2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：6-3 等比数列（讲解部分）
6.3 等比数列
高考理数
考点一 等比数列及其性质
考点清单
考向基础
1.定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一
个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公
比通常用字母q(q≠0)表示.
2.通项公式
通项公式 通项公式的推广
an=a1qn-1(揭示首末两项的关系) an=amqn-m(揭示任意两项之间的关系)
3.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么称这个数G为a与b
的等比中项,即G=± (a,b同号).
(1)a,G,b成等比数列⇔G2=ab(ab>0).
ab
(2)同号的两个数才有等比中项.
4.等比数列的单调性
设等比数列{an}的首项为a1,公比为q.
(1)当q>1,a1>0或0
1,a1<0或00时,数列{an}为递减数列;
(3)当q=1时,数列{an}是(非零)常数列;
(4)当q=-1时,数列{an}是摆动数列.
5.等比数列项的运算性质
设数列{an}是等比数列.
(1)若m+n=p+q,则aman=apaq,其中m,n,p,q∈N*,反之,不一定成立.
特别地,若2s=p+r,则apar= ,其中p,s,r∈N*.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数
2
sa
列,公比为qm(k,m∈N*).
(3)若数列{an},{bn}是两个项数相同的等比数列,则数列{λan}{ }, ,
{an·bn}和 (λ≠0,n∈N*)也是等比数列.
2
na 1
na
n
n
a
b
考向突破
考向一 等比数列的基本量运算
例1 (2018广东珠海模拟,4)Sn是正项等比数列{an}的前n项和,a3=18,S3=26,
则a1= ( )
A.2 B.3 C.1 D.6
解析 设等比数列{an}的公比为q,因为a3=18,S3=26,则有a3+ + =26,即18
+ + =26,解得q=3或q=- ,由数列{an}为正项等比数列,得q=3,则a1= =
=2,故选A.
3a
q
3
2
a
q
18
q 2
18
q
3
4
3
2
a
q
18
9
答案 A
考向二 等比数列的性质的应用
例2 (2019山西3月高考考前适应性测试,6)正项等比数列{an}中,a1a5+2a3a7
+a5a9=16,且a5与a9的等差中项为4,则{an}的公比是 ( )
A.1 B.2 C. D.
2
2 2
解析 设公比为q,由正项等比数列{an}中,a1a5+2a3a7+a5a9=16,可得 +2a3a7
+ =(a3+a7)2=16,即a3+a7=4,由a5与a9的等差中项为4,得a5+a9=8,则q2(a3+a7)=
4q2=8,则q= (舍负),故选D.
2
3a
2
7a
2
答案 D
考点二 等比数列的前n项和
考向基础
1.等比数列{an}的前n项和公式
(1)当q=1时,Sn=na1.
(2)当q≠1时,Sn= = .
2.对于非常数列的等比数列{an}的前n项和Sn= =- qn+ ,若设a=
,则Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0,q≠1).由此可知,数列{Sn}的图象是函数y=-aqx+a
图象上一系列孤立的点.
1(1- )
1-
na q
q
1-
1-
na qa
q
1(1- )
1-
na q
q
1
1-
a
q
1
1-
a
q
1
1-
a
q
3.等比数列的前n项和的性质
(1)当q≠-1(或q=-1且k为奇数)时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.
注意 当q=-1且k为偶数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…不是等比数列.
(2)若a1·a2·…·an=Tn,则Tn, , ,…成等比数列.2n
n
T
T
3
2
n
n
T
T
(3)若数列{an}的项数为2n,S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和,则 =q;若
项数为2n+1,则 =q.
注意 在运用等比数列及其前n项和的性质时,要注意字母间的上标、下
标的对应关系.
S
S
偶
奇
1-S a
S
奇
偶
考向突破
考向 等比数列的前n项和计算
例 (2019福建模拟考试,7)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10=20,S30=
140,则S40= ( )
A.280 B.300 C.320 D.340
解析 解法一:设等比数列{an}的公比为q,由题意易知q≠1,
所以 =20, =140,
两式相除得 =7,化简得q20+q10-6=0,解得q10=2(舍负),所以S40=S30+S10·q30=
140+160=300,故选B.
解法二:由题意知S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,∴(S20-S10)2=S10(S30-S20),即
(S20-20)2=20(140-S20),解得S20=60(舍负),∴ = =2,∴S40-S30=S10·23,
∴S40=S30+S10·23=300.故选B.
10
1(1- )
1-
a q
q
30
1(1- )
1-
a q
q
30
10
1-
1-
q
q
20 10
10
-S S
S
60-20
20
答案 B
方法 等比数列的判定与证明
1.定义法:若 =q(q为非零常数)或 =q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则
{an}是等比数列.
2.中项公式法:若数列{an}中,an≠0且 =an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数
列.
3.通项公式法:若数列的通项公式可写成an=c·qn(c,q均是不为0的常数,n∈N*),
则{an}是等比数列.
1n
n
a
a
-1
n
n
a
a
2
1na
方法技巧
4.前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=k-k·qn(k为常数且k≠0,q≠0,1),
则{an}是等比数列.
其中前两种方法是证明等比数列的常用方法,后两种方法常用于选择题、
填空题中.
若证明一个数列不是等比数列,只要证明存在相邻三项不成等比数列即可.
例 (2020届山西大同开学学情调研,17)在数列{an}中,a1=3,an=2an-1+n-2(n
≥2,且n∈N*).
(1)求a2和a3的值;
(2)证明:数列{an+n}是等比数列,并求{an}的通项公式;
(3)求数列{an}的前n项和Sn.
解析 本题考查递推数列的性质和应用,考查等比数列的证明及求和方法,
考查考生的数学运算能力和逻辑推理能力.
(1)∵a1=3,an=2an-1+n-2(n≥2,且n∈N*),
∴a2=2a1+2-2=6,a3=2a2+3-2=13.
(2)证明: = = =2,∴数列{an+n}是首项为a1+1
=4,公比为2的等比数列,∴an+n=4·2n-1,∴an=4·2n-1-n=2n+1-n,∴数列{an}的通项
公式为an=2n+1-n.
(3)∵数列{an}的通项公式为an=2n+1-n,
∴Sn=(22+23+24+…+2n+1)-(1+2+3+…+n)= - =2n+2- .
-1 -1
n
n
a n
a n
-1
-1
(2 -2)
-1
n
n
a n n
a n
-1
-1
2 2 -2
-1
n
n
a n
a n
4(1-2 )
1-2
n 2
2
n n 2 8
2
n n
