2018-2019学年安徽省定远重点中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年安徽省定远重点中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省定远重点中学高二上学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设命题：“， ”，则为（ ）‎ A． ， B． ， ‎ C． ， D． ， ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，命题：“， ”，则为， ，故选A．‎ ‎2．已知命题：函数的图象恒过定点；命题：若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：在中令，得，此时，所以的图象恒过，所以命题为假，为真．由为偶函数和，即，所以的对称轴为，所以命题为假，为真，所以为真，故选D．‎ ‎【考点】1、指数函数的图象；2、抽象函数的对称性；3、逻辑联结词．‎ ‎【方法点睛】（1）求形如（且）的图象所过的定点，通常令，求得相应的值，进而得到定点坐标，而对求形如（且）的函数图象所过的定点坐标，通常令，，求得相应的值，进而确定点坐标；（2）若函数满足，则 的图象的对称轴为或满足，则的图象的对称轴为．‎ ‎3．已知命题关于的函数在上是增函数，命题函数为减函数，若“且”为假命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：命题,命题,若“且”为真命题则，故当“且”为假命题时 ，故选A.‎ ‎【考点】命题的真假.‎ ‎4．已知是椭圆的两个焦点，经过点的直线交椭圆于点，若，则等于（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：中，由椭圆定义 ‎【考点】椭圆定义 点评：椭圆定义：椭圆上的点到两焦点的距离之和等于椭圆中的。椭圆定义在求解椭圆弦长或动点的轨迹方程题目中应用广泛 ‎5．设、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则（ ）‎ A． 1 B． 3 C． 3或7 D． 1或9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由双曲线的定义得，,又因为，则. 3或7，故选C.‎ ‎6．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且， 则△AFK的面积为( )‎ A． 4 B． 8 C． 16 D． 32‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 首先求得p的值，然后结合抛物线的几何性质确定三角形的面积即可.‎ ‎【详解】‎ 由双曲线的方程可得：，则，焦点坐标为，‎ 据此可知抛物线方程为，不妨假设点A位于第一象限，‎ 设抛物线的准线为，作于点，‎ 由抛物线的性质可知：，则是等腰直角三角形，‎ 故直线的斜率为，‎ 由于，故直线AK的方程为：，即，‎ 与联立可得：，解得，‎ ‎△AFK的面积.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的定义与几何性质的应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎7．抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，又点则的最小值是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ；‎ ‎【解析】试题分析：如图，自点P向抛物线的准线作垂线，垂足为B，由抛物线的定义可知，即为，，由正弦函数的单调性及点P在抛物线上移动的情况，可知，当时，取到最小值，选B。‎ ‎【考点】本题主要考查抛物线的定义、几何性质，正弦函数的单调性。‎ 点评：简单题，利用数形结合思想，将比值转化成求角的正弦，利用正弦函数的单调性即得。‎ ‎8．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），若直线y=2x，被抛物线所截弦长为4 ，则抛物线C的方程为（   ）‎ A． x2=8y B． x2=4y C． x2=2y D． x2=y ‎【答案】C ‎【解析】‎ 联立直线方程与抛物线方程，结合弦长公式得到求得p的值即可求得抛物线方程.‎ ‎【详解】‎ 联立直线方程与抛物线方程可得：，‎ 则，‎ 由弦长公式可知：，解得：.‎ 故抛物线方程为.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；‎ ‎(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．‎ ‎9．设为可导函数，且，求的值（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析:先将化简得到其等于,再求它的值.‎ 详解: 因为 ‎,故答案为：B 点睛：（1）本题主要考查导数的定义和极限的运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2),分式的分母一定是自变量的增量，上面一定是函数值的增量，如果不满足，就要利用极限运算化简.‎ ‎10．已知函数，则的导函数的图象大致是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：要判断函数的导函数的图象，应先求得。根据函数为奇函数，可排除选项C。选项D图像不经过原点，根据，可把选项D排除。根据选项A、B图像的特点可求，进而排除选项B。‎ 详解：因为函数，‎ 所以 。‎ 因为，‎ 所以函数为奇函数，所以排除选项C。‎ 因为，所以图像经过原点，所以排除选项D；‎ 因为，所以排除选项B。‎ 故选A。‎ 点睛：本题考查根据函数的解析式判断函数的图像。根据函数的解析式判断函数的图像的方法：⑴ 若函数图像有关于轴、原点对称的，应判断函数的奇偶性，根据奇偶函数图像的特点排除选项；⑵ 根据图像上的特殊点的坐标或图像在轴的上下方，可根据特殊点的函数值的正负确定或排除选项；⑶ 由函数的单调性可确定或排除选项。‎ ‎11．曲线在点处的切线斜率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以由导数的几何意义可知曲线在点处的切线的斜率，应选答案A。‎ ‎12．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于(　　)‎ A． e2 B． e C． D． ln 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：‎ ‎【考点】函数求导数 二、填空题 ‎13．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，解得或.‎ ‎“”是“”的充分不必要条件，所以.‎ 点睛：设对应的集合分别为，则有以下结论：‎ ‎（1）若的充分条件，则；‎ ‎（2）若的充分不必要条件，则Ü ；‎ ‎（3）若的充要条件，则。‎ 根据所给的命题间的充分必要性求参数的取值范围时，要学会根据以上结论将问题转化成集合间的包含关系去处理。‎ ‎14．已知命题方程有两个不相等的实数根；命题关于的函数是上的单调增函数，若“或”是真命题，“且”是假命题，则实数的取值范围为 ____________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】试题分析：命题方程有两个不相等的实数根，所以，解得；‎ 命题关于的函数是上的单调增函数，所以，解得，‎ 若“或”是真命题，“且”是假命题，所以与中一真一假，‎ 当真假时，，解得；当假真时，，解得，‎ 所以实数的取值范围为．‎ ‎【考点】命题的真假判定及应用．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中涉及到一元二次方程的实数根与判别式的关系，一次函数的单调性，复合命题的真假判定及应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中正确求解命题与是解答的关键，试题有一定难度，属于中档试题．‎ ‎15．设， 分别是双曲线（， ）的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于， ，且在第一象限，若为等边三角形，则双曲线的实轴长为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在第二象限，设，则，又，所以，所以，所以且，故，整理得到且．又，所以，所以，解得，所以实轴长为，填．‎ 点睛：圆锥曲线中，与一个焦点有关的问题，可以转化到另一个焦点的距离．另外，如果点为双曲线上的点，焦点为，则．‎ ‎16．已知函数的导函数为，且，则__________．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ 首先对函数求导，然后利用方程思想求解的值即可.‎ ‎【详解】‎ 由函数的解析式可得：，‎ 令可得：，则.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 三、解答题 ‎17．已知 ,命题 ，命题 .‎ ‎（1）若p为真命题，求实数 m 的取值范围；‎ ‎（2）若命题是假命题, 命题是真命题,求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的取值范围是[1,2]；（2）或..‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)为真命题，则，即，求解关于实数m的不等式可得的取值范围是[1,2]；‎ ‎(2)由题意可得，命题为真命题时. 满足题意时命题、一真一假.据此分类讨论可得实数的取值范围是或.‎ 试题解析：‎ ‎(1)∵，‎ ‎∴，即，‎ 解得， ‎ 即为真命题时，的取值范围是[1,2]. ‎ ‎(2)∵∴，‎ 即命题满足. ‎ ‎∵命题“”是假命题，命题“”是真命题，‎ ‎∴、一真一假.‎ 当真假时，则，即， ‎ 当假真时，，即. ‎ 综上所述，或.‎ ‎18．已知椭圆 的左、右焦点分别为,离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)已知直线与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求出椭圆方程；（2）联立方程组，利用根与系数的关系求出的中点的坐标，根据得出点横坐标的表达式，利用基本不等式得出的取值范围.‎ 试题解析：(1)由已知得，解得，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎(2)设， 的中点为，点，使得 ‎,‎ 则.‎ 由得，由，得.‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∵∴，即，‎ ‎∴.‎ 当时， （当且仅当，即时，取等号），‎ ‎∴；‎ 当时， （当且仅当，即时，取等号），‎ ‎∴，∴点的横坐标的取值范围为.‎ ‎19．设分别为双曲线的左、右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）已知直线与双曲线的右支交于两点，且在双曲线的右支上存在点，使，求的值及点的坐标．‎ ‎【答案】（1）；（2）， ．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由于实轴长为，可得 ‎，由双曲线的焦点到渐进线的距离可得，从而得其方程；（2）设，根据向量关系可得，联立直线方程与双曲线方程消去得关于的一元二次方程，由韦达定理可得，代入直线方程可得，从而得，再根据点在双曲线上，满足双曲线方程，解方程组即可得到点的坐标和的值.‎ 试题解析：（1）由实轴长为，得，渐近线方程为，即， 焦点到渐近线的距离为， ，又， 双曲线方程为： .‎ ‎（2）设，则,‎ 由，‎ ‎，，解得.‎ ‎【考点】双曲线的标准方程及直线与双曲线的位置关系.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程的求解及直线与圆锥曲线的位置关系问题，同时涉及到了向量的线性运算及坐标表示，考查考生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.本题第一问解答时，可求出渐近线方程，利用点到直线的距离公式求得，也可以直接利用结论求解，第二问解答的关键是通过向量加法的坐标表示建立点坐标和坐标的关系，通过韦达定理即可求解.‎ ‎20．（12分）函数,在处与直线相切．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求在上的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值为．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）根据导数定义及切线方程的斜率，可求得参数a、b的值。‎ ‎（2）根据导数定义，判断函数单调性，进而可求得函数在上的极值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）．‎ 由函数在处与直线相切，得，即，解得： ．‎ ‎（2）由（1）得： ，定义域为．‎ 此时， ，令，解得，令，得．‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以在上的极大值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的定义及利用导数判断单调性，及求函数的极值，属于基础题。‎ ‎21．已知椭圆C的中心在原点焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.‎ ‎（1）求椭圆C的焦点；‎ ‎（2）已知点在椭圆C上，点 是椭圆C上不同于的两个动点，且满足： ，试问：直线的斜率是否为定值？请说明理由.‎ ‎【答案】（1）.（2）定值.‎ ‎【解析】试题分析：对于（1），结合已知即可求出b2与a2，问题便可解答；‎ 对于（2），当时，PA，PB的斜率之和为0.设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，接下来求出直线PA与PB的方程，然后将其与椭圆分别联立，即可求出,然后利用斜率的计算公式不难求出k的值，问题便可解答.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，∴设椭圆标准方程为（a＞b＞0），‎ ‎∵椭圆离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．‎ 焦点为(0,2)，‎ ‎∴b=2…（1分）e==，a2﹣b2=c2，‎ ‎∴解得a2=16，b2=12‎ ‎∴椭圆C的标准方程．‎ ‎（2）直线 x=﹣2与椭圆交点P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）或P（﹣2，﹣3），Q（﹣2，3），∴|PQ|=6，设A （x1，y1 ），B（ x2，y2），‎ 当∠APQ=∠BPQ时直线PA，PB斜率之和为0．‎ 设PA斜率为k，则PB斜率为﹣k．‎ 当P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）时，‎ PA的直线方程为y﹣3=k（x+2）‎ 与椭圆联立得（3+4k2）x2+8k（2k+3）x+4（2k+3）2﹣48=0‎ ‎∴=;‎ 同理 ‎ ‎∴ ‎ ‎ , y1﹣y2=k（x1+2）+3﹣[﹣k（x2+2）+3]=‎ 直线AB斜率为 ‎ 点睛：本题考查椭圆的性质以及抛物线的性质，直线与椭圆的综合问题，解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程求出面积函数以及表示出AB的斜率，此类题有一特点即为将直线与椭圆联立，解答中要注意运用直线方程统一变量，最后消掉出定值.‎ ‎22．已知函数， ．‎ ‎（I）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ），使不等式成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数与单调性的关系可知增区间为的解集与定义域的交集，减区间为与定义域的交集；（Ⅱ）先将不等式变形化简得，构造函数，问题转化为（如果是对任意的x恒成立则转化为），利用函数的单调性与极值求出函数h（x）的最大值得到问题的解．‎ 试题解析：（Ⅰ）∵1分 当a≤0时， 恒成立，f（x）在R上单调递减； 3分 当a>0时，令，解得x=lna，‎ 由得f（x）的单调递增区间为；‎ 由得f（x）的单调递减区间为5分 ‎（Ⅱ）因为，使不等式，则，即，‎ 设，则问题转化为， 8分 由，令，则，‎ 当x在区间内变化时， 变化情况如下表：‎ x ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎+ ‎ ‎0 ‎ ‎- ‎ h（x） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由上表可得，当x=时，函数h（x）有最大值，且最大值为，‎ 所以a≤12分 ‎【考点】1．导数与单调性；2．导数与最值；3．转化与化归的思想；4．构造法