高一数学（人教A版）必修4能力提升：1-4-2-1 周期函数

高一数学（人教A版）必修4能力提升：1-4-2-1 周期函数

能 力 提 升 一、选择题 ‎1．定义在R上的函数f(x)，存在无数个实数x满足f(x＋2)＝f(x)，则f(x)(　　)‎ A．是周期为1的周期函数 B．是周期为2的周期函数 C．是周期为4的周期函数 D．不一定是周期函数 ‎[答案]　D ‎2．函数y＝2cos的最小正周期是4π，则ω等于(　　)‎ A．2 B. ‎ C．±2 D．± ‎[答案]　D ‎[解析]　4π＝，∴ω＝±.‎ ‎3．(2013山师附中期中)函数y＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期为(　　)‎ A. B．π ‎ C．2π D．4π ‎[答案]　A ‎[解析]　∵＋＝|sinx|＋|cosx|.∴原函数的最小正周期为.‎ ‎4．函数y＝的周期是(　　)‎ A．2π B．π ‎ C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　T＝·＝.‎ ‎5．函数y＝cos(x＋)(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是(　　)‎ A．10 B．11 ‎ C．12 D．13‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　T＝＝≤2　∴k≥4π又k∈N*‎ ‎∴k最小为13，故选D.‎ ‎6．定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sinx，则f等于(　　)‎ A．－ B．1 ‎ C．－ D. ‎[答案]　D ‎[解析]　f＝f＝f ‎＝f＝f＝f ‎＝sin＝.‎ 二、填空题 ‎7．(2013·江苏)函数y＝3sin(2x＋)的最小正周期为________．‎ ‎[答案]　π ‎[解析]　本题考查三角函数的周期．T＝＝π.‎ ‎8．若函数f(x)＝2cos(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为T，且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．‎ ‎[答案]　6‎ ‎[解析]　T＝，又10，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．若f＝，则sinα的值为________．‎ ‎[答案]　± ‎[解析]　∵f(x)的最小正周期为，ω>0，‎ ‎∴ω＝＝4.∴f(x)＝3sin.‎ 由f＝3sin＝3cosα＝，‎ ‎∴cosα＝.‎ ‎∴sinα＝±＝±.‎ 三、解答题 ‎10．求下列函数的周期．‎ ‎(1)y＝sin2x；‎ ‎(2)y＝－cos(x＋)；‎ ‎(3)y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)．‎ ‎[解析]　由周期函数的定义求．‎ ‎(1)令f(x)＝sin2x，‎ ‎∵f(x＋π)＝sin2(x＋π)＝sin2x＝f(x)．‎ ‎∴函数y＝sin2x的周期为π.‎ ‎(2)令f(x)＝－cos(x＋)，‎ ‎∵f(x＋2π)＝－cos[(x＋2π)＋]＝－cos(x＋)＝f(x)．‎ ‎∴函数y＝－cos(x＋)的周期为2π.‎ ‎(3)令f(x)＝sin(ωx＋φ)，‎ ‎∵f(x＋)＝sin[ω(x＋)＋φ]＝sin(ωx＋φ＋2π)＝sin(ωx＋φ)＝f(x)，‎ ‎∴函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的周期为.‎ ‎11．已知函数y＝sinx＋|sinx|.‎ ‎(1)画出函数的简图．‎ ‎(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．‎ ‎[解析]　(1)y＝sinx＋|sinx|‎ ‎＝ 函数图象如图所示．‎ ‎(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π.‎ ‎12．已知函数y＝5cos(其中k∈N)，对任意实数a，在区间[a，a＋3]上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，求k值．‎ ‎[解析]　由5cos(πx－)＝，‎ 得cos(πx－)＝.‎ ‎∵函数y＝cosx在每个周期内出现函数值为的有两次，而区间[a，a＋3]长度为3，为了使长度为3的区间内出现函数值不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．‎ 即2×≤3，且4×≥3.‎ ‎∴≤k≤.又k∈N，故k＝2,3.‎