2011年数学理（全国新课标）高考试题

2011年数学理（全国新课标）高考试题

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）‎ 数学（供理科考生使用）‎ 注意事项：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．‎ ‎3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．‎ ‎4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）复数 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是 ‎ （A）120 （B） 720 （C） 1440 （D） 5040‎ ‎（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为 ‎（7）已知直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，为C的实轴长的2倍，C的离心率为 ‎（A） （B） （C） 2 （D） 3‎ ‎（8）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ‎ ‎（A）—40 （B）—20 （C）20 （D）40‎ ‎（9）曲线，直线及轴所围成的图形的面积为 ‎（A） （B）4 （C） （D） 6‎ ‎（10）已知a，b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题 ‎ ‎ ‎ ‎ 其中真命题是 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（11）设函数的最小正周期为，且则 ‎（A）在单调递减 （B）在单调递减 ‎（C）在单调递增 （D）在单调递增 ‎（12）函数的图象与函数的图象所有交点的橫坐标之和等于 ‎（A）2 （B）4 （C）6 （D）8‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎（13）若变量x，y满足约束条件，则的最小值是_________．‎ ‎（14） 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点在x轴上，离心率为．过点的直线l交C于A，B两点，且的周长为16，那么C的方程为_________．‎ ‎（15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=，则棱锥O-ABCD的体积为_____________．‎ ‎（16） 中，，则AB+2BC的最大值为_________．‎ 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知等比数列的各项均为正数，且．‎ ‎（I）求数列的通项公式．‎ ‎（II）设，求数列的前n项和．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD．‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（II）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：‎ A配方的频数分布表 指标值分组 ‎[90，94）‎ ‎[94，98）‎ ‎[98，102）‎ ‎[102，106）‎ ‎[106，110]‎ 频数 ‎8‎ ‎20‎ ‎42‎ ‎22‎ ‎8‎ B配方的频数分布表 指标值分组 ‎[90，94）‎ ‎[94，98）‎ ‎[98，102）‎ ‎[102，106）‎ ‎[106，110]‎ 频数 ‎4‎ ‎12‎ ‎42‎ ‎32‎ ‎10‎ ‎（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；‎ ‎（II）已知用B配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为 从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元）．求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系xOy中， 已知点A（0，-1），B点在直线上，M点满足，，M点的轨迹为曲线C．‎ ‎（I）求C的方程；‎ ‎（II）P为C上动点，为C在点P处的切线，求O点到距离的最小值．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数，曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（I）求a，b的值；‎ ‎（II）如果当x>0，且时，，求k的取值范围．‎ 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，D，E分别为的边AB，AC上的点，且不与的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程的两个根．‎ ‎（I）证明：C，B，D，E四点共圆；‎ ‎（II）若，且求C，B，D，E所在圆的半径．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数），M为上的动点，P点满足，点P的轨迹为曲线．‎ ‎（I）求的方程；‎ ‎（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，求|AB|.‎ ‎（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数，其中．‎ ‎（I）当a=1时，求不等式的解集．‎ ‎（II）若不等式的解集为｛x|，求a的值．‎ ‎2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试卷参考答案 一、选择题 ‎（1）C （2）B （3）B （4）A （5）B （6）D ‎（7）B （8）D （9）C （10）A （11）A （12）D 二、填空题 ‎（13）-6 （14） （15） （16）‎ 三、解答题 ‎（17）解：‎ ‎（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以．‎ 由条件可知c>0，故．‎ 由得，所以．‎ 故数列{an}的通项式为an=．‎ ‎（Ⅱ ）‎ 故 所以数列的前n项和为 ‎(18)解：‎ ‎（Ⅰ）因为， 由余弦定理得 ‎ 从而BD2+AD2= AB2，故BDAD 又PD底面ABCD，可得BDPD 所以BD平面PAD. 故 PABD ‎（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则 ‎，，，．‎ 设平面PAB的法向量为n=（x，y，z），则 ‎ 即 ‎ 因此可取n=‎ 设平面PBC的法向量为m，则 ‎ 可取m=（0，-1，） ‎ 故二面角A-PB-C的余弦值为 ‎ ‎（19）解 ‎（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．‎ 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42‎ ‎（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间的频率分别为0.04，，054，0.42，因此 P(X=-2)=0.04， P(X=2)=0.54， P(X=4)=0.42，‎ 即X的分布列为 ‎－2‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎0.04‎ ‎0.54‎ ‎0.42‎ X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68‎ ‎(20）解：‎ ‎(Ⅰ)设M(x，y)，由已知得B(x，-3)，A(0，-1).‎ ‎ 所以=（-x，-1-y）， =(0，-3-y)， =(x，-2).‎ ‎ 再由题意可知（+）• =0， 即（-x，-4-2y）• (x，-2)=0.‎ ‎ 所以曲线C的方程式为y=x-2.‎ ‎ (Ⅱ)设P(x，y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x，所以的斜率为x 因此直线的方程为，即．‎ 则O点到的距离.又，所以 ‎ ‎ ‎ 当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.‎ ‎（21）解：‎ ‎ （Ⅰ）‎ ‎ 由于直线的斜率为，且过点，故即 ‎ 解得，．‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 ‎ ．‎ 考虑函数，则 ‎ ．‎ ‎ (i)设，由知，当时，．而，故 ‎ 当时，，可得；‎ 当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0‎ 从而当x>0，且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.‎ ‎（ii）设00，故 (x）>0，而 ‎ h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0，与题设矛盾．‎ ‎（iii）设k1.此时（x）>0，而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0，与题设矛盾．‎ ‎ 综合得，k的取值范围为（-，0]‎ 解：（2）由（1）知． 故要证： 只需证 为去分母，故分x>1与01时，需证 即 即需证． （1）‎ 设，则 由x>1得，所以在（1，+）上为减函数．又因g（1）=0 所以 当x>1时 g（x）<0 即（1）式成立．‎ 同理0

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