云南省梁河县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题

云南省梁河县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题

高二下学期期中考试数学（文科）试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的解集，即求出了集合，再求出的解集，即求出了集合，然后由交集的运算得出即可.‎ ‎【详解】解：解不等式，得，则有.‎ 解不等式，得，则有.‎ 所以，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了一元二次不等式解法，以及集合的交集及其运算，属于基础题.‎ ‎2.若复数满足，则对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的乘法运算化简复数，求得坐标可得结果.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 对应的点的坐标为，位于第二象限，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，考查了复数的坐标表示，属于基础题.‎ ‎3.设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　)‎ A. B. ‎3 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】,‎ ‎,故选D.‎ ‎4.下列函数中，在定义域内既是奇函数又为增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本函数指数函数、正弦函数、幂函数和对数函数的性质判断.‎ ‎【详解】A. 因为， 所以是减函数，故错误；‎ B. 因为，所以不单调，故错误；‎ C. 因为，所以是奇函数，又，所以又为增函数，故正确；‎ D. 因为， 所以是减函数，故错误；‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查指数函数、正弦函数、幂函数和对数函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.‎ ‎5.阅读右面的程序框图，则输出的（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为当k=0时，S=0；当k=1时，S=1；当k=2时，S=1+2；当k=3时，S=…，当k=6时S=63.当S=63进入判断框时成立所以得到S=127.这时k=7.再进入判断框时127>100.所以这时输出k=7.故选D.‎ 考点：1.算法中的循环结构.2.指数式的运算.‎ ‎6.“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分必要条件的定义判断．‎ ‎【详解】，充分性成立，，时无意义，不成立，必要性不成立，因此应是充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件的判断，解题时需判断两个命题的真假．‎ ‎7.已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ‎），可得这个几何体的体积为（ ）cm3.‎ A. 24 B. ‎12 ‎C. 8 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 三视图还原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，然后结合三视图中的数据，利用锥体的体积公式求解.‎ ‎【详解】三视图还原的几何体如图所示： ‎ 其中底面ABCD为直角梯形，底面ABCD，‎ 所以四棱锥的高为，‎ S梯形ABCD，‎ 所以几何体的体积.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查三视图的应用以及几何体的体积求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎8.不等式的解集是(   )‎ A. [-5,7] B. [-4,6]‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 零点分段后分类讨论求解不等式的解集即可.‎ ‎【详解】分类讨论：‎ 当时，不等式即：，解得：；‎ 当时，不等式即，此时不等式无解；‎ 当时，不等式即：，解得：；‎ 综上可得，不等式的解集为.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎9.函数的图象存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得，即在上有解，所以在上有解，即得的取值范围.‎ ‎【详解】函数的图象存在与直线平行的切线，即在 上有解.‎ 在上有解，则.‎ 因为，所以，所以的取值范围是.‎ 故答案B ‎【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义和方程的有解问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分离参数在上有解，即得的取值范围.‎ ‎10.已知抛物线的准线与双曲线两条渐近线分别交于，两点，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据已知条件，分别求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，由，可得，由此可求出双曲线的离心率.‎ ‎【详解】抛物线的准线方程为，‎ 双曲线的两条渐近线方程为，‎ 不妨设点在轴上方，令，得，‎ 由，得，即，‎ 所以，所以，‎ 所以双曲线的离心率.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，求抛物线的准线方程，同时考查基本计算能力，属于基础题.‎ ‎11.已知数列：，，，，，，，，，，，依它的前10项的规律，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将数列按分子、分母之和进行分组，然后根据数列项的规律，即可求出结果.‎ 详解】将前10项分组可得到：‎ 第1组有一个数：，分子、分母之和为2；第2组有两个数：，，分子、分母之和为3；‎ 第3组有三个数：，，，分子、分母之和为4；第4组有四个数，，，，，分子、分母之和为5；‎ 依此类推，分别是第十四组的第8个数和第9个数，分子、分母和为15；‎ 所以，，故.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查求数列中的项，关键是要找到数列中项的规律，属于中档题.‎ ‎12.正数满足,且恒成立,则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由a＞0，b＞0，‎2a+b＝1得，‎4a2+b2＝1﹣4ab，于是问题转化为：t≥24ab恒成立，令f（a，b）＝24ab，求得f（a，b）的最大值，只需t≥f（a，b）max即可．‎ ‎【详解】∵a＞0，b＞0，‎2a+b＝1，‎ ‎∴‎4a2+b2＝1﹣4ab，‎ ‎∴2‎4a2﹣b2≤t恒成立，转化为t≥24ab恒成立，‎ 令f（a，b）＝24ab4（ab）＝4，‎ 又由a＞0，b＞0，‎2a+b＝1得：1＝‎2a+b≥2，‎ ‎∴ab（当且仅当a，b时取“＝”）；‎ ‎∴f（a，b）max＝4．‎ t．‎ 故选B．‎ 略 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知向量，，且，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量平行的坐标表示列出方程，即可求出.‎ ‎【详解】因为，所以，所以，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示及同角三角函数关系，属于基础题.‎ ‎14.已知实数想，满足，则目标函数的最小值为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据约束条件作出可行域，将目标函数变形为，通过平移直线可知，当直线过点时，取得最小值.‎ ‎【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域，如图所示：‎ 将目标函数变形，由图可知当直线经过点时，截距最小，‎ 所以的最小值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查简单线性规划问题中的目标函数最值问题，解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解目标函数的几何意义.‎ ‎15.在中，内角的对边分别是，若，，则____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，根据正弦定理“边化角”，可得，根据余弦定理，结合已知联立方程组，即可求得角.‎ ‎【详解】‎ 根据正弦定理：‎ 可得 根据余弦定理：‎ 由已知可得：‎ 故可联立方程：‎ 解得：.‎ 由 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.‎ ‎16.已知函数，若，且，都有不等式成立，则实数的取值范围是　 　.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,将不等式变形,结合绝对值三角不等式求得最小值,通过函数的性质即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】因为 所以 所以需小于的最小值 而 所以实数需满足 解不等式可得 所以实数的取值范围是 ‎【点睛】本题考查了含绝对值不等式的解法,不等式恒成立问题的应用,注意化简技巧,属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.把函数的图像向右平移个单位，得到的函数的图像关于直线对称.‎ ‎(Ⅰ)求a的最小值；‎ ‎(Ⅱ)就的最小值求函数在区间上的值域.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)利用诱导公式及二倍角公式将函数解析式化简整理，然后根据的图像关于直线对称列出方程，即可求出的最小值；‎ ‎(Ⅱ)根据(Ⅰ)可得函数的解析式，根据的范围结合正弦函数的性质，即可求出 的值域.‎ ‎【详解】(Ⅰ)‎ 所以，它关于直线对称，‎ 所以，，所以，，‎ 因为，所以 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，‎ 因为，所以，‎ 所以，所以，即的值域为.‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式，正弦二倍角公式的逆用及三角函数的性质，属于中档题.‎ ‎18.等比数列的各项均为正数，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设 ，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简 ‎，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设bn＝log‎3a1＋log‎3a2＋…＋log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和 试题解析：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q,由＝‎9a2a6得＝9,所以q2＝．‎ 由条件可知q＞0,故q＝．由‎2a1＋‎3a2＝1得‎2a1＋‎3a1q＝1,所以a1＝．‎ 故数列{an}的通项公式为an＝．‎ ‎（Ⅱ）bn＝log‎3a1＋log‎3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－．‎ 故．‎ 所以数列的前n项和为 考点：等比数列的通项公式；数列的求和 ‎19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，平面底面， 为的中点， 是棱的中点,.‎ ‎（1）求证：;‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）连接交于，由平几知识可得为中点，而是棱的中点,因此由三角形中位线性质可得，再根据线面平行判定定理可得平面.（2）先根据面面垂直性质定理可得底面，而，所以底面，再根据割补法得，最后代入锥体体积公式即可.‎ 试题解析：（1）连接，因为，，所以四边形为平行四边形.‎ 连接交于，连接，则，‎ 又平面，平面，所以平面.‎ ‎（2），‎ 由于平面底面，底面，‎ 所以是三棱锥的高，且，‎ 由（1）知是三棱锥的高，，‎ 所以，则.‎ ‎20.随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了严重的影响.现调查了某市名居民的工作场所和呼吸系统健康，得到列联表如下：‎ 室外工作 室内工作 合计 有呼吸系统疾病 无呼吸系统疾病 合计 ‎（Ⅰ）补全列联表；‎ ‎（Ⅱ）你是否有的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关；‎ ‎（Ⅲ）现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中随机的抽取两人，求两人都有呼吸系统疾病的概率.‎ 临界值表：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（Ⅰ）列联表见解析；（Ⅱ）有的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关；（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据题中条件，直接完善列联表即可；‎ ‎（Ⅱ）根据公式，求出，与临界值表比较，即可得出结果；‎ ‎（Ⅲ）先由分层抽样得到样本中有呼吸系统疾病的抽人，记为A、B、C、D，无呼吸系统疾病的抽人，记为E、F；用列举法，写出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件个数比即为所求概率.‎ ‎【详解】（Ⅰ）列联表如下：‎ 室外工作 室内工作 合计 有呼吸系统疾病 ‎150‎ ‎200‎ ‎350‎ 无呼吸系统疾病 ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ 合计 ‎200‎ ‎300‎ ‎500‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，‎ 所以有的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关；‎ ‎（Ⅲ）采用分层抽样从室内工作的居民中抽取6名进行座谈；‎ 则有呼吸系统疾病的抽人，记为A、B、C、D，‎ 无呼吸系统疾病的抽人，记为E、F；‎ 从这6人中抽两人，有AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF 、CD、CE、CF、DE、DF、EF，共15种抽法；‎ ‎“从中随机的抽取两人，两人都有呼吸系统疾病”，有AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种情况；‎ 所以两人都有呼吸系统疾病的概率为.‎ ‎【点睛】本题主要考查完善列联表，计算，以及古典概型的问题，熟记独立性检验的思想，以及古典概型的概率计算公式即可，属于常考题型.‎ ‎21.如图，焦距为2的椭圆的两个顶点分别为和，且与共线.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与椭圆有两个不同的交点和，且原点总在以为直径的圆的内部，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）已知、得，利用与共线，求得，结合求出椭圆方程.‎ ‎（Ⅱ）直线方程与椭圆方程联解，‎ 得，，原点总在以为直径的圆内，得，即化简得，得求出范围 ‎【详解】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，由已知得、‎ ‎∴，∵与共线，∴，又 ‎∴，，∴椭圆的标准方程为；‎ ‎（Ⅱ）设，，把直线方程代入椭圆方程，‎ 消去，得，∴，‎ ‎，（*）‎ ‎∵原点总在以为直径圆内，∴，即 又 由得，依题意且满足（*）‎ 故实数的取值范围是 ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线的取值范围等基本知识与基本技能，以及数形结合、转化与化归的数学思想.意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力以及分析问题、解决问题的能力.‎ ‎22.已知函数定义域为，设.‎ ‎（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）求证：对于任意的，总存在，满足，并确定这样的的个数.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）∵，‎ 由或，由，‎ ‎∴在，上递增，在上递减，‎ 又∵在上为单调函数，则；‎ ‎（2）∵在，上递增，在上递减，∴在处取得极小值，‎ 又∵，而在上的最小值为，‎ 从而当时，，即；‎ ‎（3）∵，∴，即为，‎ 令，从而问题转化为证明方程在上有解，并讨论解的个数，‎ ‎∵，，‎ ‎∴①当或时，∴在上有解，且只有一解，‎ ‎②当时，且，又∵，‎ ‎∴在上有解，且有两解，‎ ‎③当时，或，∴在上有且只有一解，‎ 当时，或，‎ ‎∴在上也只有一解，‎ 综上所述，对任意的，总存在，满足，‎ 且当或时，有唯一的符合题意.‎ 考点：1.利用导数判断函数的单调性；2.根的存在性与根的个数判断.‎