广东省湛江市2020届高三普通高考测试(一)数学(理)试题 Word版含解析

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

广东省湛江市2020届高三普通高考测试(一)数学(理)试题 Word版含解析

www.ks5u.com 湛江市2020年普通高考测试(一)‎ 理科数学 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合,再求出,根据交集定义即可求得.‎ ‎【详解】由,解得或,‎ 或.‎ 由,解得,‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查的是集合的交集,补集的运算,以及分式、绝对值不等式,以及对数不等式的求解,是基础题.‎ - 27 -‎ ‎2. 已知复数满足(是虚数单位),则的最大值为( )‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数的几何意义可知对应的轨迹,从而得到的最大值.‎ ‎【详解】由复数的模的几何意义可知,‎ 复数在复平面内对应的点的轨迹为:以为圆心,以2为半径的圆的内部(包括圆周).‎ 而表示点到点的距离,‎ 所以当点为时,最大,‎ 故的最大值是.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查的是复数模的求法,考查了复数模的几何意义,体现了数形结合的解题思想方法,是基础题.‎ ‎3. 已知,,,则,,的大小关系是( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对数运算,指数运算,即可容易判断.‎ ‎【详解】∵,,,‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ - 27 -‎ ‎∴.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查指数运算和对数运算,属综合基础题。‎ ‎4. 已知直线,平面,则是的 ( )‎ A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为直线时不一定平行,而时平面内任意直线都平行平面,即,因此是的必要但不充分条件,选B.‎ ‎5. 已知,,则向量在方向上的投影为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得的坐标,利用向量的坐标即可求得结果.‎ ‎【详解】∵,,∴.‎ ‎∴,.‎ ‎∴向量在方向上的投影为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查向量的坐标运算,涉及数量积的坐标运算,属综合基础题.‎ ‎6. 已知,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ - 27 -‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件以及,解得,再利用二倍角公式即可化简求得结果.‎ ‎【详解】,且,‎ ‎,解得.又,‎ ‎.‎ ‎,,‎ ‎.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查的是同角三角函数基本关系式,二倍角公式在三角函数化简求值中的应用,是基础题.‎ ‎7. 已知函数,若在为增函数,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合函数的单调性可知在在上为增函数,且,从而列出不等式组,即可得实数的取值范围.‎ ‎【详解】在上为增函数,且函数在上为增函数,‎ 在上为增函数,且.‎ - 27 -‎ 当时,在上为减函数,不符合题意,故.‎ 当时,‎ ‎,解得.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查的是对数函数,二次函数的单调性以及复合函数单调性的判断方法,要注意先考虑函数的定义域,是中档题.‎ ‎8. “岂曰无衣,与子同袍”,“山川异域,风月同天”.自新冠肺炎疫情爆发以来,全国各省争相施援湖北.截至3月初,山西省共派出13批抗疫医疗队前往湖北,支援抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情.某医院组建的由7位专家组成的医疗队,按照3人、2人、2人分成了三个小组,负责三个不同病房的医疗工作,则不同的安排方案共有( )‎ A. 105种 B. 210种 C. 630种 D. 1260种 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分步计数原理,先将7人按照3人、2人、2人分成了三个小组,再安排到不同的病房,‎ ‎【详解】7人分成三个小组并安排到不同病房工作,‎ 有种方法.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查的是分步计数原理的应用,以及平均分组的问题,考查学生的分析问题解决问题的能力,是中档题.‎ ‎9. 点的坐标满足直线经过点,则实数的最大值为( )‎ - 27 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应平面区域,利用实数的几何意义即可得到实数的最大值.‎ ‎【详解】‎ 根据线性约束条件画出可行域,得到如图所示的三角形区域.直线的方程可化为,‎ 当直线在轴上的截距最小时,实数取得最大值.‎ 在图中作出直线并平移,使它与图中的阴影区域有公共点,且在轴上的截距最小.‎ 由图可知,当直线过点时,截距最小.‎ 由,求得,‎ 代入到中,解得,‎ 即.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查的是线性规划的应用,解题的关键是画出不等式组对应可行域,以及实数的几何意义,是基础题.‎ ‎10. 如图,,是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线左、右两支分别交于点,.若,为的中点,且,则双曲线的离心率为( ).‎ - 27 -‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的定义,结合几何关系,用表示出三角形的三条边,由余弦定理即可求得结果.‎ ‎【详解】连接,,设,则由已知可得.‎ ‎∵,为双曲线上的点,‎ ‎∴,.‎ ‎∵为的中点,且,‎ ‎∴.∴.∴.‎ ‎∴,,.‎ ‎∵在直角中,.‎ ‎∴.‎ ‎∴.∴.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率的求解,涉及双曲线的定义,属中档题.‎ - 27 -‎ ‎11. 在三棱柱中,平面,,则三棱柱的外接球的体积与三棱柱的体积之比为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求出三棱柱的外接球半径,从而得出球的体积,再求出三棱柱的体积,即可得出它们的比.‎ ‎【详解】‎ 如图,为三棱柱上、下底面的中心,为的中点,‎ 连接,则为三棱柱外接球的球心,为外接球半径.‎ 在直角中,易求得,,‎ ‎..‎ 又,‎ ‎.‎ 故选:C.‎ - 27 -‎ ‎【点睛】本题主要考查的是空间几何体的结构和空间几何体的体积,解题的关键是根据外接球性质找到外接球的球心,是中档题.‎ ‎12. 已知函数的图象与轴的两个相邻交点的横坐标为,下面4个有关函数的结论:‎ ‎①函数的图象关于原点对称;‎ ‎②在区间上,的最大值为;‎ ‎③是的一条对称轴;‎ ‎④将的图象向左平移个单位,得到的图象,若为两个函数图象的交点,则面积的最小值为.‎ 其中正确的结论个数为( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求出函数的表达式,再根据选项要求一一判断即可.‎ ‎【详解】,.将代入,‎ 得.又,.‎ ‎.‎ 不是奇函数.‎ - 27 -‎ 的图象不关于原点对称,①错;‎ 当时,,‎ 由的单调性可知:,即的最大值为,②对;‎ 由,得的对称轴方程为,‎ 不是的对称轴,③错;‎ ‎,由,得,,相邻两个交点的横坐标之差为,‎ 将代入,得到交点的纵坐标为,‎ 面积的最小值为,④对.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查的是三角函数模型的性质和应用,以及三角函数图像平移问题,解题的关键是熟练掌握三角函数模型的性质,是中档题.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13. 一组样本数据10,23,12,5,9,,21,,22平均数为16,中位数为21,则________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平均数的求解,即可求得的关系式,根据中位数的大小,即可容易求得,则问题得解.‎ - 27 -‎ ‎【详解】∵数据的平均数为16,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵,且数据的中位数为21,‎ ‎∴,.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查一组数据的平均数和中位数的求解,属基础题.‎ ‎14. 2019国际乒联世界巡回赛男子单打决赛在甲、乙两位选手间进行,比赛实行七局四胜制(先获得四局胜利的选手获胜),已知每局比赛甲选手获胜的概率是,且前五局比赛甲领先,则甲获得冠军的概率是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意甲要获得冠军,则甲要么以夺冠,要么以夺冠,分别求出,即可得甲获得冠军的概率.‎ ‎【详解】每局比赛甲选手获胜概率是,且前五局比赛甲领先,‎ 甲以夺冠的概率为,甲以夺冠的概率为.‎ 甲最终夺冠的概率为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查的是相互独立事件的概率乘法公式的应用,体现了分类讨论的数学思想,是基础题.‎ ‎15. 已知分别为三个内角的对边,,且.若分别为边的中点,且为的重心,则面积的最大值为______.‎ - 27 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理,余弦定理求得,可得面积的最大值,再根据题意及平面几何知识可得,从而得到面积的最大值.‎ ‎【详解】由,根据正弦定理,‎ 可得,.‎ 由余弦定理可知,,‎ 分别为边的中点,且为的重心,‎ 由平面几何知识可知,.‎ 面积的最大值为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查的是解三角形中的正余弦定理,三角形面积公式,牢记三角形面积公式以及在实际中的应用,是中档题.‎ ‎16. 在平面直角坐标系中,为坐标原点,是抛物线的焦点,过的直线与抛物线交于,两点,若,则的面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,设出直线的方程,联立抛物线方程,由焦点弦公式即可容易求得,结合点到直线的距离公式,即可容易求得结果.‎ - 27 -‎ ‎【详解】由已知,不妨设,,,.‎ 若直线斜率不存在,,与已知矛盾;‎ 则直线斜率存在,设,‎ 与抛物线联立,得,‎ 则,.‎ 由抛物线的定义,焦点弦长 ‎.‎ ‎∴,∴点到直线的距离为,‎ ‎∴.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查由抛物线焦点弦求直线方程,以及求抛物线中三角形面积,属中档题.‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共60分.‎ ‎17. 已知为数列的前项和,且.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若数列满足,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1).(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据,,,求得;‎ - 27 -‎ ‎(2)由(1)可得,再利用错位相减法求得数列的前项和.‎ ‎【详解】(1),.‎ ‎.‎ 数列是以为首项,以为公比的等比数列.‎ ‎.‎ ‎(2),‎ ‎.‎ ‎.①‎ ‎.②‎ ‎,得 ‎.‎ - 27 -‎ ‎【点睛】本题主要考查是数列通项公式的求法以及数列求和的常用方法,错位相减法求和的方法的应用,考查学生的分析和计算能力,是中档题.‎ ‎18. 如图1,在中,,,为的中点,将沿折起,得到如图2所示的三棱锥,二面角为直二面角.‎ ‎ ‎ ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)设分别为的中点,求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)通过计算证明出二面角为直二面角,即可证明平面平面;‎ ‎(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量法求平面的法向量和平面的法向量,利用向量数量积可得二面角的余弦值.‎ ‎【详解】(1)证明:在中,,‎ 为的中点,.‎ 又,..‎ ‎,.‎ 二面角为直二面角,平面平面.‎ 平面.‎ - 27 -‎ 又平面,平面平面.‎ ‎(2)以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,过点且垂直于平面的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 可求得,,,.‎ 分别为的中点,‎ ‎,.‎ ‎,,‎ 设平面的法向量为,‎ 由得令,则.‎ 设平面的法向量为,‎ 由得令,则.‎ ‎,‎ 二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查的是面面垂直的判定,利用向量法求二面角的余弦值,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用,考查学生的计算能力,是中档题.‎ ‎19.‎ - 27 -‎ ‎ 我国全面二孩政策已于2016年1月1日起正式实施.国家统计局发布的数据显示,从2012年到2017年,中国的人口自然增长率变化始终不大,在5‰上下波动(如图).‎ ‎ ‎ 为了了解年龄介于24岁至50岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何,统计部门按年龄分为9组,每组选取150对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数,得到下表:‎ 年龄区间 有意愿数 ‎80‎ ‎81‎ ‎87‎ ‎86‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎83‎ ‎70‎ ‎66‎ ‎(1)设每个年龄区间的中间值为,有意愿数为,求样本数据的线性回归直线方程,并求该模型的相关系数(结果保留两位小数);‎ ‎(2)从,,,,这五个年龄段中各选出一对夫妻(能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿)进一步调研,再从这5对夫妻中任选2对夫妻.求其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率.‎ ‎(参考数据和公式:,,‎ - 27 -‎ ‎,,,)‎ ‎【答案】(1).-0.63(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意,结合参考数据和公式,代值计算即可求得结果;‎ ‎(2)列举出所有选取的结果,找出满足题意的选取结果,根据古典概型的概率计算公式即可求得.‎ ‎【详解】解:(1)由题意可求得:,,,‎ ‎,,‎ ‎∴.‎ 又∵,‎ ‎,‎ ‎∴.‎ ‎∴.∴.‎ ‎∴回归直线方程为.‎ ‎∴. ‎ ‎(2)由题意可知,在,,年龄段中,‎ - 27 -‎ 超过半数的夫要有生育二孩意愿,在,年龄段中,‎ 超过半数的夫妻没有生育二孩意愿.‎ 设从,,年龄段中选出的夫妻分别为,,,‎ 从,年龄段中选出的夫妻分别为,. ‎ 则从中选出2对夫妻的所有可能结果为,,,,‎ ‎,,,,,,共10种情况.‎ 其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的情况有,,,,‎ ‎,,共6种. ‎ ‎∴恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率.‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程、回归系数的计算,涉及古典概型的概率求解,计算量相对较大,需认真计算即可.‎ ‎20. 已知原点到动直线的距离为2,点到,的距离分别与到直线的距离相等.‎ ‎(1)证明为定值,并求点的轨迹方程;‎ ‎(2)是否存在过点的直线,与点的轨迹交于两点,为线段的中点,且?若存在,请求出直线的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)见解析,.(2)见解析,或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意易证为定值,由,判定的轨迹为中心在原点,以为焦点的椭圆,根据椭圆定义可得椭圆方程;‎ ‎(2)根据题意知直线的斜率存在,设出直线方程,与椭圆联立,由得出的取值范围,再由推得,有韦达定理即可得出直线的方程.‎ ‎【详解】(1)设点到直线的距离分别为.‎ - 27 -‎ 由已知,,,‎ 又为的中点,‎ ‎.‎ 由椭圆定义可知,点的轨迹为中心在原点,以为焦点的椭圆.‎ ‎,..‎ 点的轨迹方程为.‎ ‎(2)假设直线存在,当的斜率不存在时,显然不成立 设,,.‎ 由得 ‎,或.‎ ‎,.‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎.‎ - 27 -‎ ‎.‎ ‎.‎ 解得或.‎ ‎,且,‎ 存在直线满足条件,直线的方程为或,即或.‎ ‎【点睛】本题主要考查的是椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,直线与椭圆联立,利用韦达定理是解题的关键,是中档题.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎(1)设,当时,求函数的单调减区间及极大值;‎ ‎(2)设函数有两个极值点,‎ ‎①求实数的取值范围;‎ ‎②求证:.‎ ‎【答案】(1)单调减区间为,,.(2)①.②见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出函数,再求出其导函数,令,解出,根据单调性和极值求法即可求解.‎ - 27 -‎ ‎(2)①函数有两个极值点,即方程有两个不等实根.分离参数,转化成图像有两个交点,利用导数判定函数的单调性,即可得到实数的取值范围;②不妨设,由①知,且有,可得,将可化.再构造函数,利用导数证出,即可证明.‎ ‎【详解】(1),‎ ‎.‎ 当时,.‎ 令,解得,‎ 当时,,为单调减函数;‎ 当时,,为单调增函数;‎ 当时,,为单调减函数,‎ 函数的单调减区间为,,.‎ ‎(2)①函数有两个极值点,‎ 方程有两个不等实根.‎ 由,显然时方程无根,.‎ - 27 -‎ 设,则.‎ 令,得.‎ 当时,,为单调递增函数;‎ 当时,,单调递减函数.‎ 且当时,;当时,,‎ ‎..‎ 实数的取值范围是.‎ ‎②证明:不妨设,由①知,且有 可化为.‎ 又.‎ 即证,‎ 即证,即.‎ 设,即证当时成立.‎ 设,‎ ‎,‎ 在上为增函数.‎ ‎,即成立.‎ - 27 -‎ 成立.‎ ‎【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、函数极值点问题,构造函数是解决本题的关键考查考生的分类讨论思想、等价转化能力、数学计算能力,是难题.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎[选修4—4:坐标系与参数方程]‎ ‎22. 在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程;‎ ‎(2)设直线与曲线交于,两点(点在点左边)与直线交于点.求和的值.‎ ‎【答案】(1),.(2),.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用公式和正弦的和角公式,将极坐标方程即可转化为直角坐标方程;消去参数,则参数方程即可转化为普通方程;‎ ‎(2)设出的极坐标点,联立与曲线的极坐标方程,即可求极坐标系下两点之间的距离.‎ ‎【详解】解:(1)∵‎ - 27 -‎ ‎,‎ 又∵,,‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为 ‎ ‎∵(为参数),消去,得.‎ ‎∴直线的普通方程为. ‎ ‎(2)设点,,.‎ ‎∵曲线的极坐标方程为,‎ 将代入,.‎ ‎∴,.‎ ‎∵直线的极坐标方程为,‎ ‎∴,解得.‎ ‎∴,.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程之间的相互转化,涉及极坐标系下求两点之间的距离,属综合中档题.‎ ‎[选修4—5:不等式选讲]‎ ‎23. 已知函数.‎ ‎(1)若,解不等式;‎ ‎(2)若对任意,求证:.‎ ‎【答案】(1)(2)证明见详解.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 27 -‎ ‎(1)分类讨论,即可求得不等式的解集;‎ ‎(2)使用两次绝对值三角不等式,即可容易证明.‎ ‎【详解】(1)解:∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴或或,‎ 解得或或.‎ ‎∴不等式的解集为. ‎ ‎(2)证明:∵,‎ 又∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴成立.‎ ‎【点睛】本题考查利用分类讨论求绝对值不等式解集,以及利用绝对值三角不等式证明不等式,属综合基础题.‎ - 27 -‎ - 27 -‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档