吉林省长春市第一五一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

吉林省长春市第一五一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com ‎2019—2020学年度高一上学期期中考试 数学 本试卷共４页，满分150分．考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号分别填写在试卷和答题纸规定的位置．‎ 一、选择题：（共12小题，每小题5分，计60分）‎ ‎1.已知全集，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用交集的运算即可得到答案.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交运算，考查对概念的理解，属于容易题.‎ ‎2.下列函数中，定义域是且为增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出选项中各函数的定义域，并判断其单调性，从而可得结论.‎ ‎【详解】对于，，是上的减函数，不合题意；‎ 对于，是定义域是且为增函数，符合题意；‎ 对于，，定义域是，不合题意；‎ 对于，，定义域是，但在上不是单调函数，不合题，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的定义域与单调性，意在考查对基础知识的掌握与灵活运用，属于基础题.‎ ‎3.函数的定义域为（　　）‎ A. [，3）∪（3，+∞） B. （-∞，3）∪（3，+∞）‎ C. [，+∞） D. （3，+∞）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.‎ ‎【详解】因为函数，‎ 解得且；‎ 函数的定义域为, 故选A．‎ ‎【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.‎ ‎4.化为弧度为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用，，易得.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 所以.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查角度制与弧度制的互化，注意角的正负与旋转方向的关系，考查基本运算能力.‎ ‎5.函数的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数是偶函数，图象关于轴对称，当时，单调递减，时，单调递增，且图象过点，由此可得结论．‎ ‎【详解】由题意，函数是偶函数，图象关于轴对称，‎ 当时，为单调递减函数，‎ 时，为单调递增函数，‎ 再由函数的图象过点，应选A选项，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性，以及对数函数的单调性，合理判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎6.函数的零点所在的区间是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的单调性以及连续性，通过零点判定定理选出选项即可．‎ ‎【详解】解：函数是连续增函数，‎ 因为， ‎ 所以， ‎ 由零点存在定理可知，函数的零点在． ‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点判定定理的应用，是基本知识的考查．‎ ‎7.已知,,,则实数的大小关系是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 容易得出30.6＞1，0＜0.63＜1，log0.63＜0，从而可得出a，b，c的大小关系．‎ ‎【详解】∵30.6＞30＝1，0＜0.63＜0.60=1，log0.63＜log0.61＝0；‎ ‎∴a＞b＞c．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，熟记单调性是关键，是基础题 ‎8.若在上是奇函数，则值为（　　）‎ A. -1 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇函数的定义可知其定义域关于原点对称，其图象关于原点对称，从而建立关于的方程，即可求出结果．‎ ‎【详解】解：∵奇函数的定义域关于原点对称，所以 ‎∵奇函数的图象关于原点对称， ‎ ‎∴ ‎ 即 ‎∴‎ ‎∴． ‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了奇函数的定义及特点，注意函数定义域的特点，是个基础题．‎ ‎9.若扇形的圆心角为2弧度，它所对的弧长为4,则扇形的面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据扇形的弧长公式，面积公式计算即可,‎ ‎【详解】 ‎ ‎ 选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，面积公式，属于中档题.‎ ‎10.设则（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的定义，先求的值，再求的值.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 所以.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查求分段函数的函数值，考查对分段函数概念的理解，即属于不同区间，函数的解析式不一样，考查基本运算求解能力.‎ ‎11.已知函数是偶函数，在是单调减函数，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据在是单调减函数，转化出的一个单调区间，再结合偶函数关于轴对称得上的单调性，结合函数图像即可求得答案 ‎【详解】在是单调减函数，‎ 令，则，即在上减函数 在上是减函数 函数是偶函数，‎ 在上是增函数 ‎,‎ 则 故选 ‎【点睛】本题是函数奇偶性和单调性综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．‎ ‎12.若函数，在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. （1，4） B. （2，4） C. [3，4） D. （2，3]‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件函数在R上单调递增，从而在[1,+∞）上单调递增，根据对数函数的单调性有 ，根据一次函数的单调性有．根据增函数的定义可得求交集即可得出实数a的取值范围．‎ ‎【详解】在[1,+∞）上单调递增，故；‎ 在上单调递增，故，得；‎ 且由增函数的定义可得，故 ，‎ 综上实数的取值范围是[3，4）‎ 故选C ‎【点睛】本题考查一次函数的单调性，对数函数的单调性，以及增函数的定义，分段函数单调性的特点，是易错题 二、填空题（共4小题，每小题5分，计20分）‎ ‎13.已知幂函数的图象经过，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数经过求得幂函数的解析式，再求的值.‎ ‎【详解】因为幂函数的图象经过，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查幂函数的性质、求幂函数的函数值，考查基本运算求解能力.‎ ‎14.函数的值域是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法，设，将求函数的值域转化为求二次函数在闭区间上的值域问题.‎ ‎【详解】因为函数，‎ 设，则函数的值域等价于求函数的值域，‎ 所以当时，，‎ 当时，.‎ 所以函数的值域为.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查指数型函数的值域，考查换元法、转化与化归思想的应用，求解时要注意新元的取值范围，才能保证问题的等价转化.‎ ‎15.函数y=log3（x2﹣2x）的单调减区间是 ．‎ ‎【答案】（﹣∞，0）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：先求函数的定义域设u（x）=x2﹣2x则f（x）=lnu（x），因为对数函数的底数3＞1，则对数函数为单调递增函数，要求f（x ‎）函数的减区间只需求二次函数的减区间即可．‎ 解：由题意可得函数f（x）的定义域是x＞2或x＜0，‎ 令u（x）=x2﹣2x减区间为（﹣∞，0）‎ ‎∵3＞1，‎ ‎∴函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0）‎ 故答案：（﹣∞，0）‎ 考点：对数函数的单调性与特殊点；对数函数的定义域．‎ ‎16.数学老师给出一个函数，甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质：甲：在 上函数单调递减；乙：在上函数单调递增；丙：在定义域R上函数的图象关于直线对称；丁：不是函数的最小值．老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确．那么，你认为____说的是错误的．‎ ‎【答案】乙 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四位同学的回答，不妨假设其中的任何三个同学回答正确，然后推出另一位同学的回答是否正确来分析，体现了反证法的思想.‎ ‎【详解】如果甲、乙两个同学回答正确，‎ 因为在上函数单调递增，‎ 所以丙说：在定义域R上函数的图象关于直线对称是错误的，‎ 此时是函数的最小值，所以丁的回答也是错误的，与四个同学中恰好有三个人说的正确矛盾，‎ 所以应该是甲、乙两个同学有一个回答错误，‎ 此时丙正确，则乙就是错误的.‎ 故答案为乙.‎ ‎【点睛】本题利用函数的性质考查逻辑推理能力和反证法思想，考查数形结合思想的运用.‎ 三、解答题（解答应有必要的文字说明和解题步骤，共6小题，计70分）‎ ‎17.（1）‎ ‎（2）‎ ‎【答案】(1)7；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用对数的运算法则、换底公式进行求值，即可得答案；‎ ‎（2）利用指数幂的运算法则求值，即可得答案.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】本题考查对数运算法则、指数运算法求多项式的值，考查基本运算求解能力，求解过程中要注意符号的正负.‎ ‎18.已知集合．‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合补集和交集的定义进行计算即可；（2）根据得 ‎，结合子集关系进行求解即可．‎ ‎【详解】解：（1）当时，，‎ ‎，‎ 则或，‎ 则 ‎（2）若，则 ‎．‎ 则，即，‎ 所以实数a的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出不等式的等价条件，结合交集补集的定义是解决本题的关键．‎ ‎19.若关于的不等式对一切实数都成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对二次项系数分成等于0和不等于0两种情况进行讨论，对时，利用二次函数的图象进行分析求解.‎ ‎【详解】当时，不等式对一切实数都成立，‎ 所以成立；‎ 当时，由题意得解得：；‎ 综上所述：.‎ ‎【点睛】本题考查不等式恒成立问题，注意运用分类讨论思想进行求解，同时也要结合二次函数的图象进行问题分析与求解.‎ ‎20.已知函数f（x）=log2（x+1）–2．‎ ‎（1）若f（x）>0，求x的取值范围；‎ ‎（2）若x∈（–1，3]，求f（x）的值域．‎ ‎【答案】（1）x>3．（2）f（x）的值域为（–∞，0]．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据对数函数单调性解不等式得结果，(2) 根据对数函数单调性确定函数值域.‎ ‎【详解】（1）函数f（x）=log2（x+1）–2，‎ ‎∵f（x）>0，即log2（x+1）–2>0，‎ ‎∴log2（x+1）>2，‎ ‎∴log2（x+1）>log24，‎ ‎∴x+1>4，‎ ‎∴x>3．‎ ‎（2）∵x∈（–1，3]，‎ ‎∴x+1∈（0，4]，‎ ‎∴log2（x+1）∈（–∞，2]，‎ ‎∴log2（x+1）–2∈（–∞，0]．‎ ‎∴f（x）的值域为（–∞，0]．‎ ‎【点睛】本题考查对数函数单调性以及值域，考查基本求解能力.‎ ‎21.已知二次函数且其图象的顶点恰好在函数的图象上 ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若函数恰有两个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出函数的顶点，根据顶点在函数的图象上，即，解出的值，从而求出函数的解析式；‎ ‎（2）根据的解析式，由函数图象的对折变换得到函数的图象，再由恰有2个零点，则函数的图象与直线有且只有两个交点，从而得到的取值范围.‎ ‎【详解】因为二次函数，‎ 所以顶点坐标为，‎ 因为顶点在函数的图象上，‎ 所以，解得，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）得，则函数的图象如图所示，‎ 若恰有2个零点，则函数的图象与直线有且只有两个交点，‎ 所以或，‎ 所以或.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、对数函数的图象和性质、函数图象的对折变换、函数零点等知识，考查数形结合思想的运用.‎ ‎22.已知定义域为的函数是奇函数．‎ ‎（1）求的值 ‎（2）若在上为减函数，且对于任意，不等式恒成立，求的范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由函数定义在上的奇函数，得，求出，再利用，求出.‎ ‎（2）根据函数的单调性和奇偶性，将不等式转化为对任意的恒成立，结合二次函数的图象与性质，可得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）因为是定义在的奇函数，‎ 所以，则，‎ 由，‎ 所以.‎ ‎（2）因为在上为减函数，且为奇函数，‎ 所以 所以，即对任意的恒成立，‎ 所以，‎ 所以的范围.‎ ‎【点睛】本题以含有指数式的分式函数为例，考查函数单调性与奇偶性的综合运用，求解时要注意参变分离思想在恒成立问题中的运用.‎ ‎ ‎