【数学】2018届一轮复习苏教版第34课时抛物线（2）学案

【数学】2018届一轮复习苏教版第34课时抛物线（2）学案

第34课时 抛物线(2)‎ ‎【学习目标】‎ ‎1.熟练利用抛物线几何性质；‎ ‎2.了解抛物线焦点弦、通径等知识及其应用；‎ ‎3.会解决抛物线与椭圆、双曲线、直线和圆等综合问题.‎ ‎【自主练习】‎ ‎1.抛物线y=2x2的焦点坐标是 .‎ ‎2.若动点P到定点（2,0）的距离比它到直线x=-1的距离大1，则P点的轨迹方程是 .‎ ‎3.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线x2-y2=2的右焦点重合，则p的值为 .‎ ‎4. 圆心在抛物线y2=8x上，与抛物线的准线相切，且过坐标原点的圆的方程为 .‎ ‎5. 已知抛物线y2=8x的准线与双曲线相切，则双曲线的离心率 .‎ ‎6.若AB为过抛物线y2=4x焦点的弦，且AB=4，O为坐标原点，则△AOB的面积是 .‎ ‎7.已知点A(0,2),B(2,0)，若点C在抛物线y=x2的图象上，使得△ABC的面积为2的点C的个数是 .‎ 答案：1. 2. 3.4 4. 5. 6.2 7.4 ‎ ‎【典型例题】‎ 例1. 中心在原点，焦点在x轴上的椭圆T经过点M（2,1），离心率为；抛物线C顶点在原点，对称轴为x轴且经过点M.‎ ‎(1)当直线l0经过椭圆T的左焦点且平行于OM时，求直线l0的方程；‎ ‎(2)若斜率为的直线l不经过点M，与抛物线C交于A,B两个不同的点，求证：直线MA,MB与x轴总围成等腰三角形.‎ A B x y M l ‎（Ⅰ）解：由，得，，‎ ‎∴a2=4b2．设椭圆T的方程为．‎ 将点M（2，1）代入椭圆方程得：，解得b2=2．[来源: ]‎ ‎∴a2=8．∴椭圆T的方程为．‎ 则．‎ 因此左焦点为，．‎ ‎∴直线l0的方程为，‎ 即；‎ ‎（Ⅱ）证明：设抛物线方程为y2=2px（p＞0），‎ 代入M的坐标得：1=4p，解得：p=．‎ ‎∴抛物线C的方程为：．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，‎ 则．‎ ‎，∴y1+y2=﹣2．‎ ‎=．‎ ‎∴直线MA，MB与X轴总围成等腰三角形．‎ 例2. 已知抛物线C:y2=x与直线l：，试问：抛物线C上是否存在关于直线l对称的两点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.‎ 解：设两点存在，分别为A（a2，a），B（b2，b），设AB的斜率为k′，k′=﹣，‎ ‎∴==﹣，‎ ‎∴a+b=﹣k，b=﹣k﹣a，‎ 设M（m，n），则m===，‎ n==﹣，‎ ‎﹣，﹣2k=2k3﹣4ka（﹣k﹣a）+3，‎ ‎4ka2+4k‎2a+2k3+2k+3=0，‎ ‎△=（4k2）2﹣4•4k（2k3+2k+3）=﹣16k（k+1）（k2﹣k+3）＞0，‎ ‎∵k2﹣k+3=（k﹣）2+＞0，‎ ‎∴﹣k（k+1）＞0，解得﹣1＜k＜0‎ ‎∴实数k的取值范围是（﹣1，0）．‎ 例3. 已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为抛物线C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交于B、D两点．‎ ‎（Ⅰ）若∠BFD=90°，且△BFD的面积为4，求p的值及圆F的方程；‎ ‎（Ⅱ）若A、B、F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m、n距离的比值．‎ ‎ ‎ 解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p，点F到准线l的距离p，‎ ‎∴×2p×p=4，解得p=2，‎ ‎∴|BF|=2，‎ ‎∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．‎ ‎（2）由题设A（x0，）（x0＞0），则F（0，），‎ ‎∵A，B，F三点在同一直线m上，‎ 又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．‎ 由点A，B关于点F对称得：B（﹣x0，p﹣），‎ ‎∴p﹣=﹣，‎ ‎∴x02=3p2，‎ ‎∴A（p，），直线m：y=，即=0，‎ 由x2=2py得，∴y′==， ‎ ‎∴x=p，‎ ‎∴切点P（p，），‎ 直线n：y﹣=（x﹣p），即x﹣y﹣p=0‎ ‎∴坐标原点到m，n距离的比值为：p=3．‎