2017-2018学年湖南省醴陵市第一中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年湖南省醴陵市第一中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年湖南省醴陵市第一中学高二上学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，那么（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】,是大于等于的自然数组成的集合，‎ 故答案选 ‎2．命题“，”的否定是（ ）‎ A. 存在使 B. 不存在使 C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】对命题“”的否定是：，”‎ 对命题“，”的否定是：“，”‎ 故答案选 ‎3．若，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵， ， ，‎ ‎∴．故选．‎ 点晴：本题考查的是指数式，对数式的大小比较。解决本题的关键是利用指、对数函数的单调性比较大小，当指、对函数的底数大于0小于1时，函数单调递减，当底数大于1时，函数单调递增；另外由于指数函数过点（0，1），对数函数过点（1，0），所以还经常借助特殊值0,1比较大小 ‎4．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩，已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则的值分别为（ ）‎ A. 2，5 B. 5，5 C. 5，8 D. 8，8‎ ‎【答案】C ‎【解析】由甲组数据的中位数为，可得未知数据应为，即；乙组数据的平均数为，即，解得，故选C.‎ ‎5．执行如图的程序框图，那么输出的的值是（ ）‎ A. B. C. 2 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得：初如值S=2,k=2015,‎ S=-1,k=2016<2018‎ S=,k=2017<2018‎ 输出2,选C.‎ ‎6．为了得到函数的图像，可以将函数的图像 A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：∵ ，∴可以将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象．‎ ‎【考点】函数图象的平移．‎ ‎7．已知两等差数列前项和分别为，若，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题关键是要熟练掌握等差数列的求和公式，利用整体代换思想构造.‎ ‎8．如图，函数（，）的图象过点，则的函数解析式为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得A=2,f(0)=由所以，，选B.‎ ‎9．若直线 始终平分圆的周长，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由圆的方程，得圆心坐标为： ，‎ 因直线始终平分圆的周长，则直线必过点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即，当且仅当时，等号成立，‎ ‎∴的取值范围是： ，故选．‎ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎10．函数的图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数,可以知道函数的图象关于对称，故排除,当时，，，函数的图象在轴下方，故排除 故答案选 ‎11．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】若函数 在 上单调递减， 则 解得， 即 选B ‎12．设和分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点，使，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】点在双曲线上，且 由双曲线的定义知 在中，由余弦定理得：‎ 解得 故答案选 点睛：根据题目意思，结合双曲线定义可以求出，再由余弦定理求得，由此可以求出双曲线的离心率 二、填空题 ‎13．设向量，，且，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,‎ 解得 ‎14．设变量满足约束条件： ，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】8.‎ ‎【解析】 ‎ 作出约束条件所对应的可行域（如图），而表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得最大距离为或， 的最大值为，故答案为.‎ ‎15．如下图，在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图都是边长为2的等边三角形，左视图是等腰直角三角形，那么这个几何体外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】几何体为一个三棱锥，如图，高为，底面为边长为2正三角形，因此外接球的半径等于 ，表面积为 ‎ ‎16．已知抛物线焦点为，直线过焦点且与抛物线交于两点， 为抛物线准线上一点且，连接交轴于点，过作于点，若，则__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】设 ，直线的方程为 代入抛物线方程可得 ‎ 可得 ‎ 联立可得 ‎ 故答案为．‎ 点睛：本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．设：实数满足，其中； ：实数满足.‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 实数的取值范围是;(2) 实数的取值范围是.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式的解法可化简命题p，q，若p∨q为真，则p，q至少有1个为真，即可得出；（2）根据p是q的必要不充分条件，即可得出．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，‎ 又a＞0，所以a＜x＜3a，‎ 当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．‎ q为真时等价于（x﹣2）（x﹣3）＜0，得2＜x＜3，‎ 即q为真时实数x的取值范围是2＜x＜3．‎ 若p∨q为真，则实数x的取值范围是1＜x＜3．‎ ‎（2）p是q的必要不充分条件，等价于q⇒p且p推不出q，‎ 设A={x|a＜x＜3a}，B={x|2＜x＜3}，则B⇐A；‎ 则，‎ 所以实数a的取值范围是1≤a≤2。‎ 点睛：“命题是命题的充分不必要条件”与“命题的充分不必要条件是命题”‎ ‎18．某校从高一年级学生中随机抽取40名中学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： ， ，…， ，得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求图中实数的值；‎ ‎（2）若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；‎ ‎（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 高一年级数学成绩不低于60分的人数约为人;(3) 这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据图中所有小矩形的面积之和等于1建立关于a的等式，解之即可求出所求； （2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求； （3）成绩在[40，50）分数段内的人数，以及成绩在[90，100]分数段内的人数，列出所有的基本事件，以及两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10‎ 的基本事件，最后利用古典概型的概率公式解之即可．‎ 试题解析：‎ ‎(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1.‎ 解得a=0.03‎ ‎ (2)根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为1−10×(0.005+0.01)=0.85由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人 ‎ ‎(3)成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05=2人,分别记为A,B，成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1=4人,分别记为C,D,E,F.‎ 若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有：(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共15种.…(9分)‎ 如果两名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内,另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.‎ 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M,则事件M包含的基本事件有：(A,B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共7种.所以所求概率为P(M)= .‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎19．在中，角所对的边分别为，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若边长，求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由正弦定理得到，又，从而求出角；（2）由余弦定理得，利用基本不等式得，求出最大值，进一步得到面积最大值。‎ 试题解析：‎ ‎（1），得，即 ‎，得，‎ ‎（2），即， ，‎ ‎，即（当时等号成立），‎ 点睛：解三角形是高考中的基本题型，学生需完全掌握，不失分。第一小题考察正余弦定理的基本应用，中间还考察了三角形中的三角函数转换；第二小题考察最值问题，本题采用余弦定理结合基本不等式来解决问题，也可采用正弦定理结合三角函数性质来解决最值问题。‎ ‎20．如图所示， 矩形所在的平面， 分别是的中点.‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求证： .‎ ‎（3）当满足什么条件时，能使平面成立？并证明你的结论.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)见解析；（3）当满足时，能使平面成立.证明见解析。‎ ‎【解析】试题分析：（1）取的中点，连结，证明四边形是平行四边形，可得，利用线面平行的判定，即可得出结论；（2）由线面垂直得，由矩形性质得，由线面垂直的判定定理可得平面，由此能证明；（3）当满足时，能使平面成立，可利用等腰三角形的性质以及线面垂直的判定定理证明.‎ 试题解析：（ ）证明：取的中点，连接， ．‎ ‎∵， 分别是， 中点，‎ ‎∴，‎ 又∵， 是中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴,‎ ‎∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴．‎ ‎∵平面， 平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（）∵平面，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴，‎ 又∵‎ ‎∴．‎ ‎（）当满足时，能使平面成立，‎ 现证明如下：‎ ‎∵， 是中点，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 由（）可知，‎ ‎∴平面．‎ 故当满足时，能使平面成立．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、直线和平面垂直的性质定理与判定定理，属于难题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.‎ ‎21．已知数列满足， ，其中.‎ ‎（1）设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得 对于恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 的最小值为3.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用递推公式即可得出为一个常数，从而证明数列是等差数，再利用等差数列的通项公式即可得到，进而得到；（2）利用（1）的结论，利用“裂项求和”即可得到，要使得对于恒成立，只要，即，解出即可.‎ 试题解析：（1）证明： ，‎ 所以数列是等差数列，‎ ‎，因此，‎ 由.‎ ‎（2）由，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为，所以恒成立，‎ 依题意要使对于，恒成立，只需，且 解得， 的最小值为.‎ ‎【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②‎ ‎；③；‎ ‎④ ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ ‎22．已知椭圆： （）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆与直线相切.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点为动直线与椭圆的两个交点，问:在轴上是否存在定点,使得为定值？若存在，试求出点的坐标和定值；若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由，以原点为圆心，椭圆的长半轴为半径与直线相切，求出的值，由此可求出椭圆的方程；‎ ‎（2）由得，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在轴上存在点，使为定值，定点为。‎ 试题解析：（Ⅰ）由，得，即，①‎ 又以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆为，‎ 且圆与直线相切，‎ 所以，代入①得，‎ 则.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）由得，且 设，则，‎ 根据题意，假设轴上存在定点，使得为定值，则有 要使上式为定值，即与无关，则应，‎ 即，此时为定值，定点为.‎ 点睛：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的综合应用，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中把直线方程与椭圆方程联立，转化为方程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答的关键。‎