2017-2018学年湖北省黄石市第三中学高二10月月考数学（文）试题

2017-2018学年湖北省黄石市第三中学高二10月月考数学（文）试题

‎2017-2018学年湖北省黄石市第三中学高二10月月考 ‎ 数学试卷（文科）‎ 一、选择题(本大题共12小题，共60分)‎ ‎1.下列命题是真命题的是（　　） A.“若x=2，则（x-2）（x-1）=0”   B.“若x=0，则xy=0”的否命题 C.“若x=0，则xy=0”的逆命题    D.“若x＞1，则x＞2”的逆否命题 ‎2.已知a∈R，b∈R，则“a＞b”是“”成立的（　　） A.充分不必要条件          B.必要不充分条件 C.充要条件             D.既不充分又不必要条件 ‎3. 已知圆的方程为x2+y2-4x+2y-4=0，则圆的半径为（　　）‎ A.3       B.9       C.      D.±3‎ 4. 已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）ex＞1，则￢p为（　　） A.∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1    ‎ B.∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1 C.∀x＞0，总有（x+1）ex≤1    ‎ D.∀x≤0，总有（x+1）ex≤1‎ ‎5. 已知命题p：∃x∈R，x2-x+1≥0．命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是（　　）‎ A.p∧q    B.p∧￢q   C.￢p∧q   D.￢p∧￢q ‎6.若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a-1）y+a2-1=0垂直，则a=（　　） A.2      B.     C.1      D.-2‎ ‎7.经过圆C：（x+1）2+（y-2）2=4的圆心且斜率为1的直线方程为（　　） A.x-y+3=0   B.x-y-3=0   C.x+y-1=0   D.x+y+3=0‎ ‎8.对于a∈R，直线（x+y-1）-a（x+1）=0恒过定点P，则以P为圆心，为半径的圆的方程是（　　） ‎ A. x2+y2+2x+4y=0          B.x2+y2+2x-4y=0 C.x2+y2-2x+4y=0           D.x2+y2-2x-4y=0‎ ‎9.过圆x2+y2-4x+my=0上一点P（1，1）的圆的切线方程为（　　） A.2x+y-3=0   B.2x-y-1=0   C.x-2y-1=0   D.x-2y+1=0‎ ‎10.已知点M是直线3x+4y-2=0上的动点，点N为圆（x+1）2+（y+1）2=1上的动点，则|MN|的最小值为（　　） A.      B.1      C.       D.‎ ‎11.已知点P（x，y）的坐标满足x2+y2-2y=0，则的取值范围是（　　） A.  B.或 ‎ C.  D.或 ‎12.已知圆M：x2+y2-2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：（x-1）2+（y-1）2=1的位置关系是（　　） A.内切     B.相交     C.外切     D.相离 二、填空题(本大题共4小题，共20分)‎ ‎13.命题“若a=-1，则a2=1”的逆否命题是 ______ ．‎ ‎14.已知命题，命题q：x2-（2a+1）x+a（a+1）≤0，若¬p是¬q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是 ______ ．‎ ‎15.由直线y=x+1上一点向圆x2-6x+y2+8=0引切线，则切线长的最小值为 ______ ．‎ ‎16.若直线ax-by+1=0平分圆C：x2+y2+2x-4y+1=0的周长，则ab的取值范围是 ______ ．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分)‎ ‎17.已知圆心为C的圆经过三个点O（0，0）、A（1，3）、B（4，0） （1）求圆C的方程； （2）求过点P（3，6）且被圆C截得弦长为4的直线的方程． ‎ ‎18.命题p：方程x2-x+a2-6a=0有一正根和一负根． 命题q：函数y=x2+（a-3）x+1的图象与x轴有公共点．若命题“p∨q”为真命题，而命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围． ‎ ‎19.已知曲线C的方程是：x2+y2-2x-4y+m=0，点P（3，-1）． （1）若m=1，直线l过点P且与曲线C只有一个公共点，求直线l的方程； （2）若曲线C表示圆且被直线x+2y+5=0截得的弦长为2，求实数m的值． ‎ ‎20.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱BB1上，且A1F⊥B1D，求证： （Ⅰ）直线DE∥平面A1C1F； （Ⅱ）B1D⊥平面A1C1F． ‎ ‎21. 设p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0，其中a≠0，命题q：实数x满足 （1） 若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围． ‎ ‎ ‎ ‎22.已知圆C：（x+2）2+y2=5，直线l：mx-y+1+2m=0，m∈R．‎ ‎（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B；‎ ‎（2）求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；‎ ‎（3）是否存在实数m，使得圆C上有四点到直线l的距离为？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． ‎ 黄石三中高二年级文科10月月考试卷 答案和解析 ‎【答案】 1.A    2.D    3.C    4.B    5.C    6.B    7.A    8.B    9.D    10.C    11.B    12.B     13.“若a2≠1，则a≠-1” 14.‎ ‎ 15. 16. 17.解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0． 圆C经过三个点O（0，0）A（1，3）B（4，0）， 所以 解得D=-4，E=-2，F=0， 所以圆C的方程x2+y2-4x-2y=0． （2）①过点P（3，6）且被圆C截得弦长为4的直线的斜率不存在，此时x=3，满足题意． ②当过点P（3，6）且被圆C截得弦长为4的直线的斜率存在时设为k， 直线方程为y-6=k（x-3）． 则，解得k=，所求直线方程为：12x-5y-6=0． 故所求直线方程为：x=3或12x-5y-6=0． 18.解：若方程x2-x+a2-6a=0有一正根和一负根，则，解得0＜a＜6． 即p：0＜a＜6． 若函数y=x2+（a-3）x+1的图象与x轴有公共点．则判别式△≥0， 即（a-3）2-4≥0，解得a≥5或a≤1． 即q：a≥5或a≤1． 命题“p∨q”为真命题，而命题“p∧q”为假命题， 则命题p，q为一真，一假． 若p真q假，则1＜a＜5． 若p假q真，则a≥6或a≤0． 综上实数a的取值范围是a≥6或a≤0或1＜a＜5． 19.解：（1）m=1时，曲线C的方程是：（x-1）2+（y-2）2=4， 表示圆心为（1，2），半径为2的圆， ∵直线l过点P且与曲线C只有一个公共点，∴直线l与圆相切． ①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=3． ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x-3）-1．即kx-y-3k-1=0． ‎ ‎⇒k=-，直线l的方程为：5x+12y-3=0． 综上所述所求直线l的方程为：x=3，5x+12y-3=0． （2）曲线C的方程配方得：（x-1）2+（y-2）2=5-m，若方程表示圆则5-m＞0⇒m＜5． 圆心到直线x+2y+5=0距离d=， 根据圆的弦长公式2，⇒2，⇒m=-20 20.证明：（Ⅰ）∵D，E分别为AB，BC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥AC， ∵ABC-A1B1C1为棱柱， ∴AC∥A1C1， ∴DE∥A1C1， ∵A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F， ∴DE∥平面A1C1F； （Ⅱ）由题意，A1C1⊥平面A1B，B1D⊂平面A1B， ∴B1D⊥A1C1， ∵A1F⊥B1D，A1F∩A1C1=A1， ∴B1D⊥平面A1C1F． 21.解：（1）由x2-4ax+3a2＜0，得（x-3a）（x-a）＜0， 当a=1时，解得1＜x＜3，即p为真时，实数x的取值范围是1＜x＜3，…（1分） 由，得2＜x≤3，即q为真时，实数x的取值范围是2＜x≤3，…（3分） 若p∧q为真，则p真且q真，…（4分） ∴实数x的取值范围是（2，3）．…（5分） （2）p是q的必要不充分条件，即q⇒p，且p推不出q， 设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，则A⊉B，…（7分） 又B=（2，3]，当a＞0时，A=（a，3a）；a＜0时，A=（3a，a）， ∴当a＞0时，有，解得1＜a≤2；…（9分） 当a＜0时，A∩B=∅，不合题意； ∴实数a的取值范围是（1，2]．…（10分）‎ ‎ 22.解：（1）圆C：（x+2）2+y2=5，的圆心为C（-2，0），半径为，所以圆心C到直线l：mx-y+1+2m=0的距离． 所以直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同的交点；…（4分） （2）设中点为M（x，y），因为直线l：mx-y+1+2m=0恒过定点（-2，1）， 当直线l的斜率存在时，，又，kAB•kMC=-1， 所以，化简得．…（6分） 当直线l的斜率不存在时，中点M（-2，0）也满足上述方程．…（7分） 所以M的轨迹方程是，它是一个以为圆心，以为半径的圆．…（8分） （3）假设存在直线l，使得圆上有四点到直线l的距离为，由于圆心C（-2，0），半径为，则圆心C（-2，0）到直线l的距离为 化简得m2＞4，解得m＞2或m＜-2．…（12分） 【解析】 1. 解：对于A，若x=2，则（x-2）（x-1）=0显然成立，A正确． 对于B，“若x=0，则xy=0”的否命题是：“若x≠0，则xy≠0”，当y=0时，xy=0，∴B不正确； 对于C，“若x=0，则xy=0”的逆命题：“若xy=0，则x=0”，也可能是y=0，∴C不正确； 对于D，“若x＞1，则x＞2”的逆否命题，∵原命题与逆否命题有相同的真假性，原命题显然不正确，∴D不正确； 故选：A． 利用函数的零点判断A的正误；通过命题的否命题，判断B的正误；判断命题的逆命题的真假判断C的正误；利用原命题的真假与逆否命题的真假相同判断D的正误； 本题考查命题的真假的判断，考查函数的零点，四种命题的真假关系，基本知识的应用． 2. 解：令a=1，b=-1，则a＞b，而＞，不是充分条件， 若，即＜0， ∴或， ‎ ‎ 即a，b同号时：a＞b，a，b异号时：a＜b， 不是必要条件， 故选：D． 根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可． 本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题． 3. 解：圆x2+y2-4x+2y-4=0，即（x-2）2+（y+1）2=9， 故此圆的半径为3， 故选：A． 圆x2+y2-4x+2y-4=0，即（x-2）2+（y+1）2=9，由此可得圆的半径．本题主要考查把圆的一般方程化为标准方程，求圆的半径，属于中档题． 4. 解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1， 故选：B． 据全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定． 本题主要考查了全称命题的否定的写法，全称命题的否定是特称命题． 5. 解：命题p：∃x=0∈R，使x2-x+1≥0成立． 故命题p为真命题； 当a=1，b=-2时，a2＜b2成立，但a＜b不成立， 故命题q为假命题， 故命题p∧q，￢p∧q，￢p∧￢q均为假命题； 命题p∧￢q为真命题， 故选：B． 先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假的真值表，可得答案．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，难度中档． 6. 解：直线l1：ax+2y+6=0， l2：x+（a-1）y+a2-1=0， 且l1⊥l2， ∴a•1+2（a-1）=0； 解得：a=． 故选：B． 根据直线l1与l2垂直，A1•A2+B1•B2=0，列出方程求出a的值．‎ ‎ 本题考查了直线方程的应用问题，考查了两条直线互相垂直的应用问题，是基础题目． 7. 解：由题意知，直线过点（-1，2），斜率为1，代入点斜式得，y-2=x+1， 即直线方程为x-y+3=0． 故选A． 由题意先求出圆心C的坐标，再代入点斜式方程，再化为一般式方程． 本题重点考查了直线的点斜式方程，最后要化为一般式方程，这是容易忽视的地方． 8. 解：联解，可得x=-1，y=2∴直线（x+y-1）-a（x+1）=0恒过定点P（-1，2） 因此以P为圆心，为半径的圆的方程是（x+1）2+（y-2）2=5化成一般式可得x2+y2+2x-4y=0故选：B 联解直线x+y-1=0与x+1=0的方程，可得直线（x+y-1）-a（x+1）=0恒过定点P（-1，2）．由圆的标准式方程，写出圆的方程再化成一般式方程，可得本题答案． 本题给出直线经过定点P，求以P为圆心且为半径的圆．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题． 9. 解：∵圆x2+y2-4x+my=0上一点P（1，1）， 可得1+1-4+m=0，解得m=2，圆的圆心（2，-1），过（1，1）与（2，-1）直线斜率为-2， ∴过（1，1）切线方程的斜率为， 则所求切线方程为y-1=（x-1），即x-2y+1=0． 故选：D． 求出圆的方程，求出圆心与已知点确定直线方程的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1求出过此点切线方程的斜率，即可确定出切线方程． 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，找出切线方程的斜率是解本题的关键． 10. 解：∵圆心（-1，-1）到直线3x+4y-2=0的距离d==，r=1， ∴|MN|min=d-r=-1=． 故选C． 求出圆心到直线的距离d，由d-r即可求出|MN|的最小值． 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，根据题意得出d-r为|MN|最小值是解本题的关键．‎ ‎ 11. 解：由题意可得，点P（x，y）在圆C：x2+（y-1）2=1上，而表示圆上的点（x，y）与点M（0，-1）连线的斜率， 如图所示： 设MA MB和圆C相切，切点分别为A，B，由于半径CA=1， MC=2，∴∠CMA=∠CMB=30°， 故MA的斜率为tan60°=，MB的斜率为tan（90°+30°）=-， ∴μ≥，或μ≤-， 故选：B． 由题意得，点P（x，y）在圆C：x2+（y-1）2=1上，而表示圆上的点（x，y）与点M连线的斜率，如图，根据半径CA=1，MC=2，可得∠CMA=∠CMB=30°，可得MA的斜率和MB的斜率，从而求得μ的范围． 本题主要考查斜率公式、直线和圆的位置关系，体现了数形结合的数学思想，属于中档题． 12. 解：圆的标准方程为M：x2+（y-a）2=a2（a＞0）， 则圆心为（0，a），半径R=a， 圆心到直线x+y=0的距离d=， ∵圆M：x2+y2-2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2， ∴2=2， ∴a=， 则圆心为M（0，），半径R=， 圆N：（x-1）2+（y-1）2=1的圆心为N（1，1），半径r=1， 则MN=， ∵R+r=+1，R-r=-1， ∴R-r＜＜R+r， 即两个圆相交． 故选：B． 根据直线与圆相交的弦长公式，求出a的值，结合两圆的位置关系进行判断即可． 本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a 的值是解决本题的关键． 13. 解：命题的逆否命题为“若a2≠1，则a≠-1”， 故答案为“若a2≠1，则a≠-1” 根据逆否命题的定义进行求解即可． 本题主要考查逆否命题的求解，根据四种命题之间的关系是解决本题的关键． 14. 解：命题q等价于：（x-a）[x-（a+1）]≤0解得：a≤x≤a+1另：¬p是¬q的必要而不充分条件等价于q是p的必要而不充分条件 即p⊆q，q⊊p 故，解得 根据原命题与其逆否命题等价；再由小集合推出大集合求解． 此题要灵活掌握命题间的关系，准确求解二次不等式．因式分解解二次不等式是首选思路． 15. 解：将圆方程化为标准方程得：（x-3）2+y2=1， 得到圆心（3，0），半径r=1， ∵圆心到直线的距离|AB|=d==2， ∴切线长的最小值|AC|==． 故答案为． 将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径r，求出圆心到直线y=x+1的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可． 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键． 16. 解：∵直线ax-by+1=0平分圆C：x2+y2+2x-4y+1=0的周长， ∴直线ax-by+1=0过圆C的圆心（-1，2）， ∴有a+2b=1， ∴ab=（1-2b）b=-2（b-）2+≤， ∴ab的取值范围是． 故答案为：． 依题意知直线ax-by+1=0过圆C的圆心（-1，2），故有a+2b=1，再利用ab=（1-2b）b=-2（b-）2+，求得ab的取值范围．‎ ‎ 本题主要考查直线和圆的位置关系，配方法的应用，属于基础题． 17. （1）设出圆的一般式方程，利用圆上的三点，即可求圆C的方程； （2）通过过点P（3，6）且被圆C截得弦长为4的直线的斜率不存在推出方程判断是否满足题意；直线的斜率存在是利用圆心距与半径的关系，求出直线的斜率，即可解得直线的方程． 本题考查圆的一般式方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力． 18. 先求出命题p，q的等价条件，然后利用命题“p∨q”为真命题，而命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围． 本题主要考查复合命题与简单命题的真假关系的应用，要求熟练掌握． 19. （1）m=1时，曲线C表示圆，直线l过点P且与曲线C只有一个公共点，即直线l与圆相切， ①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=3． ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x-3）-1．由圆心到直线距离等于半径求得k． （2）曲线C的方程配方得：（x-1）2+（y-2）2=5-m，若方程表示圆则m＜5． 根据圆的弦长公式2，⇒m的值． 本题考查了圆的方程、直线与圆的位置关系，弦长公式，属于中档题． 20. （Ⅰ）通过证明DE∥AC，进而DE∥A1C1，据此可得直线DE∥平面A1C1F1； （Ⅱ）证明B1D⊥A1C1，利用A1F⊥B1D，A1F∩A1C1=A1，即可证明B1D⊥平面A1C1F． 本题考查线面平行、垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键． 21. （1）由x2-4ax+3a2＜0，得（x-3a）（x-a）＜0，p为真时，实数x的取值范围是1＜x＜3，q为真时，实数x的取值范围是2＜x≤3，p∧q为真，则p真且q真，由此能求出实数x的取值范围． （2）p是q的必要不充分条件，设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，则A⊉B，由此能求出实数a的取值范围．‎ ‎ 复合命题p∧q的真假由命题p，q共同决定，当两命题中有一个是真命题时复合后为真命题，由若p是q的必要不充分条件可得集合p是集合q的真子集． 22. （1）圆心C到直线l：mx-y+1+2m=0的距离，可得：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B； （2）设中点为M（x，y），利用kAB•kMC=-1，即可求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线； （3）利用圆心C（-2，0）到直线l的距离为，求出m的范围． 本题考查点到直线的距离公式，直线的一般式方程，轨迹方程，直线和圆的方程的应用，考查转化思想，考查分析问题解决问题的能力，计算能力，是中档题． ‎ ‎ ‎