴sin＝－×＋×＝－.
3．[P111T2]sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .
答案
解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°
＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°
＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.
4．[P117T1]tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝ .
答案
解析 ∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)
＝－tan 10°tan 50°，
∴原式＝－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝.
题组三 易错自纠
5．化简：＝ .
答案 1
解析 因为sin 40°
α，
所以α＋β∈，所以cos(α＋β)＝－.
于是cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.
(2)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为 ．
答案
解析 因为α为锐角，且cos＝，
所以sin＝ ＝，
所以sin＝sin 2
＝2sincos＝2××＝.
(3)(2019·如皋调研)已知cos α＝，α∈(－π，0)，tan(α＋β)＝1，则tan β的值为 ．
答案 －3
解析 ∵cos α＝，α∈(－π，0)，
∴sin α＝－，
∴tan α＝－2，
故tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝－3.
命题点2 三角函数式的变换
例2 (1)化简： (0<θ<π)；
(2)求值：－sin 10°.
解 (1)由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos >0，
∴＝＝2cos .
又(1＋sin θ＋cos θ)
＝
＝2cos
＝－2cos cos θ，
故原式＝＝－cos θ.
(2)原式＝－sin 10°
＝－sin 10°·
＝－sin 10°·
＝－2cos 10°＝
＝
＝
＝＝.
引申探究
化简： (0<θ<π)．
解 ∵0<θ<π，∴0<<，∴＝2sin ，
又1＋sin θ－cos θ＝2sin cos ＋2sin2
＝2sin ，
∴原式＝
＝－cos θ.
命题点3 公式的逆用与变形
例3 (1)已知sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，则sin(α－β)＝ .
答案 －
解析 ∵sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，
∴(sin α＋cos β)2＝，(sin β－cos α)2＝，
即sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＝，①
sin2β－2sin βcos α＋cos2α＝.②
①＋②得sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＋sin2β－2sin βcos α＋cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋(cos2β＋sin2β)＋2(sin αcos β－sin βcos α)＝1＋1＋2sin(α－β)＝2＋2sin(α－β)＝，则sin(α－β)＝－.
(2)已知α－β＝，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为 ．
答案 －
解析 ∵tan α－tan β＝－＝＝3，且α－β＝，∴cos αcos β＝，
又cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，∴sin αsin β＝－，
那么cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－.
思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．
跟踪训练 (1)计算：＝ .(用数字作答)
答案
解析 ＝
＝＝＝.
(2)已知α∈，β∈，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则sin β＝ .
答案
解析 由已知可得sin α＝，sin(α＋β)＝，
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝.
(3)若sin x＋cos x＝，则tan＝ .
答案 ±
解析 由sin x＋cos x＝，得2sin＝，
即sin＝，所以cos＝±，
所以tan＝±，
即tan＝tan＝±.
用联系的观点进行三角变换
三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系．变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的．
例 (1)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为 ．
答案
解析 ∵α为锐角且cos＝>0，
∴α＋∈，∴sin＝.
∴sin＝sin
＝sin 2cos －cos 2sin
＝sincos－
＝××－
＝－＝.
(2)(1＋tan 17°)·(1＋tan 28°)的值为 ．
答案 2
解析 原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°
＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°
＝1＋1＝2.
(3)已知sin α＝，α∈，则＝ .
答案 －
解析 ＝
＝cos α－sin α，
∵sin α＝，α∈，
∴cos α＝－，∴原式＝－.
(4)已知cos＝，则cos－sin2＝ .
答案
解析 由题意可知cos－sin2
＝－cos＋cos2－1＝－－.
1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝ .
答案
解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°
＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.
2．已知α是第二象限角，且tan α＝－，则sin 2α＝ .
答案 －
解析 因为α是第二象限角，且tan α＝－，
所以sin α＝，cos α＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
3．若sin α＝，则sin－cos α＝ .
答案
解析 sin－cos α＝sin αcos ＋cos αsin －cos α＝×＝.
4．已知sin 2α＝，则cos2＝ .
答案
解析 因为cos2＝
＝＝，
所以cos2＝＝＝.
5．已知α为锐角，若sin＝，则cos＝ .
答案
解析 由于α为锐角，且sin＝，
则cos＝，
则cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
6．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值为 ．
答案
解析 因为α∈，所以2α∈(0，π)，
因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝－，
所以sin 2α＝＝，
而α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，
所以sin(α＋β)＝＝，
所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
＝×＋×＝.
7．设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°sin 127°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是 ．
答案 a>c>b
解析 a＝sin 40°cos 127°＋cos 40°sin 127°
＝sin(40°＋127°)＝sin 167°＝sin 13°，
b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°
＝sin(56°－45°)＝sin 11°，
c＝＝cos239°－sin239°＝cos 78°＝sin 12°，
∵sin 13°>sin 12°>sin 11°，∴a>c>b.
8.的值是 ．
答案
解析 原式＝
＝
＝＝.
9.＝ .
答案
解析 ＝
＝＝＝.
10．(2018·江苏省海安高级中学月考)已知α为三角形内角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝ .
答案 －
解析 由已知得2sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－(sin2α＋cos2α)＝－1＝－，
又α为三角形内角，
∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0，
∴sin α－cos α＝
＝＝，
∴cos 2α＝－(sin α－cos α)(sin α＋cos α)＝－.
11．化简：·＝ .
答案
解析 原式＝tan(90°－2α)·
＝··
＝··＝.
12．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝ .
答案
解析 依题意可将已知条件变形为
sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，sin β＝－.
又β是第三象限角，所以cos β＝－.
所以sin＝－sin
＝－sin βcos －cos βsin
＝×＋×＝.
13．若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为 ．
答案 －
解析 由3cos 2α＝sin可得
3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，
又由α∈可知，cos α－sin α≠0，
于是3(cos α＋sin α)＝，
所以1＋2sin αcos α＝，
故sin 2α＝2sin αcos α＝－1＝－.
14．(2018·江苏省五校联考)已知sin＝，则sin＋sin2＝ .
答案
解析 由条件得sin＝sin
＝sin＝，
又sin2＝cos2
＝cos2＝1－sin2＝，
∴sin＋sin2＝＋＝.
15．化简：·＝ .
答案 －4
解析 原式＝·＝·
＝－4·tan(45°＋15°)＝－4.
16．已知α，β∈，且sin ＋cos ＝，sin(α－β)＝－，则sin β＝ .
答案
解析 由sin ＋cos＝，平方可得sin α＝.
∵α∈，
∴cos α＝－.
又∵－<α－β<，sin(α－β)＝－，
∴cos(α－β)＝.
故sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
