甘肃省武威市第十八中学2020届高三上学期期末考试数学（理）试题

甘肃省武威市第十八中学2020届高三上学期期末考试数学（理）试题

‎2019—2020学年第一学期期末考试试卷 高三 理科数学 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，，那么（ ）‎ A. （0，） B. （1，） C. [1，） D. [0，）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算集合和，再计算交集得到答案.‎ ‎【详解】，，故.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.‎ ‎2.（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法计算即可.‎ ‎【详解】因为，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.‎ ‎3.同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于对称，③在[，]上是增函数”的一个函数是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的周期，对称性和单调性依次判断每个选项得到答案.‎ ‎【详解】当时，，故不是的对称轴，A排除；‎ 当时，，故在上不单调递增，B排除；‎ 周期为，C排除；‎ 验证知：D满足条件.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.‎ ‎4.下列四个命题中真命题的个数是（ ）‎ ‎(1)“”是“”的充分不必要条件 ‎(2)命题“，”的否定是“，”‎ ‎(3)“若，则”的逆命题为真命题 ‎(4)命题，，命题，，则为真命题 A B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：当时，成立，‎ 当，或，‎ ‎“”是“”的充分不必要条件，故①正确；‎ 命题“，”的否定是“，”②正确；‎ ‎“若，则”的逆命题为“若，则”错误，‎ 当时，不成立，故③错；‎ 当时，，命题是真命题，故是真命题，‎ 故真命题的个数是3个，‎ 故选：D.‎ 考点：命题的真假性的判断.‎ ‎5.已知数列满足，则此数列的通项等于 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎6.已知直线，，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，解得或，因此“”是“”的必要不充分条件．故选B．‎ 考点：两直线平行的充要条件．‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A. 511 B. ‎512 ‎C. 1022 D. 1024‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 直接根据程序框图计算得到答案.‎ ‎【详解】根据程序框图知：.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力，确定程序框图表示的意义是解题的关键.‎ ‎8.已知，，，则的大小关系是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数与对数的单调性与中间量0，1可求得三个数大小．‎ ‎【详解】由题意可得，所以，选B.‎ ‎【点睛】本题考查的是比较指数式及对数式值的大小，构造合适函数，利用指数函数与对数函数的性质及单调性，结合中间量是常用方法．‎ ‎9.已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上， 平面，且，则球的表面积为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意可知CA,CB,CD两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球，，求的外接球的表面积，选C ‎【点睛】‎ 求共点三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球相关问题，我们常用的方法为补形成长方体，转化为求长方体的外接球问题．充分体现补形转化思想．‎ ‎10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图知：几何体为三棱柱和四分之一圆锥的组合体，计算体积得到答案.‎ ‎【详解】根据三视图知：几何体为三棱柱和四分之一圆锥的组合体，‎ 则.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了根据三视图求体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，确定几何体形状是解题的关键.‎ ‎11.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 利用排除法：‎ 由函数的解析式可得：，函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，选项CD错误；‎ 当时，，选项B错误，‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．‎ ‎12.已知 ，若互不相等，且，则的取值范围为（　　）‎ A. （1，15） B. （10，15） C. （15，20） D. （10，12）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出的图像，结合图像化简计算出的取值范围.‎ ‎【详解】不妨设，画出的图像如下图所示，由于，故，所以.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题：‎ ‎13.已知向量，，，若，则_____‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 算出的坐标，再利用数量积的坐标形式可计算的值.‎ ‎【详解】；∵；‎ ‎∴；∴．‎ 故答案为4．‎ ‎【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的等价条件是 ‎14.已知，则__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两角差的正切公式展开，解方程可得.‎ ‎【详解】，解方程得.‎ ‎【点睛】本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记忆准确，特殊角的三角函数值运算准确.‎ ‎15.若，满足约束条件则的最大值为______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，‎ ‎，则，表示直线在轴的截距，‎ 当直线过点时，即时，有最大值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划问题，意在考查学生的应用能力，画出图像是解题的关键.‎ ‎16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分离常数法求得的值域，由此求得函数的值域.‎ ‎【详解】依题意，由于，故，即的值域为，所以函数的值域是.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查分离常数法求函数的值域，考查化归与转化的数学思想方法，考查世界数学文化，属于基础题.‎ 三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.等差数列{}中，.‎ ‎（Ⅰ）求{}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ） 设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）24.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ） 根据等差数列的通项公式及已知条件求，，从而求得；（Ⅱ）由（Ⅰ）求，再求数列的前10项和.‎ 试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为d，由题意有.‎ 解得.‎ 所以的通项公式为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知.‎ 当n=1,2,3时，；‎ 当n=4,5时，；‎ 当n=6,7,8时，；‎ 当n=9,10时，.‎ 所以数列的前10项和为.‎ ‎【考点】等差数列的通项公式，数列的求和 ‎【名师点睛】求解本题时常出现以下错误：对“表示不超过的最大整数”理解出错.‎ ‎18.设函数．‎ ‎（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（2）当时，的最大值为2，求的值，并求出的对称轴方程．‎ ‎【答案】（1）；（2），的对称轴方程为．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求三角函数的最小正周期一般化成，，形式，利用周期公式即可.（2）求解较复杂三角函数的单调区间时，首先化成形式，再的单调区间，只需把看作一个整体代入相应的单调区间，注意先把化为正数,这是容易出错的地方. ，（3）（2）求解较复杂三角函数的最值时，首先化成形式，在求最大值或最小值,寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值，注意题中角的范围；（4）求函数或的对称轴方程时，可以把看做整体，代入或相应的对称轴即可 试题解析：（1）‎ 则的最小正周期，‎ 且当时单调递增．‎ 即为的单调递增区间 ‎（写成开区间不扣分）． ‎ ‎（2）当时，当，即时．‎ 所以．‎ 为对称轴．‎ 考点：三角函数的化简；求三角函数周期，最值，单调性及对称轴.‎ ‎19.在中，角的对边分别为.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小； ‎ ‎（Ⅱ）若，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（Ⅰ）由，得 ‎∴.‎ ‎∵，∴‎ ‎（Ⅱ）由正弦定理得.‎ ‎∵,,‎ ‎∴. ∴. ‎ ‎∴ ‎ 考点：本小题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．‎ 点评：应用正弦定理和余弦定理解三角形时，要灵活选择是用正弦定理还是余弦定理，用正弦定理时有时要注意解的个数问题.‎ ‎20.如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）设，，三棱锥的体积，求到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设与的交点为，连结，根据中位线证明得到答案.‎ ‎（2）根据体积计算，长度，作交于，证明平面，计算长度得到答案.‎ ‎【详解】（1）设与的交点为，连结，‎ ‎∵是矩形，∴为的中点，∵为的中点，∴．‎ 平面，平面∴平面，‎ ‎（2），，三棱锥的体积，‎ ‎∴，∴，．‎ 作交于，‎ 平面，平面，故，‎ ‎，，故平面，‎ 平面，故，，故平面．‎ 又在三角形中，由射影定理可得，‎ 即到平面的距离.‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行，点面距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，也可以利用等体积法求距离.‎ ‎21.在等比数列中，公比，且满足，是与的等差中项．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，且数列的前项的和为，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用等比数列公式和等差中项性质计算得到答案.‎ ‎（2）计算，故，利用等差数列求和公式计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）∵，∴①；‎ 又是、的等差中项得到②．‎ 由①得③，由②得，即④，‎ ‎③÷④得，∴，∴或，‎ ‎∵，∴，∴数列的通项公式.‎ ‎（2）∵，∴，∴，‎ ‎∴数列是以6为首项，1为公差的等差数列，∴，‎ ‎∴，∴数列是以6为首项，为公差的等差数列，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查了数列的通项公式，数列求和，意在考查学生对于数列公式的综合应用.‎ ‎22.已知函数（为自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）当a=1时，f（x）=ex+x-1，根据导数的几何意义可求得在点（1，f（1））处的切线的斜率，再由点斜式即可得切线方程，分别求出切线与x轴、y轴的交点A、B，利用直角三角形的面积公式即可求得； （II）将f（x）≥x2在（0，1）上恒成立利用参变量分离法转化为在（0，1）上恒成立，再利用导数研究不等式右边的函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出a的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）∵当时，，，‎ ‎，，‎ ‎∴函数在点处的切线方程为，‎ 即．‎ 设切线与轴的交点分别为，‎ 令得，，令得，，‎ ‎∴，，∴，‎ ‎∴函数在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为．‎ ‎（Ⅱ）由得，．‎ 令，‎ 则 ，‎ 令，则．‎ ‎∵，∴，在区间上为减函数，∴．‎ 又，，∴，‎ ‎∴在区间上为增函数，，‎ 因此只需即可满足题意．‎ 点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；‎ ‎（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.‎