数学(理)卷·2019届广东省湛江市第一中学高二上学期期末考试(2018-02)

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数学(理)卷·2019届广东省湛江市第一中学高二上学期期末考试(2018-02)

湛江市2017—2018学年度第一学期期末调研考试 高中数学(必修⑤、选修2-1)试卷 ‎ 说明:本卷满分150分.考试用时120分钟.‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.命题“若,则”的否命题是 A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 ‎2.抛物线的焦点坐标是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知等比数列,,,则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.在中,角,,的对边长分别为,,,,,,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.若,为实数,则“”是“”的 ‎ A.充分不必要条件 ‎ B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 ‎ D.既不充分也不必要条件 ‎6.椭圆的一个焦点为,且,则椭圆的离心率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.在空间四边形中,,在线段上,且,‎ 为的中点,则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.设,,若是与的等比中项,则的最小值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知等差数列中,前项和为,,则当取最大值时, ‎ A. B. C. D.‎ ‎10.不等式组表示的平面区域的面积为 ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知直线与椭圆总有公共点,则的取值范围是 A. B. C. D.且 ‎12.在三棱柱中,点E、F、H、K分别为、、、的中点,为Δ的重心,有一动点在三棱柱的面上移动,使得该棱柱恰有条棱与平面平行,则以下各点中,在点的轨迹上的点是 ‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知向量,,,若,则 . ‎ ‎14.等差数列中, ,,则的通项公式为 . ‎ ‎15.已知命题,,若命题是假命题,则实数的取值范围是 .(用区间表示)‎ ‎16.已知,式中变量,满足下列条件: ,若的最大值为 ‎,则的值为 . ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知命题:指数函数 是上的增函数,命题:方程表示双曲线.‎ ‎(Ⅰ)若命题为真命题,求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若命题“”为真命题,“”为假命题,求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知的三个内角,,的对边长分别为,,,.‎ ‎(Ⅰ)若,请判断三角形的形状;‎ ‎(Ⅱ)若,,求的边的大小.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 已知等差数列的前项和为,且,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求数列的前项和.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 在平面直角坐标系中,椭圆的左焦点为,左顶点为,上、下顶点分别为.‎ ‎(Ⅰ)若直线经过中点M,求椭圆E的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线的斜率为1,与椭圆的另一交点为D,椭圆的右焦点为,求三角形的面积.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 某农场计划种植甲、乙两个品种的水果,总面积不超过亩,总成本不超过万元.甲、乙两种水果的成本分别是每亩元和每亩元.假设种植这两个品种的水果,能为该农场带来的收益分别为每亩万元和每亩万元.问该农场如何分配甲、乙两种水果的种植面积,可使农场的总收益最大?最大收益是多少万元?‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ ‎ P A B C D 如图,四棱锥中,底面为矩形,平面平面,‎ ‎,.‎ ‎(Ⅰ)证明:;‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.‎ 湛江市2017—2018学年度第一学期期末调研考试 高中数学必修5及选修2-1试题 参考答案及评分意见 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C B ‎ D C D C A B ‎ A C D ‎ B 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 解:(Ⅰ)命题p为真命题时,2-a>1,即a<1. ……………………2分 ‎(Ⅱ)若命题为真命题,则,所以, ……………………4分 ‎ 因为命题“”为真命题,则至少有一个真命题,‎ ‎“”为假命题,则至少有一个假命题,‎ 所以一个为真命题,一个为假命题 ……………………6分 ‎ 当命题为真命题,命题为假命题时,,则;‎ ‎ 当命题为假命题,命题为真命题时,,则. ………………9分 ‎ 综上,实数的取值范围为. ……………………10分 ‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)由,,……………………3分 ‎ 得,,…………………………………………………5分 又, ‎ ‎∴ 三角形是等边三角形. ……………………………………………………6分 ‎(Ⅱ)由,得,……………………………………………………7分 又,‎ ‎∴ ……………………………………………8分 ‎…………………………………………10分 由正弦定理得. ………………………………………12分 ‎19.(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)设等差数列的公差为,则由条件得 ‎ ,…………………………………2分 解得, ……………………………………3分 所以错误!不能通过编辑域代码创建对象。通项公式,即……………………4分 ‎(Ⅱ)令,解得, …………………5分 ‎∴ 当时,;当时, …………………6分 ‎∴…………………8分 ‎ ‎ ‎ …………………10分 ‎ ………………………………12分 ‎20.(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)由题意,,‎ ‎ 又,所以,直线:. …………………2分 ‎ M为的中点,所以,‎ ‎ 代入直线:,则, …………………4分 ‎ 由,所以,‎ ‎ 所以椭圆E的标准方程是. …………………6分 ‎ (Ⅱ)因为直线的斜率为,则,所以椭圆,………8分 又直线:,‎ x y O A B C D 由 解得(舍),或, ‎ 所以. ………………………………10分 因为,‎ 所以三角形的面积为. ………………………12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ 解:设甲、乙两种水果的种植面积分别为x,y亩,农场的总收益为z万元,则 ………………1分 y x M O ‎400‎ ‎500‎ ‎400‎ ‎300‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎………① …………4分 目标函数为, ……………5分 不等式组①等价于 可行域如图所示,……………………………7分 目标函数可化为 由此可知当目标函数对应的直线经过点M时,目标函数取最大值.………………………9分 解方程组 得 的坐标为.…………………………………………………………………………10分 所以.………………………………………………………11分 答:分别种植甲乙两种水果75亩和225亩,可使农场的总收益最大,最大收益为67.5万元. ‎ ‎………………………………………………………………………………12分 P A B C D H M ‎22.(本小题满分12分)‎ ‎ 解:(Ⅰ)证明:取的中点M,连结. ……1分 由,得,‎ 由,得, ……………………………2分 且.‎ 平面.…………………………………………………………………………3分 平面,‎ ‎. …………………………………………………………………………………4分 ‎(Ⅱ)在平面中,过点作于点, 连结,交于.‎ ‎…………………………………………………………………………………………………5分 ‎∵平面平面,平面平面,‎ ‎∴平面.‎ ‎. …………………………………………………………………………………6分 由(1)及,‎ 平面,‎ P A B C D H O x y z ‎,…………………………………………………………………………………7分 在中,,即.‎ ‎,.‎ 在中,,.‎ ‎.………………………………8分 以D为坐标原点,DA,DC所在的直线为x ,y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则,,..‎ ‎,.…………………………………………9分 设平面的法向量是,则 ‎,,‎ 即,得其中一个法向量为. …………………………10分 设直线与平面所成角为,又,则 ‎.‎ 直线与平面所成角的正弦值为.……………………………………………………12分 注意:以上各题若有其它解法,请评卷老师酌情给分.‎
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