2018-2019学年江西省九江第一中学高二上学期第二次月考数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年江西省九江第一中学高二上学期第二次月考数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省九江第一中学高二上学期第二次月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知抛物线，则它的焦点到准线的距离为().‎ A．4 B．8 C．16 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由抛物线的标准方程利用抛物线的简单性质可求得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：∵y2＝2px＝8x，‎ ‎∴p＝4，‎ ‎∴抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是4．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的标准方程与抛物线的简单性质，属于基础题．‎ ‎2．椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则的值为　　‎ A．10 B．8 C．16 D．12‎ ‎【答案】A ‎【解析】由椭圆的定义可得：，即可得出．‎ ‎【详解】‎ 由椭圆的定义可得：，‎ ‎，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的定义及其标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎3．与曲线相切于点处的切线方程是（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：因为曲线相切于点处的切线的斜率为2，则切线方程是，选D ‎4．若圆锥曲线：的离心率为2，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】,所以，选C.‎ ‎5．在等差数列中，若，则（ ）‎ A．11 B．55 C．10 D．60‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用等差数列前后项关系可用和表示出已知等式，从而求得；利用等差数列性质可知，代入求得结果.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列公差为，由得：‎ 即： ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列通项公式和性质的应用，关键是能够利用已知等式求得中间项，进而利用等差数列性质求得结果.‎ ‎6．在中，若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由数量积的定义可求得，利用同角三角函数关系求得；代入三角形面积公式即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎， ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形面积的求解问题，涉及到平面向量数量积的应用、同角三角函数的求解问题；关键是能够通过数量积的定义得到两邻边之积.‎ ‎7．已知方程的曲线为C，下面四个命题中正确的个数是 ‎①当时，曲线C不一定是椭圆；‎ ‎②当时，曲线C一定是双曲线；‎ ‎③若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则；‎ ‎④若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则.‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据椭圆与双曲线标准方程及其意义，可判断四个选项是否正确。‎ ‎【详解】‎ 对于①，当 时，曲线表示为圆，所以不一定是椭圆，所以①正确 对于②，当时表示焦点在y轴上的双曲线，当曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，所以一定是双曲线，所以②正确 对于③若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 ，解得，所以③正确 对于④若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，解得，所以④正确 综上，四个选项都正确 所以选D ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆与双曲线标准方程及其关系，注意符号问题，属于基础题。‎ ‎8．椭圆中，以点为中点的弦所在的直线倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用点差法可构造中点和所求直线斜率之间的关系，进而求得斜率；利用直线斜率和倾斜角的关系可得到直线的倾斜角.‎ ‎【详解】‎ 设弦所在直线与椭圆交于，‎ 则，两式作差得：‎ 所求弦所在直线的斜率 又为中点 ，‎ ‎ 直线的倾斜角为 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查弦中点问题的求解，求解此类问题通常采用点差法，若椭圆问题中，弦中点为，则弦所在直线的斜率.‎ ‎9．已知点在直线上,则的最小值为( )‎ A．2 B．8 C．9 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】由在直线上，可得，可得，展开后利用基本不等式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为在直线上，‎ 所以，‎ 可得 ‎，‎ 当且仅当时等号成立，‎ 所以的最小值为9，故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎10．已知函数的导函数为，且满足，则等于（）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，所以，得，故选B。‎ ‎11．是双曲线的左焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于点．若，则此双曲线的离心率为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设为直线与交点，为直线与交点，由垂直关系可得，从而得到直线的方程，与渐近线方程联立可求得；利用可得关于的齐次方程，解方程求得；由对称性知为直线与交点，为直线与交点时，结论一致.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：，双曲线渐近线方程为：‎ 若为直线与交点，为直线与交点 则 直线方程为：，与联立可得：‎ 直线方程与联立可得：‎ 由得：，即 ‎，即，解得：或（舍）‎ 由双曲线对称性可知，当为直线与交点，为直线与交点时，结论一致 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线离心率问题的求解，求解离心率问题的关键是能够根据已知的等量关系得到关于的齐次方程，进而构造出离心率的方程.‎ ‎12．将一些数排成倒三角形如图所示，其中第一行各数依次为1，2，3，…，2018，从第二行起，每一个数都等于他“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M＝（ ）‎ A．201822015 B．201922016 C．201822016 D．201922017‎ ‎【答案】B ‎【解析】记第行的第一个数为，由规律可总结得到，构造出，可知为等差数列，从而可求得，根据共行，知，代入可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 记第行的第一个数为 则，，，，…，‎ ‎，即是以为首项，为公差的等差数列 ‎ ‎ 又每行比上一行的数字少个 最后一行为第行 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由数列中的项求解通项公式的问题，关键是能够通过每一行首个数字所呈现出的规律，总结出递推关系式，利用构造的方式得到等差数列，从而求得数列的通项公式.‎ 二、填空题 ‎13．函数在处的导数值是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求得导函数后，代入即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得： ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数值的求解问题，关键是能够利用求导法则准确求得导函数.‎ ‎14．已知在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，，点在抛物线上，则的最小值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作，由抛物线定义可知，当 三点共线时，取得最小值，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：抛物线焦点，准线：‎ 过作，垂足为 由抛物线定义可知：‎ ‎（当且仅当三点共线时取等号）‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线上的点到定点与到焦点距离之和的最小值的求解问题，关键是能够利用抛物线的定义将问题转化为抛物线上的点到定点与到准线距离之和的最小值的求解问题，从而得到三点共线时取最小值.‎ ‎15．已知点在双曲线的渐近线与直线所围成的三角形区域（包含边界）内运动，则的最小值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由双曲线方程得到渐近线方程，从而得到三角形区域，将问题转化为在轴截距最小的问题，通过直线平移可确定过时截距最小，进而代入求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由双曲线方程知其渐近线方程为：，由此可得三角形区域如下图所示：‎ 令，则 当取最小值时，在轴截距最小 由平移可知，当过时，截距最小 由得： ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在轴截距的最值的求解问题，进而通过直线平移来进行求解.‎ ‎16．在中，设角的对边分别是，若成等差数列，则的最小值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由正弦定理边化角可得到，利用余弦定理可求得的范围；通过构造和基本不等式得到，进而得到；结合的范围即可求得最小值.‎ ‎【详解】‎ 成等差数列 ，由正弦定理得：‎ 由余弦定理得：‎ ‎（当且仅当时取等号） ‎ ‎（当且仅当，即时取等号）‎ 又 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解三角形中最值问题的求解，涉及到等差数列和基本不等式的应用、正弦定理边化角和余弦定理解三角形的知识；关键是能够构造符合基本不等式的形式，结合基本不等式的最值来进行求解.‎ 三、解答题 ‎17．已知，命题对，不等式恒成立；命题，直线与椭圆有公共点，若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用分离变量法可求得命题为真时，的取值范围；根据直线与椭圆位置关系的判定方法，可求得命题为真时，的取值范围；由复合命题真假性可知一真一假，分别讨论两种情况得到最终结果.‎ ‎【详解】‎ 若命题为真，则对恒成立 又在为增函数 ‎ ‎ ‎ 若命题为真，则由得：‎ ‎，即 ‎ ，解得：或 为真，为假 一真一假 若真假，则；若假真，则 综上所述：的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查根据复合命题的真假性求解参数范围问题，涉及到一元二次不等式在区间内恒成立问题、直线与椭圆位置关系的判定等知识；关键是能够分别求得两个命题为真时参数的取值范围，进而根据复合命题的真假性确定两个命题的真假性.‎ ‎18．已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调递减区间；‎ ‎（2）求函数在上的值域．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】利用二倍角公式和辅助角公式将函数整理为 ‎（1）令，解出的范围即为所求单调递减区间；‎ ‎（2）利用的范围求出所处范围，结合正弦函数图象求得的范围，进而求得函数值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）令，，解得：，‎ 的单调递减区间为，‎ ‎（2）当时， ‎ 即在上的值域为 ‎【点睛】‎ 本题考查正弦型函数单调区间和值域的求解问题，涉及到利用二倍角公式和辅助角公式化简三角函数式的问题；关键是能够采用整体对应的方式，结合正弦函数的图象和性质来进行求解.‎ ‎19．在直角坐标系中，动圆与圆外切，且圆与直线相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的轨迹方程；‎ ‎（2）直线与抛物线交于两个不同的点，若，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）设，利用两圆外切和圆与直线相切可构造出关于和的方程，消去即可得到所求轨迹方程；‎ ‎（2）直线与抛物线方程联立，根据确定范围，将利用韦达定理的形式表示出来，从而构造关于的方程，解方程求得的取值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，圆的半径为 动圆与圆外切 …①‎ 又动圆与直线相切 …②‎ 由①②消去整理可得： 曲线的轨迹方程为 ‎（2）由联立得：‎ 则，解得：‎ 设， ，‎ ‎ ，即 又 ，满足，符合题意 实数的值为 ‎【点睛】‎ 本题考查动点轨迹的求解、直线与抛物线综合应用问题，涉及到垂直关系的坐标表示等知识；关键是能够通过直线与抛物线方程联立，得到韦达定理的形式，利用韦达定理表示出已知中的垂直关系，从而构造出方程求得结果.‎ ‎20．在中，角所对的边分别为，满足.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）(2)‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）要求角,只能从入手,利用正弦定理,将角化为边,得,进而可得三边关系,利用余弦定理即可求角.‎ ‎（2）从入手,欲找三边关系,用正弦定理将其化简为,将（1）的结论利用起来,代入,同时将代入,使得中只含有,进而根据,讨论的范围.‎ 试题解析：‎ ‎（1）根据正弦定理有:‎ ‎,化简得,‎ 根据余弦定理有, 所以.‎ ‎（2）根据正弦定理将化简,同时将（1）代入,化简为 因为,,‎ 所以.‎ 故,的取值范围是 ‎【考点】正弦定理的应用(角化边);余弦定理;正弦差角;辅助角公式求范围.‎ ‎21．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点是椭圆上的一个动点，面积的最大值是．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知点，问是否存在直线与椭圆交于两点，且，若存在，求出直线斜率的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，．‎ ‎【解析】（1）根据焦点三角形面积最大时与短轴端点重合可得的值，与离心率和椭圆一起构造方程组，可求得的值，进而得到椭圆方程；‎ ‎（2）假设存在直线满足题意，将直线与椭圆方程联立，由可得到满足的不等式；设中点为，由线段长相等可知，得到，由此可求得，代入满足的不等式可解不等式求得的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当与椭圆短轴端点重合时，面积最大 ‎ 又，，解得：，‎ 椭圆的方程为：‎ ‎（2）假设存在满足题意的直线，设直线，，‎ 将与椭圆方程联立消去得：‎ 则 …①‎ ‎，‎ 设中点，则，‎ ‎ ‎ 即，整理可得：‎ 将代入①可得：，即 解得：‎ 存在满足题意的直线，其斜率的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、存在性问题的求解；求解存在性问题的常用方式是，假设存在，利用韦达定理表示出已知的等量关系，从而确定参数所满足的方程和不等式.‎ ‎22．已知公差不为的等差数列，其前项和为，若，成等比数列．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）设公差为，利用和表示出和 ‎，解方程组求得和，进而根据等差数列通项公式求得结果；‎ ‎（2）由（1）中结论整理可得，进而得到，采用裂项相消法可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设等差数列的公差为 成等比数列 ，即…①‎ 又…②‎ ‎①②联立可求得：， ‎ ‎（2）由（1）得：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求解数列的前项和的问题；关键是能够通过对等差数列通项公式的求解，得到需求和的数列通项公式的形式，准确的得到裂项的形式，进而求得结果.‎ ‎23．已知等差数列的前项和为，且，，等比数列满足，．‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】（1）设公差为，公比为，利用和表示出和，进而求得和，由等差数列通项公式得到；利用求得，根据等比数列通项公式可求得；‎ ‎（2）由（1）可得的通项公式，利用错位相减法可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为 由得： ‎ 又 ‎ ‎（2）由（1）得：‎ 则 两式作差得：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列和等比数列基本量与通项公式的求解、错位相减法求解数列的前项和的问题；关键是明确当通项公式为等差与等比的乘积的形式时，可采用错位相减法求和，属于常考题型.‎