2019-2020学年重庆市第八中学校高二上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年重庆市第八中学校高二上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年重庆市第八中学校高二上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．抛物线的准线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由抛物线的标准方程分析可得其焦点位置以及的值，计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，抛物线的标准方程为，‎ 则其焦点在轴负半轴上，且，‎ 则其准线方程为，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的几何性质，关键是掌握抛物线标准方程的形式．‎ ‎2．双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用双曲线的标准方程，令方程右边的常数1为0，两边开平方，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 双曲线，‎ 由方程，可得双曲线的渐近线方程为．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查渐近线的方程求法，属于基础题．‎ ‎3．圆：与圆：的位置关系是（ ）‎ A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 ‎【答案】B ‎【解析】利用配方法，求出圆心和半径，结合圆与圆的位置关系进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 两圆的标准方程为（x﹣1）2+y2＝1，和x2+（y﹣1）2＝1，‎ 对应圆心坐标为O1（1，0），半径为1，和圆心坐标O2（0，1），半径为1，‎ 则圆心距离|O1O2|，则0＜|O1O2|＜2，‎ 即两圆相交，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，求出圆的标准方程，利用圆心距和半径之间的关系是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎4．已知命题：“若直线上存在两个不同点属于平面，则直线”，则命题的逆命题为　　‎ A．若直线上任意的点属于平面，则直线 B．若直线上存在两个不同点属于平面，则直线 C．若直线上不存在两个不同点属于平面，则直线 D．若直线，则直线上存在两个不同点属于平面 ‎【答案】D ‎【解析】若则的逆命题为：若则，直接写出其逆命题即可．‎ ‎【详解】‎ 依题意，若直线上存在两个不同点属于平面，则直线，‎ 其逆命题为：若直线，则直线上存在两个不同点属于平面.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查四种命题中的原命题与逆命题，考查对概念的理解，属于基础题．‎ ‎5．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．12‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图还原几何体直观图，可知该几何体为组合体，下半部分为直三棱柱，上半部分为三棱锥，三棱锥的底面为等腰直角三角形，直角边长为2，高为2．再由棱柱与棱锥的体积公式求解．‎ ‎【详解】‎ 由三视图还原几何体如图所示，‎ 该几何体为组合体，下半部分为直三棱柱，上半部分为三棱锥，‎ 三棱锥的底面为等腰直角三角形，直角边长为2，高为2．‎ 该几何体的体积．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由三视图还原几何体的直观图、体积计算，考查空间想象能力和运算求解能力，求解的关键是准确还原几何体直观图．‎ ‎6．，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且 ‎，则△的周长为　　‎ A．12 B．16 C．18 D．28‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得、的值，由双曲线的几何性质计算可得的值，即可得的值；进而由双曲线的定义可得，由可得的值，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，双曲线，其中，，‎ 则，‎ 则，‎ 为双曲线右支上一点，则有，‎ 又由，则，‎ ‎△的周长；‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的焦点三角形周长、双曲线的定义，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．‎ ‎7．下列命题中，正确的是（ ）‎ A．一条直线与两个平行平面中的一个平行，则必与另一个平面平行 B．空间中两条直线要么平行，要么相交 C．空间中任意的三个点都能唯一确定一个平面 D．对于空间中任意两条直线，总存在平面与这两条直线都平行 ‎【答案】D ‎【解析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系逐一核对四个选项，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 对于A，一条直线与两个平行平面中的一个平行，则该直线与另一个平面平行或在另一平面内，故错误；‎ 对于B，空间中两条直线位置关系有3种：平行，相交或异面，故错误；‎ 对于C，空间中的三个点若共线，则不能唯一确定一个平面，故错误；‎ 对于D，空间中两条直线共面，则存在平面与这两条直线都平行，若两直线异面，存在与两异面直线的公垂线垂直的平面与两异面直线平行．则对于空间中任意两条直线，总存在平面与这两条直线都平行．故正确．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，属于基础题．‎ ‎8．已知中有，，且，则边上的中线所在直线方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知求得的中点坐标，再求出与垂直的直线的斜率，由直线方程的点斜式得答案．‎ ‎【详解】‎ 由，可知边上的中线即为边的垂直平分线，‎ 由，，得的中点坐标为，‎ 又，‎ 边的垂直平分线的斜率为2，‎ 则边上的中线所在直线方程为，即．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的点斜式方程，考查由直线上两点的坐标求直线的斜率，属于基础题．‎ ‎9．已知点是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的斜率为　　‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】设直线的方程为，代入椭圆的方程化简，由韦达定理 ‎ 解得值即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，斜率存在，设为，‎ 则直线的方程为，‎ 即，‎ 代入椭圆的方程，‎ 化简得：，‎ ‎，解得，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，线段的中点公式，考查运算求解能力，注意本题在求解时也可以用点差法求斜率．‎ ‎10．已知直线与圆相交于，两点，则弦长度的最小值为　　‎ A． B．4 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出直线所过的定点，定点在圆内，故当弦与垂直时，弦长度最小．‎ ‎【详解】‎ 依题意，直线过定点，‎ 在圆内部，‎ 故弦长度的最小时，直线与直线垂直，‎ 即此时直线的方程为，‎ 将代入圆的方程，可得，‎ 所以弦长度的最小值为．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线过定点、圆的弦长最值，考查逻辑思维能力和计算能力，求解的关键是发现直线过定点，属于中档题．‎ ‎11．古希腊数学家波罗尼斯（约公元前年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个园称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，设，，动点满足，则动点的轨迹围成的面积为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用两点之间的距离公式得到、的表达式，代入求得的轨迹方程，进而求圆的面积．‎ ‎【详解】‎ 设，‎ 则，‎ 同理，‎ 而，‎ ‎，‎ 化简得：，即，‎ 整理得：，‎ 从而的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，‎ 动点的轨迹围成的面积为，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题以“阿波罗尼斯圆”为问题背景，考查圆的另一种定义及阅读理解能力，属于中档题．‎ ‎12．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为与，则的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】运用椭圆和双曲线的定义，以及离心率公式和范围，结合换元法和对勾函数的单调性，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 设，，由椭圆的定义可得，‎ 由双曲线的定可得，‎ 解得，，‎ 由，可得，‎ 即，‎ 由，，可得，‎ 由，可得，‎ 可得，即，‎ 则，‎ 可设，则，‎ 由在递增，可得，．‎ 则，．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，离心率，考查换元法和构造函数法求范围问题，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．方程表示圆，则实数的取值范围为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由圆的一般式方程需要满足的条件可得，得到关于的不等式，求解可得的范围．‎ ‎【详解】‎ 由圆的一般式方程可得，即，求得.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的一般式方程的特征，考查基本运算求解能力，属于基础题．‎ ‎14．若直线：与：平行，则的值为_____。‎ ‎【答案】-7‎ ‎【解析】由已知条件可得关于m的方程，解方程即可求出m的值，代入直线方程验证即可.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以有，解之得,或.当时，直线重合,舍去.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两直线平行的判定条件，属于基础题型.‎ ‎15．点是椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为_____．‎ ‎【答案】60°‎ ‎【解析】由椭圆定义结合余弦定理即可求得的大小．‎ ‎【详解】‎ 由椭圆，得，，．‎ 在△中，由椭圆定义可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的大小为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质、椭圆定义及余弦定理的应用，考查方程思想和运算求解能力，属于中档题．‎ ‎16．，为抛物线上两个动点，且满足，则弦的中点到轴的距离的最小值为__．此时直线的方程为__．‎ ‎【答案】3 ‎ ‎【解析】由抛物线的几何性质可知直线过焦点时，弦的中点到轴的距离最小；由韦达定理和弦的中点到轴的距离可求得直线的直线方程．‎ ‎【详解】‎ 设抛物线的焦点坐标为，，，，所以，‎ 设，，，，所以，，所以，‎ 弦的中点到轴的距离为，当过焦点坐标为时等号成立，‎ 由题可知直线的斜率存在，设直线方程为，，‎ 所以，，‎ ‎，所以，‎ 所以．‎ 故答案为：3，．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．设：实数满足，：实数满足．‎ ‎（1）若，当为真时，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，且是的充分不必要条件，求实数的范围．‎ ‎【答案】（1） ；（2），，．‎ ‎【解析】（1）由解出，中的范围，由为真，即可解得实数的取值范围；‎ ‎（2）由解出，中的范围，由是的充分不必要条件，等价转化为真子集关系，即可解得的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，，‎ 因为为真，‎ 所以“真假”或“假真”或“真真”，‎ 所以或或，‎ 综上可得：的取值范围为，；‎ ‎（2）当时，，，或，‎ 又因为是的充分不必要条件，所以或，‎ 解得或，‎ 所以实数的范围，，．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合命题及其真假，绝对值不等式的解法，一元二次含参不等式的解法，考查运算求解能力，求解的关键是将充分不必要条件转化为集合间的基本关系．‎ ‎18．如图，五边形ABSCD中，四边形ABCD为矩形，AB＝1，△BSC为边长为2的正三角形，将△BSC沿BC折起，使得侧面SAD垂直于平面ABCD，E、F分别为SA、DC的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥面SBC；‎ ‎（2）求四棱锥S﹣ABCD的侧面积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）取中点，连接，构造平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证明；‎ ‎（2）利用面面垂直的性质可得和都垂直于侧面，且有，则，则为等腰三角形，从而可求各个侧面积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图，取中点，连接，‎ 因为为中点，‎ 所以，且，‎ 又四边形为矩形，为中点，‎ 所以，且，‎ 所以，且，‎ 所以四边形为平行四边形，‎ 所以，‎ 又平面，平面 所以面；‎ ‎（2）因为四边形为矩形，所以，‎ 又平面平面，且交线为，平面，‎ 所以平面，又平面，所以，‎ 同理，又，，所以，‎ 所以，‎ 如图取中点，中点，‎ 则，，‎ 所以四棱锥的侧面积 ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面平行的证明及棱锥侧面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题．‎ ‎19．已知直线和定点．‎ ‎（1）求点关于直线对称的点的坐标；‎ ‎（2）若经过点的直线与和轴所围成的三角形面积为，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1），；（2），或．‎ ‎【解析】（1）设点关于直线对称的点的坐标，由，解得：，；‎ ‎（2）设经过点的直线方程为：，可得直线与轴的交点，由，可得与轴的交点．利用三角形的面积可得关于的方程，解方程即可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设点关于直线对称的点的坐标，则，解得：，．‎ ‎，．‎ ‎（2）设经过点的直线方程为：，‎ 令，可得：，可得交点；由直线，令，可得，可得交点，．‎ ‎，直线过点，‎ 三角形面积，解得或．‎ 直线方程为：，或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查相互垂直的直线斜率之间的关系、直线方程、三角形面积计算公式，考查逻辑推理能力与运算能力，求解时将直线进行反设，可以避开对直线斜率是否存在的讨论，解题过程更简洁．‎ ‎20．已知抛物线的焦点为，其上一点在准线上的射影为，△恰为一个边长为4的等边三角形．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若过定点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点）的面积为，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）或．‎ ‎【解析】（1）求得抛物线的焦点坐标和准线方程，设准线与轴的交点为，可得，由等边三角形和直角三角形的性质可得，进而得到所求抛物线的方程；‎ ‎（2）设过定点的直线的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及三角形的面积公式，解方程可得，进而得到所求直线方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）抛物线的焦点为，，准线方程为，‎ 设准线与轴的交点为，可得，‎ ‎△为一个边长为4的等边三角形，可得，，‎ 在直角三角形中，，即，‎ 则抛物线的方程为；‎ ‎（2）设过定点的直线的方程为，‎ 代入抛物线方程，可得，△，‎ 设，，，，则，，‎ 由 ‎，‎ 解得，‎ 则直线的方程为或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力，解题的关键利用割补法将三角形的面积表示出来，再转化成关于的方程，属于中档题．‎ ‎21．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点．‎ ‎（1）求圆的标准方程；‎ ‎（2）直线与圆交于，两点，当 为圆心）面积最大时，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）设圆心，半径为，根据圆心在直线上和圆心与切点连线的斜率，求得圆心坐标，利用两点间距离公式求半径，即可得到答案；‎ ‎（2）由三角形的面积公式，当时，面积最大，即圆心到直线的距离等于，从而得到关于的方程，解方程即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设圆心，半径为，则 圆心在直线①‎ 圆与直线相切于点．‎ ‎②‎ ‎ 联立①②可得：，，‎ ‎ ‎ 圆的标准方程为.‎ ‎（2）设圆心到直线的距离为，‎ 利用点到直线的距离公式得：， ‎ 三角形的面积公式，当时，面积最大，‎ 即圆心到直线的距离等于，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的标准方程求法、直线和圆的位置关系、三角形面积，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要注意利用圆的性质进行简化运算，即利用三角形的另一个面积公式，得到面积最大时，三角形为等腰直角三角形.‎ ‎22．已知椭圆的离心率为，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成的三角形的面积为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点和，若为坐标原点），求线段长度的取值范围．‎ ‎【答案】（1） ；（2）．‎ ‎【解析】（1）椭圆的离心率和其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成的三角形的面积，得，，方程组求解，即可写出椭圆方程．‎ ‎（2）直线与圆相切得，，再联立直线和椭圆，得到关于的一元二次方程，利用由韦达定理分别得到，，，，将表示为关于的函数，再求取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）椭圆的离心率为，‎ ‎，即，①‎ 又其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成的三角形的面积为．‎ ‎，即，②‎ ‎，③‎ 由①②③得，，，‎ 椭圆方程为．‎ ‎（2）直线与圆相切，‎ ‎，即，‎ 直线与椭圆交于不同的两点和，‎ 设，，，，‎ 联立，得，‎ ‎△，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 把上面 代入上式，得，‎ ‎，又，‎ ‎，‎ 或，‎ 线段长度的取值范围，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆标准方程的求法、直线和椭圆位置关系、向量数量积问题，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中准确的进行运算是求解的关键，属于难题．‎