2017-2018学年湖北省孝感市八校高二上学期期末数学理试题（解析版）

2017-2018学年湖北省孝感市八校高二上学期期末数学理试题（解析版）

‎2017-2018学年度上学期孝感市八校教学联盟 期末联合考试 高二理科数学试卷 第Ⅰ卷 选择题（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 一个单位有职工200人，其中有业务员120人，管理人员50人，后勤服务人员30人，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本，则在20人的样本中应抽取管理人员人数为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】在20人的样本中应抽取管理人员人数为 ，选C.‎ ‎2. 若，则的值为（ ）‎ A. 4 B. 4或5 C. 6 D. 4或6‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以 或，所以 或 ‎，选D.‎ ‎3. 459和357的最大公约数是（ ）‎ A. 3 B. 9 C. 17 D. 51‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：用大数除以小数，得到商和余数，再用上面的除数除以余数，有得到商和余数，继续做下去，知道刚好能够整除为止，得到两个数的最大公约数．‎ 解：∵459÷357=1…102，‎ ‎357÷102=3…51，‎ ‎102÷51=2，‎ ‎∴459和357的最大公约数是51，‎ 故选：D．‎ 考点：辗转相除法；最大公因数．‎ ‎4. 从装有6个红球和5个白球的口袋中任取4个球，那么下列是互斥而不对立的事件是（ ）‎ A. 至少一个红球与都是红球 B. 至少一个红球与至少一个白球 C. 至少一个红球与都是白球 D. 恰有一个红球与恰有两个红球 ‎【答案】D ‎【解析】“至少一个红球”包含“都是红球”；至少一个红球与至少一个白球包含“一个红球三个白球”、“二个红球二个白球”、“三个红球一个白球”；至少一个红球与都是白球是对立的事件；恰有一个红球与恰有两个红球是互斥而不对立的事件，所以选D.‎ ‎5. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是84，乙班学生成绩的中位数是85.则的值为（ ）‎ A. 10 B. 12 C. 13 D. 15‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为甲班学生的平均分是84，所以 ，‎ 因为乙班学生成绩的中位数是85，所以 ，因此 ‎ ‎6. 已知与之间的一组数据，已求得关于与的线性回归方程为，则的值为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为 ， ，选B.‎ ‎7. 程序框图如下图所示，当时，输出的的值为（ ）‎ A. 14 B. 15 C. 16 D. 17‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为 ‎ 所以当时 ，结束循环，输出，选B.‎ 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎8. 设随机变量，且，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为随机变量,,‎ 解得 ，选A.‎ ‎9. 将一颗骰子连续抛掷2次，则向上的点数之和为6的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】将一颗骰子连续抛掷2次，则共有 种基本事件，‎ 其中向上的点数之和为6有 这5种基本事件，因此概率为，选B. ‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎10. 已知 ，则的值等于（ ）‎ A. 64 B. 32 C. 63 D. 31‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为 ，‎ 所以 ‎ 因此 ，选C.‎ 点睛：二项式通项与展开式的应用 ‎(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定项或指定项的系数等.‎ ‎(2)展开式的应用：‎ ‎①可求解与二项式系数有关的求值，常采用赋值法.‎ ‎②可证明整除问题(或求余数).关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断.‎ ‎③有关组合式的求值证明，常采用构造法.‎ ‎11. 如图，圆内切于扇形，，若在扇形内任取一点，则该点不在圆内的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设圆半径为 ，因为扇形面积为 ，所以该点不在圆内的概率为 ，选C.‎ 点睛：‎ ‎(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．‎ ‎(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．‎ ‎（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．‎ ‎12. 从0，1，2，3，4，5这六个数中取两个奇数和两个偶数组成没有重复数字的四位数的个数是（ ）‎ A. 300 B. 216 C. 180 D. 162‎ ‎【答案】C 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清、模棱两可均不得分.‎ ‎13. 二进制数化为十进制数是__________．‎ ‎【答案】86‎ ‎【解析】 ‎ ‎14. 展开式的常数项为__________．‎ ‎【答案】-160‎ ‎【解析】试题分析：由通项公式：设第r+1项为常数，则=，所以6-r=r,即r=3;那么常数项为，‎ 故答案为.‎ 考点：二项式定理系数的性质;二项式定理的应用．‎ ‎15. 已知随机变量服从正态分布，若，则__________．‎ ‎【答案】0.472‎ ‎【解析】因为随机变量服从正态分布，所以 因此1-0.028-0.028=0.944，‎ ‎.‎ 点睛：正态分布下两类常见的概率计算 ‎(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ 对称，及曲线与x轴之间的面积为1.‎ ‎(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.‎ ‎16. 一盒子中装有6只产品，其中4只一等品，2只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样.则在第一次取到的是一等品的条件下，第二次取到的是二等品的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从6只取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样，且第一次取到的是一等品，共有种基本事件；‎ 其中在第一次取到的是一等品的条件下，第二次取到的是二等品的事件有种，‎ 所以概率为 ‎ 三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. 3名男生4名女生站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？‎ ‎（1）任何2名女生都不相邻，有多少种排法？‎ ‎（2）男生甲、乙相邻，有多少种排法？（结果用数字表示）‎ ‎【答案】（1）144；（2）1440.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用插空法，先排男生，产生4个空，再安排女生，最后根据乘法原理得排法，（2）利用捆绑法，先将甲、乙两人看成一个整体，与其余5人进行全排列，再乘以两人之间全排列得结果.‎ 试题解析：（1）3名男生全排，再把4名女生插在男生的4个空中即可 ‎（2）.‎ 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：‎ ‎(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.‎ ‎18. 设函数.‎ ‎（1）若和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求对任意，恒成立的概率；‎ ‎（2）若是从区间任取的一个数，是从任取的一个数，求函数的图像与轴有交点的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先确定总事件数，再根据二次不等式恒成立得 ‎，根据条件确定事件数，最后根据古典概型概率公式求概率，（2）先确定矩形面积，再根据二次不等式恒成立得，结合图像求梯形面积，最后根据面积比得几何概型概率.‎ 试题解析：（1）设“对任意，恒成立”为事件，试验的结果总数为种.事件发生则，∴，从而事件所含的结果有，，，，，共27种.‎ ‎.‎ ‎（2）设“函数的图像与轴有交点”为事件，事件发生，则，∴‎ 又试验的所有结果构成的区域如图长方形区域；‎ 事件所含的结果构成的区域为如图阴影部分区域，.‎ ‎19. 已知（且）的展开式中前三项的系数成等差数列.‎ ‎（1）求展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎（2）求展开式中所有的有理项.‎ ‎【答案】（1）；（2）有理项为，.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先确定前三项系数，根据等差数列得等量关系，求得n，再根据二项式系数性质确定二项式系数最大的项数，代入通项公式求对应项，（2）根据二项式定理得通项公式，根据x的次数为整数，求得项数，再代入通项公式求有理项.‎ 试题解析：（1）∵，，成等差，‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎（1） ，‎ ‎∴时，二项式系数最大，‎ 即二项式系数最大项为.‎ ‎（2）由，知或8，‎ ‎∴有理项为，.‎ 点睛：二项式系数最大项的确定方法 ‎ ‎①如果是偶数，则中间一项(第 项)的二项式系数最大；‎ ‎②如果是奇数，则中间两项第项与第项的二项式系数相等并最大.‎ ‎20. 某手机卖场对市民进行华为手机认可度的调查，随机抽取200名市民，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：‎ ‎（1）求频率分布表中的值，并补全频率分布直方图；‎ ‎（2）利用频率分布直方图估计被抽查市民的平均年龄 ‎（3）从年龄在，的被抽查者中利用分层抽样选取10人参加华为手机用户体验问卷调查，再从这10人中选出2人，求这2人在不同的年龄组的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）38.5；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据小长方形面积等于对应区间概率求得 ‎，再根据频数等于总数与对应概率的乘积得，即得，求得区间对应纵坐标，画出图形.（2）根据平均数等于组中值与对应区间概率乘积的和求得平均年龄.（3）先根据分层抽样得从年龄在中分别抽取的人数，再根据组合数求总事件数以及两人不在同组的事件数，最后根据古典概型公式求概率.‎ 试题解析：（1）由图知，，故；‎ ‎ ‎ 故，‎ 其 ‎（2）平均年龄为 ‎ ‎ ‎（3）由分层抽样得，从年龄在，中分别抽取的人数为2人，8人 两人不在同组的概率为.‎ ‎21. 甲、乙两人做定点投篮游戏，已知甲每次投篮命中的概率均为，甲投篮3次均未命中的概率为，乙每次投篮命中的概率均为，乙投篮2次恰好命中1次的概率为，甲、乙每次投篮是否命中相互之间没有影响.‎ ‎（1）若乙投篮3次，求至少命中2次的概率；‎ ‎（2）若甲、乙各投篮2次，设两人命中的总次数为，求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ 试题解析：（1）由题意，，解得，‎ 设“乙投篮3次，至少2次命中”为事件，‎ 则 ‎（2）由题意的取值为0，1，2，3，4.‎ ‎；‎ ‎ ；‎ ‎ ；‎ ‎ ‎ ‎.‎ 故的分布列为 ‎ .‎ ‎22. 心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，孝感市黄陂路高中数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）‎ ‎ ‎ ‎（1）能否据此判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关？‎ ‎（2）以上列联表中女生选做几何题的频率作为概率，从该校1500名女生中随机选6名女生，记6名女生选做几何题的人数为，求的数学期望和方差.‎ 附表：‎ 参考公式：，其中.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）代入卡方公式得，再与参考数据比较大小作判断（2）先根据古典概型公式求概率，再根据二项分布求数学期望和方差.‎ 试题解析：（1）由表中数据得的观测值 ‎ ，‎ ‎∴根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关 ‎（2）由图表知这20位女生选择几何题的频率为 由题意知服从，‎ 则 ‎.‎ 点睛：一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.‎