广东省云浮市郁南县连滩中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题
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2019-2020学年第一学期高一数学期中试试卷
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）
1. 设集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】B
【解析】
试题分析：，故中元素的个数为5，选B.
【考点】集合中交集的运算
【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般结合不等式的解集、函数的定义域或值域考查，解题的关键是正确运用Venn图或数轴.
2.下列各图中,可表示函数的图象是( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，由函数的定义可知，每一个值对应唯一的值，分析所给图像的对应关系，可得出正确答案。
【详解】根据题意，一个变化过程中有两个变量，如果给定一个值，则有确定的唯一的值与之对应，则称是的函数，选项A、B、C均不符合一个值对应唯一的值。
故选：D
【点睛】本题主要考查函数的定义以及函数图像的特点。
3.设函数，则的表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由，知，令，则，先求出，由此能求出.
【详解】，
，
令，则，
，
，故选B.
【点睛】本题考查函数解折式的求解及常用方法，解题时要认真审題,仔细解答，注意合理地进行等价转化.
4.已知函数，若f（a）=10，则a的值是（ ）
A. -3或5 B. 3或-3 C. -3 D. 3或-3或5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式，分两种情况讨论分别求得或.
【详解】若,则舍去）,
若，则,
综上可得，或,故选A .
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求自变量，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.
5.函数y=-(x-3)|x|的单调递增区间为( ).
A. B. C. [3,+∞) D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，函数可写成分段形式： ，根据二次函数的图像与性质讨论每一段的单调性即可得出答案。
【详解】根据题意，
当时，，
所以 上单调递增，在 上单调递减；
当时，，所以在上单调递减；
综上所述，的单调增区间为。
故选：B
【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，需写出每一段函数的解析式，分开讨论每一段函数的单调性得出答案。
6.已知f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在(-5,-2)上是( ).
A. 增函数 B. 减函数 C. 部分为增函数,部分为减函数 D. 无法确定增减性
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，已知函数为偶函数，可以得到，分析函数图像和性质，可得答案。
【详解】根据题意，函数为偶函数，
则，
可得，
所以，则函数图像是开口向下，且以轴为对称轴的抛物线，则在上是增函数。
故选：A
【点睛】本题主要考查二次函数的奇偶性和单调性，以及偶函数图像的特点。
7.若弧度为2的圆心角所对的弦长为2,则这个圆心角所夹扇形的面积是( ).
A. tan 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，可由扇形的面积公式直接计算得出。
【详解】根据题意，可得图形，过点作于，延长交弧于,如下所示：
由题意可知，，所以，，
所以，
故扇形的面积为：
故选：C
【点睛】本题主要考查扇形面积公式，要求扇形的面积，只需求出扇形的半径即可。
8.我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说:“一尺之锤,日取其半,万世不竭”.用现代语言叙述为:一尺长的木棒,每天取其一半,永远也取不完.这样,每天剩下的部分都是前一天的一半,如果把“一尺之锤”看成单位“1”,那么10天后剩下的部分是( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，随着天数的增加，剩余部分的长度为：可设天后剩下的部分为，可以得到与的函数关系式，令求解即可。
【详解】根据题意，设天后剩下的部分为，可以得到与的函数关系式为：
，则令，解得
故选：C
【点睛】本题主要考查同学们根据题干给出的递推关系求解函数关系式。
9.使成立的的一个变化区间是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用三角函数线解不等式得解.
【详解】如图所示
当和时，，
故使成立的的一个变化区间是.
故选A
【点睛】本题主要考查三角函数线的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10.log43,log34,lo的大小顺序是( ).
A. log34
log43>lo
C. log34>lo>log43 D. lo>log34>log43
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，由对数函数的性质可知，， ，比较即可得出答案。
【详解】根据题意，，，
且因为，，所以，
所以
故选：B
【点睛】本题主要考查对数的大小比较，尝试将各式与进行比较，即可得出答案。
11.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )
A. nm>0
D. m>n>0
【答案】A
【解析】
由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.由曲线C1，C2的图象可知n0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．
(7)y＝tan x的定义域为.
14.在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
【答案】4
【解析】
将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚放在天平上，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币；若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．
故答案为４．
15.已知角α是第一象限角,问:角可能是第______________象限角.
【答案】一、二、三
【解析】
【分析】
根据题意，角是第一象限角，可得，所以角的范围为：，讨论的取值即可得出角的范围，确定象限。
【详解】根据题意，角是第一象限角，故，
所以
所以当时， ，位于第一象限；
当时，，位于第二象限；
当时，，位于第三象限；
综上所述，角可能是第一、二、三象限角。
故答案为：一、二、三
【点睛】本题主要考查象限角相关概念，以及各象限角的范围。
16.关于下列结论:
①函数y=ax+ 2(a>0且a≠1)的图象可以由函数y=ax的图象平移得到;
②函数y=2x的图象与函数y=log2x的图象关于y轴对称;
③方程log5(2x+1)=log5(x 2-2)的解集为{-1,3};
④函数y=ln(1+x)-ln(1-x)为奇函数.
其中正确的是____.(把你认为正确结论的序号填上)
【答案】①④
【解析】
【分析】
根据题意，由平移的性质对①进行判断；根据指数函数和对数函数关于直线对称可以对②进行判断；对于③，方程可以写成： ，求解集即可；通过比较与的关系可以对④进行判断。
【详解】根据题意可知：
对于①，函数 且可以由函数向左平移2个单位得到，故①正确；
对于②，函数与函数的图像关于直线对称，故②错误；
对于③，由可得：
，解得，故③错误；
对于④，，定义域为，关于原点对称， ，所以函数为奇函数，
故④正确。
正确答案：①④
【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的关系和性质，熟练掌握平移、奇函数、求方程的解等知识是解题的关键。
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本题满分70分）
17.（1）已知全集U=R,A={x|-4≤x≤2},B={x|-10时,f(x)=-x2+2x,
(1)求函数f(x)在R上的解析式;
(2)若函数f(x)在区间(-1,a-2)上单调递增,求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由函数的奇偶性和对称性，即可求出函数在上的解析式。
（2）由（1）画出函数的图像，根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合即可求出的取值范围。
【详解】（1）根据题意，设，，则
，又因为为奇函数，则
时，，
所以函数解析式为：
（2）根据第一问画出函数图像，如图所示：
若使在 上单调递增，结合的图像可知：
，解得，故实数的取值范围为：。
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，利用奇函数的性质求函数解析式以及利用函数的单调性求参数的取值范围。
20.已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;
(3)当a>1时,求使f(x)>0的解集.
【答案】（1）（2）函数为奇函数，证明见解析（3）
【解析】
【分析】
（1）根据题意，求函数定义域结合对数函数真数大于零得到关于的不等式组，求解即可得出答案。
（2）根据题意，结合（1）的结果以及函数解析式即可确定函数的奇偶性。
（3） 根据题意结合对数函数的单调性可以得到关于的不等式组，求解即可得出最终结果。
【详解】（1）根据题意，，
所以 ，解得：
故函数的定义域为：
（2）函数为奇函数。
证明：由（1）知的定义域为，关于原点对称，
又，故函数为奇函数。
（3）根据题意， ， 可得，
则，解得：
故的解集为：
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及对数函数的相关知识，掌握对数函数真数大于零以及对数函数的单调性，学会解不等式组。
21. 已知二次函数y＝f（x）满足f（－2）＝f（4）＝－16，且f（x）最大值为2．
（1）求函数y＝f（x）的解析式．
（2）求函数y＝f（x）在[t，t＋1]（t＞0）上的最大值．
【答案】（1）f（x）＝－2x2＋4x；（2）f（x）max＝
【解析】
试题分析：（1）求二次函数解析式采用待定系数法，设出函数解析式，代入已知条件得到关于参数的方程，解方程求得参数，进而得到函数解析式；（2）求函数解析式求得函数的单调区间，通过讨论区间[t，t＋1]与对称轴的位置关系确定在其上的单调性，得到函数的最大值
试题解析：（1）因为已知二次函数y＝f（x）满足f（－2）＝f（4）＝－16，且f（x）最大值为2，
故函数的图象的对称轴为x＝1，
可设函数f（x）＝a（x－1）2＋2，a＜0．
根据f（－2）＝9a＋2＝－16，
求得a＝－2，
故f（x）＝－2（x－1）2＋2＝－2x2＋4x．
（2）当t≥1时，函数f（x）在[t，t＋1]上的是减函数，
故最大值为f（t）＝－2t2＋4t；
当0＜t＜1时，函数f（x）在[t，1]上是增函数，在[1，t＋1]上是减函数，
故函数的最大值为f（1）＝2．
综上，f（x）max＝
考点：1．待定系数法求函数解析式；2．二次函数单调性与最值；3．分情况讨论
22.已知函数f(x)=奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)设g(x)=2x+1-a,若函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点,求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由奇函数的性质即可求出的值。
（2）根据题意，确立函数与方程之间的关系，结合指数函数的图像和性质即可得出结论。
【详解】（1）根据题意，函数为奇函数，
则，解得
（2）根据题意，函数与的图像有一个公共点，即方程至少有一个实根，即方程至少有一个实根。
令 ，则方程 至少有一个正根，
则 ，所以 的取值范围为
【点睛】本题主要考查奇函数的性质以及利用函数与方程的关系求解参数范围。
